Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292185
Значение арифметического выражения: $$49^{16}+7^{48}-49$$ записали в системе счисления с основанием $7$. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
Представим все слагаемые через степени числа $7$: $$49^{16}=(7^2)^{16}=7^{32},$$ $$49=7^2.$$
Получаем: $$7^{48}+7^{32}-7^2.$$
Рассмотрим разность: $$7^{32}-7^2=7^2(7^{30}-1).$$
Число $7^{30}-1$ в семеричной системе счисления записывается с помощью $30$ цифр $6$: $$7^{30}-1=\underbrace{66\ldots6}_{30}{}_7.$$
При умножении на $7^2$ справа добавляются два нуля: $$7^{32}-7^2=\underbrace{66\ldots6}_{30}00_7.$$
Слагаемое $7^{48}$ добавляет единицу в разряд с номером $48$ и не изменяет последовательность цифр $6$.
Следовательно, в семеричной записи выражения содержится $30$ цифр $6$.
20
