14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292196

Представим все слагаемые через степени числа $8$: $$7\cdot512^{120}=7\cdot(8^3)^{120}=7\cdot8^{360},$$ $$-6\cdot64^{100}=-6\cdot(8^2)^{100}=-6\cdot8^{200}.$$

Получаем: $$7\cdot8^{360}+8^{210}-6\cdot8^{200}-255.$$

Рассмотрим разность: $$8^{210}-6\cdot8^{200}=(8^{10}-6)\cdot8^{200}.$$

В восьмеричной системе число $8^{10}-6$ имеет вид: $$8^{10}-6=\underbrace{77\ldots7}_{9}2_8.$$

После умножения на $8^{200}$ справа добавляются $200$ нулей.

Теперь вычтем число $255$. Представим его в восьмеричной системе: $255=377_8.$

Рассмотрим последнюю часть числа: $$2\cdot8^{200}-255=8^{200}+(8^{200}-255).$$

Так как $8^{200}-255=(8^{197}-1)\cdot8^3+(8^3-255),$ а $8^3-255=512-255=257=401_8,$ получаем: $$8^{200}-255=\underbrace{77\ldots7}_{197}401_8.$$

Таким образом, вся восьмеричная запись выражения имеет вид: $$7\underbrace{00\ldots0}{150} \underbrace{77\ldots7}{9}1$$ $$\underbrace{77\ldots7}_{197}401_8.$$

После первой цифры $7$ находятся $150$ нулей, так как нулевые разряды имеют номера от $359$ до $210$: $$359-210+1=150.$$

Ещё один ноль содержится в последних цифрах $401$.

Общее количество нулей: $$150+1=151.$$