24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: все задания

Работа, совершаемая паром при изобарном расширении, определяется как:
$$A = p\Delta V$$ где $p$ — атмосферное давление, $\Delta V$ — изменение объема.

Считая пар идеальным газом, запишем уравнение для изменения объема при испарении массы $\Delta m$ бензола:
$$p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT$$ где $M = 78 \cdot 10^{-3}\,\text{кг/моль}$ — молярная масса бензола, $T = 80 + 273 = 353\,\text{K}$ — температура кипения бензола.
Отсюда работа пара:
$$A = \frac{\Delta m \cdot R \cdot T}{M}$$

Количество теплоты $Q,$ необходимое для испарения массы $\Delta m$ бензола:
$$Q = \Delta m \cdot L$$ где $L = 396 \cdot 10^3\,\text{Дж/кг}$ — удельная теплота парообразования.
Искомая часть подведенного тепла, переходящая в работу:
$$n = \frac{A}{Q} = \frac{RT}{ML}$$
Подставляем числовые значения:
$$n = \frac{8.31 \cdot 353}{78 \cdot 10^{-3} \cdot 396 \cdot 10^3} \approx 0.095$$
Ответ: $n \approx 0.095.$

Изобарное сжатие.

Работа, совершаемая над газом при изобарном сжатии:
$$A_1 = p|\Delta V|$$Используем уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний:
$$pV_1 = vRT_1, \quad pV_2 = vRT_2$$где $T_2 = \frac{T_1}{k}.$
Изменение объема: $$V_1- V_2 = \frac{vR}{p}(T_1- T_2)$$Подставляем в выражение для работы:
$$A_1 = p(V_1- V_2) = vR(T_1- T_2) = vR\left(T_1- \frac{T_1}{k}\right) = \frac{k-1}{k}vRT_1$$

Адиабатическое расширение.

Для адиабатического процесса $( Q = 0 )$ работа газа равна изменению внутренней энергии с противоположным знаком:
$$A_2 = -\Delta U$$Внутренняя энергия идеального одноатомного газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2}vR(T_3- T_2)$$Подставляем $T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{T_1}{2k}$:
$$A_2 = \frac{3}{2}vR(T_2- T_3) = \frac{3}{2}vR\left(\frac{T_1}{k} — \frac{T_1}{2k}\right) = \frac{3}{4k}vRT_1$$

Отношение работ.

По условию:
$$\frac{A_1}{A_2} = 4$$Подставляем выражения для $A_1$ и $A_2$:
$$\frac{\frac{k-1}{k}vRT_1}{\frac{3}{4k}vRT_1} = 4$$Упрощаем:
$$\frac{4(k-1)}{3} = 4 \implies k-1 = 3 \implies k = 4$$
Ответ: $k = 4.$

Внутренняя энергия системы до удаления перегородки.

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия в каждой части цилиндра равна:
$$U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1, \quad U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2$$Суммарная внутренняя энергия системы:
$$U = U_1 + U_2 = \frac{3}{2}(p_1V_1 + p_2V_2)$$

Условия задачи.

Сосуд теплоизолирован $( Q = 0 )$ и имеет жесткие стенки $( A = 0 ),$ поэтому по первому началу термодинамики:
$$\Delta U = Q- A = 0$$Таким образом, внутренняя энергия системы сохраняется: $$U = \text{const}$$

Внутренняя энергия после удаления перегородки.

После удаления перегородки газ занимает весь объем $V = V_1 + V_2,$ и его внутренняя энергия выражается как:
$$U = \frac{3}{2}pV = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)$$

Приравнивание энергий и нахождение давления.

Приравниваем выражения для внутренней энергии до и после удаления перегородки:
$$\frac{3}{2}(p_1V_1 + p_2V_2) = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)$$Сокращаем общие множители и находим давление $p$: $$p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}$$

Подстановка числовых значений.

Переведем объемы в кубические метры $( 1\,\text{л} = 10^{-3}\,\text{м}^3 )$ и давления в паскали $( 1\,\text{атм} = 10^5\,\text{Па} )$:
$$V_1 = 1\,\text{м}^3, \quad V_2 = 2\,\text{м}^3, \quad p_1 = 2 \cdot 10^5\,\text{Па}, \quad p_2 = 1 \cdot 10^5\,\text{Па}$$Подставляем значения:
$$p = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 1 + 1 \cdot 10^5 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{4 \cdot 10^5}{3} \approx 1.33 \cdot 10^5\,\text{Па}$$Переводим результат обратно в атмосферы:
$$p \approx 1.33\,\text{атм}$$

Ответ: давление после удаления перегородки составит:
$$p = \frac{4}{3} \cdot 10^5\,\text{Па} \approx 1.33\,\text{атм}$$

Закон сохранения энергии.

Так как сосуды теплоизолированы, внутренняя энергия системы сохраняется:
$$U_1 + U_2 = U$$ где:
$U_1 = \frac{3}{2} \nu_1 R T_1$ — внутренняя энергия гелия,
$U_2 = \frac{3}{2} \nu_2 R T_2$ — внутренняя энергия неона,
$U = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T$ — внутренняя энергия смеси газов после установления равновесия.

Подставляем выражения:
$$\frac{3}{2} \nu_1 R T_1 + \frac{3}{2} \nu_2 R T_2 = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T$$
Упрощаем и находим установившуюся температуру $T$:
$$T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2} = \frac{1 \cdot 450 + 3 \cdot 300}{1 + 3} = \frac{450 + 900}{4} = 337.5 \, \text{К}$$

Давление смеси газов.

По закону Дальтона, общее давление $p$ равно сумме парциальных давлений гелия $p_1$ и неона $p_2$:
$$p = p_1 + p_2$$
Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого газа, учитывая, что после открытия крана газы занимают общий объем $2V$:
$$p_1 \cdot 2V = \nu_1 R T$$ $$p_2 \cdot 2V = \nu_2 R T$$
Выражаем парциальные давления:
$$p_1 = \frac{\nu_1 R T}{2V}, \quad p_2 = \frac{\nu_2 R T}{2V}$$
Тогда общее давление:
$$p = \frac{(\nu_1 + \nu_2) R T}{2V}$$
Подставляем значения:
$$p = \frac{(1 + 3) \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2 \cdot 1} = \frac{4 \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2} = 2 \cdot 8.31 \cdot 337.5 = 5609.25 \, \text{Па}$$

Ответ: $5609.25 \, \text{Па}.$

Давление насыщенного пара.

Поскольку температура постоянна, давление насыщенного пара $p_{\text{н}}$ остается неизменным.

Парциальное давление водяного пара:
Из формулы относительной влажности $q = \frac{p}{p_{\text{н}}}$ выражаем парциальное давление:
$$p = q \cdot p_{\text{н}}$$
Для каждой части сосуда:
$$p_1 = q_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.6 \cdot p_{\text{н}}$$ $$p_2 = q_2 \cdot p_{\text{н}} = 0.7 \cdot p_{\text{н}}$$

Количество вещества пара.

Используем уравнение Клапейрона-Менделеева $pV = \nu RT$ для нахождения количества вещества пара в каждой части сосуда:
$$\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1}{RT}$$ $$\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$$
После удаления перегородки общее количество вещества пара:
$$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$$

Установившаяся влажность.

После смешивания парциальное давление пара становится:
$$p = q \cdot p_{\text{н}} = 0.65 \cdot p_{\text{н}}$$
Объем сосуда после удаления перегородки:
$$V = V_1 + V_2$$
Количество вещества пара в смеси:
$$\nu = \frac{p V}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$$

Уравнение сохранения количества вещества.

Приравниваем выражения для $\nu$:
$$\frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$$
Упрощаем:
$$0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 (V_1 + V_2)$$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$$0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 V_1 + 0.65 V_2$$ $$0.7 V_2- 0.65 V_2 = 0.65 V_1- 0.6 V_1$$ $$0.05 V_2 = 0.05 V_1$$
Отсюда получаем:
$$\frac{V_1}{V_2} = 1$$
Ответ: $\frac{V_1}{V_2} = 1.$

Масса воды во вдыхаемом воздухе за один вдох.

Парциальное давление водяного пара во вдыхаемом воздухе:
$$p_1 = \varphi_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.6 \cdot 5.9 \, \text{кПа} = 3.54 \, \text{кПа}$$
Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для нахождения массы воды:
$$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T$$ $$m_1 = \frac{p_1 V M}{R T} = \frac{3.54 \cdot 10^3 \cdot 2.5 \cdot 10^{-3} \cdot 18 \cdot 10^{-3}}{8.31 \cdot 309} \approx 6.21 \cdot 10^{-5} \, \text{кг} = 0.0621 \, \text{г}$$

Масса воды в выдыхаемом воздухе за один выдох:
Так как выдыхаемый воздух насыщен водяным паром ($\varphi_2 = 100\%$), его давление равно $p_{\text{н}} = 5.9 \, \text{кПа}$ $$m_2 = \frac{p_{\text{н}} V M}{R T} = \frac{5.9 \cdot 10^3 \cdot 2.5 \cdot 10^{-3} \cdot 18 \cdot 10^{-3}}{8.31 \cdot 309} \approx 0.1035 \, \text{г}$$

Потеря массы воды за один вдох-выдох:
$$\Delta m_{\text{за один цикл}} = m_2- m_1 = 0.1035 \, \text{г}- 0.0621 \, \text{г} = 0.0414 \, \text{г}$$

Общее количество циклов за час:
$$N = n \cdot t = 15 \, \text{вдохов/мин} \cdot 60 \, \text{мин} = 900 \, \text{циклов}$$

Общая потеря массы воды за час:
$$\Delta m = N \cdot \Delta m_{\text{за один цикл}} = 900 \cdot 0.0414 \, \text{г} = 37.26 \, \text{г}$$
Округляем до целых:
$$\Delta m \approx 37 \, \text{г}$$
Ответ: $37 \, \text{г}.$

Первый этап теплообмена (добавление первого шарика).

Уравнение теплового баланса:
$$Q_{\text{вода}} + Q_{\text{шарик1}} = 0$$где:
$Q_{\text{вода}} = m_B c_B (t_3- t_1)$ — тепло, отданное водой,
$Q_{\text{шарик1}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_3- t_2)$ — тепло, полученное первым шариком.

Подставляем:
$$m_B c_B (40- t_1) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (40- 10) = 0$$$$m_B c_B (40- t_1) = -m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30$$ Упрощаем:
$$m_B c_B (t_1- 40) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30 \quad (1)$$

Второй этап теплообмена (добавление второго шарика).

Уравнение теплового баланса:
$$Q'{\text{вода}} + Q'{\text{шарик1}} + Q_{\text{шарик2}} = 0$$где:
$Q'{\text{вода}} = m_B c_B (t_4- t_3) = m_B c_B (34- 40)$ — тепло, отданное водой, $Q'{\text{шарик1}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_4- t_3) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (34- 40)$ — тепло, отданное первым шариком,
$Q_{\text{шарик2}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_4- t_2) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (34- 10)$ — тепло, полученное вторым шариком.

Подставляем:
$$m_B c_B (-6) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (-6) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 24 = 0$$$$-6 m_B c_B- 6 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} + 24 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} = 0$$$$-6 m_B c_B + 18 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} = 0$$ Упрощаем:
$$m_B c_B = 3 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \quad (2)$$

Находим начальную температуру воды $t_1.$

Подставляем соотношение $(2)$ в уравнение $(1)$:
$$3 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_1- 40) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30$$ $$3(t_1- 40) = 30$$ $$t_1- 40 = 10$$$$t_1 = 50^\circ \text{C}$$
Ответ: $t_1 = 50^\circ \text{C}.$

Исходное состояние системы.

Температура $T_1 = 373 \, \text{K}$ $( 100^\circ \text{C} ).$
Давление насыщенного водяного пара при $100^\circ \text{C}$: $p_{\text{н.п.}} = 100 \, \text{кПа}.$
Парциальное давление водяного пара: $p_{\text{пара}} = \varphi \cdot p_{\text{н.п.}} = 0.6 \cdot 100 = 60 \, \text{кПа}.$
Парциальное давление сухого воздуха: $p_{\text{возд}} = p- p_{\text{пара}} = 100- 60 = 40 \, \text{кПа}.$

Изотермическое сжатие (уменьшение объема в $2.5$ раза).

Для сухого воздуха (по закону Бойля-Мариотта):
$$p_{\text{возд}} V = p'{\text{возд}} \frac{V}{2.5}$$$$p'{\text{возд}} = 2.5 \cdot p_{\text{возд}} = 2.5 \cdot 40 = 100 \, \text{кПа}$$
Для водяного пара.
Так как после сжатия пар становится насыщенным, его давление остается $p_{\text{н.п.}} = 100 \, \text{кПа}$
Общее давление после сжатия:
$$p_2 = p'{\text{возд}} + p{\text{н.п.}} = 100 + 100 = 200 \, \text{кПа}$$

Изохорный нагрев до исходного давления.

Необходимо вернуть давление к исходному $p = 100 \, \text{кПа}$
По закону Шарля для смеси газов:
$$\frac{p_2}{T_1} = \frac{p}{T_2}$$ $$\frac{200}{373} = \frac{100}{T_2}$$$$T_2 = \frac{100 \cdot 373}{200} = 186.5 \, \text{K}$$

Определение коэффициента увеличения температуры.

Исходная температура: $T_1 = 373 \, \text{K}$
Необходимая температура: $T_2 = 186.5 \, \text{K}$
Коэффициент увеличения:
$$k = \frac{T_1}{T_2} = \frac{373}{186.5} = 2$$
Ответ: температуру необходимо увеличить в $2$ раза.

Определение масс компонентов смеси.

Пусть масса гелия $m_{He} = x,$ тогда масса водорода $m_{H_2} = 1.5x.$
Сумма масс: $x + 1.5x = 2 \, \text{г}.$
Отсюда: $2.5x = 2 \, \text{г} \Rightarrow x = 0.8 \, \text{г}.$
Масса гелия: $m_{He} = 0.8 \, \text{г}.$
Масса водорода: $m_{H_2} = 1.2 \, \text{г}.$

Молярные массы газов.

Молярная масса водорода: $M_{H_2} = 2 \, \text{г/моль}.$
Молярная масса гелия: $M_{He} = 4 \, \text{г/моль}.$

Парциальные давления газов.

Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого газа:
$$p_{H_2} = \frac{m_{H_2} R T}{M_{H_2} V} \quad p_{He} = \frac{m_{He} R T}{M_{He} V}$$По закону Дальтона, общее давление:
$$p = p_{H_2} + p_{He} = \frac{R T}{V} \left( \frac{m_{H_2}}{M_{H_2}} + \frac{m_{He}}{M_{He}} \right)$$

Вычисление температуры.

Подставляем известные значения:
$$2 \cdot 10^5 \, \text{Па} = \frac{8.31 \cdot T}{10^{-2} \, \text{м}^3} \left( \frac{1.2}{2} + \frac{0.8}{4} \right)$$Упрощаем выражение в скобках:
$$\frac{1.2}{2} + \frac{0.8}{4} = 0.6 + 0.2 = 0.8 \, \text{моль}$$Подставляем и решаем относительно $T$:
$$2 \cdot 10^5 = \frac{8.31 \cdot T}{10^{-2}} \cdot 0.8$$ $$2 \cdot 10^5 = 8.31 \cdot T \cdot 80$$ $$T = \frac{2 \cdot 10^5}{8.31 \cdot 80} \approx 301 \, \text{K}$$
Ответ: температура в сосуде равна $301 \, \text{K}.$

Первое начало термодинамики.

Газ отдал холодильнику тепло, поэтому:
$$-Q = \Delta U + A$$ где $A$ — работа газа, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии.

Для одноатомного идеального газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$ где $\nu = 1 \, \text{моль},$ $R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)},$ $\Delta T = T_2- T_1.$

Связь давления и объема.

По условию давление обратно пропорционально квадрату объема:
$$p = \frac{\alpha}{V^2}$$ где $\alpha$ — постоянная. Отсюда:
$$V = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}}$$

Уравнение состояния идеального газа:
$$pV = \nu RT$$
Подставляем выражение для $V$:
$$p \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}} = \nu RT$$ $$\sqrt{\alpha p} = \nu RT$$

Нахождение конечной температуры $T_2.$

Для начального и конечного состояний:
$$\sqrt{\alpha p_1} = \nu R T_1$$ $$\sqrt{\alpha p_2} = \nu R T_2$$ Делим второе уравнение на первое:
$$\sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = \frac{T_2}{T_1}$$ $$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = 600 \cdot \sqrt{\frac{10^5}{4 \cdot 10^5}} = 600 \cdot \frac{1}{2} = 300 \, \text{К}$$

Вычисление $\Delta U$:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot 8.31 \cdot (300- 600) = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot (-300) = -3\ 739.5 \, \text{Дж}$$

Из первого начала термодинамики:
$$A = -Q- \Delta U = -1\ 247- (-3\ 739.5) = 2\ 492.5 \, \text{Дж}$$ Округляем до целых: $$A \approx 2\ 493 \, \text{Дж}$$
Ответ: $\approx 2\ 493 \, \text{Дж}.$

Горизонтальное положение.

Силы, действующие на пробку:
$$p_0S + F = p_0S + F_{тр}$$Отсюда сила трения: $$F_{тр} = F = 1 \, \text{Н}$$

Вертикальное положение.

Условие равновесия пробки перед вылетом:
$$p_1S = mg + p_0S + F_{тр}$$Давление гелия перед вылетом: $$p_1 = p_0 + \frac{mg + F_{тр}}{S}$$

Изменение состояния гелия.

Нагрев происходит при постоянном объеме (изохорный процесс).
Начальное состояние: $p_0,$ $T_1.$
Конечное состояние: $p_1,$ $T_2.$
По закону Шарля:
$$\frac{p_1}{T_2} = \frac{p_0}{T_1}$$

Первое начало термодинамики.

Для изохорного процесса:
$$Q = \Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$$Используя уравнение состояния:
$$\Delta p V = \nu R \Delta T$$Тогда:$$Q = \frac{3}{2} V \Delta p = \frac{3}{2} V \left(\frac{mg + F_{тр}}{S}\right)$$

Численный расчет:
$$Q = \frac{3}{2} \cdot 10^{-3} \cdot \left(\frac{0.02 \cdot 10 + 1}{2 \cdot 10^{-4}}\right) = \frac{3}{2} \cdot 10^{-3} \cdot \frac{1.2}{2 \cdot 10^{-4}} = 9 \, \text{Дж}$$
Ответ: $9 \, \text{Дж}.$

Исходные данные.

Давление насыщенного водяного пара при $100^\circ \text{C}$: $p_{нас} = 100 \text{ кПа}.$
Общее давление влажного воздуха: $p = p_{возд} + p_{пар} = 100 \text{ кПа}.$
Относительная влажность: $\varphi = \frac{p_{пар}}{p_{нас}}.$

Изотермическое сжатие $($процесс $1-2).$

Объем уменьшается в $3$ раза: $V_2 = \frac{V_1}{3}.$
Для сухого воздуха (по закону Бойля-Мариотта):
$$p_{возд2} = 3p_{возд1}$$Для водяного пара возможны два случая:
$а)$ Пар остается ненасыщенным: $p_{пар2} = 3p_{пар1}.$
$б)$ Пар становится насыщенным: $p_{пар2} = p_{нас} = 100 \text{ кПа}.$

Анализ условий.

По условию, давление после сжатия равно давлению при изохорном нагреве:
$$p_2 = p_3$$При изохорном нагреве $($процесс $1-3)$:
$$p_3 = 1.6p_1 = 160 \text{ кПа}$$

Рассмотрим случай, когда пар становится насыщенным.

Общее давление после сжатия:
$$p_2 = p_{возд2} + p_{пар2} = 3p_{возд1} + p_{нас}$$Выразим $p_{возд1}$ через $\varphi$:
$$p_{возд1} = p- p_{пар1} = p- \varphi p_{нас} = 100- 100\varphi$$Подставим в уравнение для $p_2$:
$$p_2 = 3(100- 100\varphi) + 100 = 400- 300\varphi$$По условию $p_2 = p_3 = 160 \text{ кПа}$:
$$400- 300\varphi = 160$$ $$300\varphi = 240$$ $$\varphi = 0.8 = 80\%$$

Проверка условия насыщения.

Начальное парциальное давление пара:
$$p_{пар1} = \varphi p_{нас} = 80 \text{ кПа}$$После сжатия: $$p_{пар2} = 3 \cdot 80 = 240 \text{ кПа} > p_{нас}$$ Следовательно, пар действительно конденсируется, и его давление становится равным $p_{нас}.$

Ответ: $80\%.$

Первое начало термодинамики.

$$Q = \Delta U + A$$где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа пара.

Работа расширения пара.

При изобарном процессе:
$$A = p\Delta V$$ Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для испарившейся массы $\Delta m$:
$$p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT$$ где $T = 329 \, \text{K}$ $(56°C$ в кельвинах$),$ $R = 8.314 \, Дж/(моль·К).$

Теплота парообразования:
$$Q = \Delta m L$$

Доля теплоты на изменение внутренней энергии:
$$\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{A}{Q} = 1- \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m L} = 1- \frac{RT}{ML}$$

Численный расчет:
$$\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{8.314 \cdot 329}{58 \cdot 10^{-3} \cdot 524 \cdot 10^3}$$$$\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{2\ 734.706}{30\ 392} \approx 1- 0.09 = 0.91$$
Ответ: $\frac{\Delta U}{Q} = 0.91.$

Первое начало термодинамики:
$$Q = \Delta U + A$$где $A$ — работа пара, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии.

Работа расширения пара.

При изобарном процессе:
$$A = p\Delta V$$Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для испарившейся массы $\Delta m$:
$$p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT$$где $T = 351 \, \text{K}$ (78°C в кельвинах), $R = 8.31 \, Дж/(моль·К).$

Теплота парообразования:
$$Q = \Delta m L$$

$КПД$ преобразования теплоты в работу:
$$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m L} = \frac{RT}{ML}$$

Численный расчет:
$$\eta = \frac{8.31 \cdot 351}{46 \cdot 10^{-3} \cdot 846 \cdot 10^3}$$ $$\eta = \frac{2\ 916.81}{38\ 916} \approx 0.075$$
Ответ: $\eta \approx 0.075.$

Гелий и аргон описываются моделью идеального одноатомного газа. Внутренняя энергия $U$ газа пропорциональна температуре $T$ и числу молей $\nu$:
$$U = \frac{3}{2} \nu RT$$

Связь между температурой, давлением и объемом идеального газа задается уравнением Клапейрона — Менделеева: $$pV = \nu RT$$ Поршень находится в механическом равновесии, поэтому давления газов равны. В начальный момент объемы газов одинаковы $(V_1 = V_2 ),$ что дает:
$$\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2$$ где $T_1 = 300\,\text{К}$ — начальная температура гелия, $T_2 = 900\,\text{К}$ — начальная температура аргона.

Цилиндр теплоизолирован, и работа силы трения равна нулю, поэтому суммарная внутренняя энергия газов сохраняется:
$$\frac{3}{2} \nu_1 R T_1 + \frac{3}{2} \nu_2 R T_2 = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T$$ где $T$ — конечная температура газов после установления равновесия.
Отсюда находим $T$:
$$T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2}$$ Подставляя $\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2,$ получаем:
$$T = 2 \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$$

Отношение внутренней энергии гелия после установления равновесия к начальной энергии равно отношению температур:
$$\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = \frac{T}{T_1} = 2 \frac{T_2}{T_1 + T_2}$$ Подставляя численные значения:
$$\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = 2 \cdot \frac{900}{300 + 900} = 2 \cdot \frac{900}{1200} = \frac{3}{2} = 1.5$$
Ответ: отношение внутренней энергии гелия после установления теплового равновесия к его начальной энергии равно $1.5.$

Условия равновесия поршня.

В покоящемся сосуде:
$$p_1 = p_u + \frac{mg}{S}$$ где $p_u$ — наружное давление, $p_1$ — давление газа в покое.

В движущемся сосуде с ускорением $a$:
$$p_2 = p_u + \frac{m(g + a)}{S}$$ где $p_2$ — давление газа при движении.

Изменение объема газа.
По условию, высота столба газа уменьшается на $5\%,$ поэтому отношение объемов:
$$\frac{V_2}{V_1} = 0.95$$
Поскольку температура газа постоянна, из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$p_1V_1 = p_2V_2$$
Отсюда: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{0.95}$$
Подставляем $p_1$ и $p_2$:
$$p_u + \frac{mg}{S} = 0.95 \left( p_u + \frac{m(g + a)}{S} \right)$$
Раскрываем скобки и упрощаем:
$$p_u + \frac{mg}{S} = 0.95p_u + \frac{0.95m(g + a)}{S}$$ $$p_u- 0.95p_u = \frac{0.95m(g + a)}{S} — \frac{mg}{S}$$ $$0.05p_u = \frac{m}{S} \left( 0.95(g + a)- g \right)$$$$0.05p_u = \frac{m}{S} \left( 0.95a- 0.05g \right)$$

Подставляем числовые значения:
$$0.05p_u = \frac{10}{50 \cdot 10^{-4}} \left( 0.95 \cdot 1- 0.05 \cdot 9.8 \right)$$$$0.05p_u = 2\ 000 \left( 0.95- 0.49 \right)$$ $$0.05p_u = 2\ 000 \cdot 0.46$$ $$0.05p_u = 920$$ $$p_u = \frac{920}{0.05} = 18\ 400\,\text{Па}$$
Округляем до двух значащих цифр:
$$p_u \approx 1.8 \cdot 10^4\,\text{Па}$$
Ответ: наружное давление равно $1.8 \cdot 10^4\,\text{Па}.$

Исходное состояние газа.

Объем газа: $V = Sh.$
Давление газа определяется равновесием поршня:
$$p = p_0 + \frac{Mg}{S}$$ Это давление остается постоянным в течение всего процесса, так как поршень подвижный, а внешнее давление $p_0$ неизменно.

Уравнение состояния газа.

Используем уравнение Клапейрона — Менделеева:
$$pV = \nu RT$$где $\nu$ — количество вещества газа (в молях). Отсюда:
$$\nu = \frac{pV}{RT} = \frac{(p_0S + Mg)h}{RT}$$

Изменение состояния газа.

После подвода теплоты $Q$ температура газа увеличивается на $\Delta T,$ а объем изменяется на:
$$\Delta V = S(H- h)$$ где $H$ — новая высота поршня.
Согласно первому началу термодинамики:
$$Q = \Delta U + A$$ где:
$\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа.
$A$ — работа газа.

Вычисление $\Delta U$ и $A.$

Для одноатомного идеального газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$
Работа газа в изобарическом процессе:
$$A = p \Delta V$$

Связь между $\Delta V$ и $\Delta T.$

В изобарическом процессе:
$$p \Delta V = \nu R \Delta T$$Подставляем это в выражение для $Q$:
$$Q = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + p \Delta V = \frac{3}{2} p \Delta V + p \Delta V = \frac{5}{2} p \Delta V$$

Нахождение $H$.

Выражаем $\Delta V$ через $H$:
$$Q = \frac{5}{2} p S (H- h)$$ Решаем относительно $H$:
$$H- h = \frac{2Q}{5 p S}$$$$H = h + \frac{2Q}{5 p S}$$ Подставляем выражение для $p$:
$$H = h + \frac{2Q}{5 \left( p_0 + \frac{Mg}{S} \right) S} = h + \frac{2Q}{5 (p_0 S + Mg)}$$
Ответ: высота поршня после подвода теплоты равна:
$$H = h + \frac{2Q}{5(p_0 S + Mg)}$$

Условие подъема шара.

Для подъема шара с грузом сила Архимеда $F_A$ должна компенсировать силу тяжести, действующую на оболочку, груз и воздух внутри шара:
$$F_A \geq (M + m)g + m_B g$$ где $m_B = \rho V$ — масса воздуха внутри шара, $\rho$ — его плотность.

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:
$$F_A = \rho_0 g V$$
Подстановка в условие подъема:
$$\rho_0 g V \geq (M + m)g + \rho g V$$ Сокращаем $g$:
$$\rho_0 V \geq M + m + \rho V \quad (1)$$
Используем уравнение состояния идеального газа:
$$\rho = \frac{p \mu}{R T}$$где $p$ — давление (одинаковое внутри и снаружи шара), $\mu$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Для окружающего воздуха:
$$\rho_0 = \frac{p \mu}{R T_0}$$где $T_0 = 280\,\text{K}.$

Отсюда выражаем плотность внутри шара:
$$\rho = \rho_0 \frac{T_0}{T}$$ где $T$ — температура воздуха внутри шара.

Подстановка в неравенство $(1)$:
$$\rho_0 V \geq M + m + \rho_0 \frac{T_0}{T} V$$ Переносим слагаемые:
$$\rho_0 V- \rho_0 \frac{T_0}{T} V \geq M + m$$$$\rho_0 V \left(1- \frac{T_0}{T}\right) \geq M + m$$ Решаем относительно $T$:
$$1- \frac{T_0}{T} \geq \frac{M + m}{\rho_0 V}$$ $$\frac{T_0}{T} \leq 1- \frac{M + m}{\rho_0 V}$$ $$T \geq \frac{T_0}{1- \frac{M + m}{\rho_0 V}}$$
Подставляем числовые значения:
$$T \geq \frac{280}{1- \frac{400 + 200}{1.2 \cdot 2500}} = \frac{280}{1- \frac{600}{3000}} = \frac{280}{1- 0.2} = \frac{280}{0.8} = 350\,\text{K}$$
Минимальная разность температур между воздухом внутри шара и окружающим воздухом:
$$\Delta T = T- T_0 = 350- 280 = 70\,\text{K}$$
Ответ: минимальная разность температур составляет $70\,\text{K}.$

Горизонтальное положение.

Давление воздуха в пробирке равно атмосферному:
$$p_1 = p_0 = 739\,\text{мм рт. ст.}$$Объем воздуха:
$$V_1 = S \cdot l_1$$где $S$ — площадь сечения пробирки.

Вертикальное положение.

Давление складывается из атмосферного и давления столбика ртути:
$$p_2 = p_0 + \rho g h$$ где $\rho$ — плотность ртути, $h = 21\,\text{см}$ — высота столбика.
Переведем давление ртутного столбика в мм рт. ст.: $$p_{рт} = 210\,\text{мм рт. ст.}$$ (так как $1\,\text{см рт. ст.} = 10\,\text{мм рт. ст.}$)
Таким образом:
$$p_2 = 739 + 210 = 949\,\text{мм рт. ст.}$$Объем воздуха:
$$V_2 = S \cdot l_2$$
Поскольку процесс изотермический $(T = const)$:
$$p_1 V_1 = p_2 V_2$$ Подставляем выражения для объемов:
$$p_1 \cdot S \cdot l_1 = p_2 \cdot S \cdot l_2$$ Сокращаем площадь $S$:
$$p_1 l_1 = p_2 l_2$$
Вычисление $l_2$:
$$l_2 = \frac{p_1 l_1}{p_2} = \frac{739 \cdot 24}{949} \approx 18.7\,\text{см}$$Округляем до целых:
$$l_2 \approx 19\,\text{см}$$
Ответ: длина столбика воздуха в вертикальном положении составит $19\,\text{см}.$

Условие подъема.

Сумма сил тяжести изобретателя и гелия должна быть равна силе Архимеда, действующей на все шарики:
$$mg + m_{\text{He}}g = F_A$$где:
$m_{He} = \rho_{He} \cdot nV$ — масса гелия,
$F_A = \rho_{возд} \cdot nV \cdot g$ — сила Архимеда.

Выражение для плотностей.

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для нахождения плотностей:
$$\rho = \frac{pM}{RT}$$Для воздуха:
$$\rho_{\text{возд}} = \frac{p_0 M_{\text{возд}}}{RT}$$Для гелия:
$$\rho_{\text{He}} = \frac{p_0 M_{\text{He}}}{RT}$$
Подстановка в условие равновесия:
$$mg + \rho_{\text{He}} \cdot nV \cdot g = \rho_{\text{возд}} \cdot nV \cdot g$$Сокращаем $g$ и выражаем $V$:
$$m = nV (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})$$ $$V = \frac{m}{n (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})}$$
Подставляем числовые значения:
$$\rho_{\text{возд}} = \frac{10^5 \cdot 0.029}{8.31 \cdot 300} \approx 1.16\,\text{кг/м}^3$$
$$\rho_{\text{He}} = \frac{10^5 \cdot 0.004}{8.31 \cdot 300} \approx 0.16\,\text{кг/м}^3$$
Расчет объема одного шарика:
$$V = \frac{60}{5\ 000 (1.16- 0.16)} = \frac{60}{5000 \cdot 1} = 0.012\,\text{м}^3 = 12\,\text{л}$$
Ответ: каждый шарик необходимо надуть до объема $12\,\text{л}.$