Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292186
Значение арифметического выражения: $$9^{28}\cdot3^{10}-3^8-81$$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?
Представим все слагаемые через степени числа $3$: $$9^{28}\cdot3^{10}=(3^2)^{28}\cdot3^{10}=3^{56}\cdot3^{10}=3^{66},$$ $$81=3^4.$$
Получаем: $$3^{66}-3^8-3^4.$$
Сначала рассмотрим разность: $$3^{66}-3^8.$$
В троичной записи она содержит $58$ цифр $2$ в разрядах от $65$ до $8$, после которых стоят восемь нулей: $$\underbrace{22\ldots2}{58}\underbrace{00\ldots0}{8}{}_3.$$
Теперь вычтем $3^4$. Для этого происходит заём из разряда $3^8$.
Цифра в разряде $3^8$ уменьшается с $2$ до $1$, а в разрядах от $3^7$ до $3^4$ появляются четыре цифры $2$.
Получаем: $$\underbrace{22\ldots2}{57}1\underbrace{2222}{4}0000_3.$$
Количество цифр $2$: $57+4=61.$
20
