24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208259

Изобарное сжатие.

Работа, совершаемая над газом при изобарном сжатии:
$$A_1 = p|\Delta V|$$Используем уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний:
$$pV_1 = vRT_1, \quad pV_2 = vRT_2$$где $T_2 = \frac{T_1}{k}.$
Изменение объема: $$V_1- V_2 = \frac{vR}{p}(T_1- T_2)$$Подставляем в выражение для работы:
$$A_1 = p(V_1- V_2) = vR(T_1- T_2) = vR\left(T_1- \frac{T_1}{k}\right) = \frac{k-1}{k}vRT_1$$

Адиабатическое расширение.

Для адиабатического процесса $( Q = 0 )$ работа газа равна изменению внутренней энергии с противоположным знаком:
$$A_2 = -\Delta U$$Внутренняя энергия идеального одноатомного газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2}vR(T_3- T_2)$$Подставляем $T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{T_1}{2k}$:
$$A_2 = \frac{3}{2}vR(T_2- T_3) = \frac{3}{2}vR\left(\frac{T_1}{k} — \frac{T_1}{2k}\right) = \frac{3}{4k}vRT_1$$

Отношение работ.

По условию:
$$\frac{A_1}{A_2} = 4$$Подставляем выражения для $A_1$ и $A_2$:
$$\frac{\frac{k-1}{k}vRT_1}{\frac{3}{4k}vRT_1} = 4$$Упрощаем:
$$\frac{4(k-1)}{3} = 4 \implies k-1 = 3 \implies k = 4$$
Ответ: $k = 4.$