14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292187

Представим все слагаемые через степени числа $8$: $$7\cdot512^{1912}=7\cdot(8^3)^{1912}=7\cdot8^{5736},$$ $$6\cdot64^{1954}=6\cdot(8^2)^{1954}=6\cdot8^{3908}.$$

Получаем: $$7\cdot8^{5736}+6\cdot8^{3908}-5\cdot8^{1991}-4\cdot8^{1980}-2022.$$

Рассмотрим разность: $$6\cdot8^{3908}-5\cdot8^{1991}$$ $$=5\cdot8^{3908}+(8^{1917}-5)\cdot8^{1991}.$$

Число $8^{1917}-5$ в восьмеричной системе имеет вид: $$\underbrace{77\ldots7}_{1916}3_8.$$

Следовательно, в этой части записи содержится $1916$ цифр $7$.

При вычитании $4\cdot8^{1980}$ происходит заём из разряда $8^{1991}$. Цифра $3$ в этом разряде становится равной $2$, между разрядами $8^{1990}$ и $8^{1981}$ появляются $10$ цифр $7$, а в разряде $8^{1980}$ получается цифра $4$.

Теперь вычтем число $2022$. Запишем его в восьмеричной системе: $2022=3746_8.$

При вычитании числа $3746_8$ происходит заём из разряда $8^{1980}$. Цифра $4$ становится равной $3$, в разрядах от $8^{1979}$ до $8^4$ появляются цифры $7$.

Количество этих цифр: $$1979-4+1=1976.$$

Последние четыре цифры равны: $$10000_8-3746_8=4032_8.$$

Таким образом, восьмеричная запись выражения имеет вид: $$7\underbrace{00\ldots0}{1827}5 \underbrace{77\ldots7}{1916}2$$ $$\underbrace{77\ldots7}{10}3 \underbrace{77\ldots7}{1976}4032_8.$$

Первая цифра записи также равна $7$. Поэтому общее количество цифр $7$: $1+1916+10+1976=3903.$