Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292192
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием $15$: $$97968x15_{15}+7x233_{15}.$$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита $15$-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно $14$. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на $14$ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Так как $15\equiv1\pmod{14},$ остаток числа, записанного в системе счисления с основанием $15$, при делении на $14$ равен остатку от суммы его цифр.
Сумма цифр первого числа: $9+7+9+6+8+x+1+5=45+x.$
Сумма цифр второго числа: $7+x+2+3+3=15+x.$
Сумма цифр всего выражения: $$(45+x)+(15+x)=60+2x.$$
Для кратности выражения числу $14$ должно выполняться: $$60+2x\equiv0\pmod{14}.$$
Так как $60\equiv4\pmod{14},$ получаем: $$4+2x\equiv0\pmod{14},$$ $$2x\equiv10\pmod{14},$$ $$x\equiv5\pmod7.$$
Цифра $x$ в $15$-ричной системе счисления может принимать значения от $0$ до $14$. Подходящие значения: $x=5,\ 12.$
Наименьшее из них: $x=5.$
Вычислим значения чисел при $x=5$: $$97968515_{15}=1624635020,$$ $$75233_{15}=371748.$$
Значение выражения: $$1624635020+371748=1625006768.$$
Найдём частное от деления на $14$: $$1625006768:14=116071912.$$
20
