24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: термодинамические процессы, вычисление работы, количества теплоты, кпд

Работа, совершаемая паром при изобарном расширении, определяется как:
$$A = p\Delta V$$ где $p$ — атмосферное давление, $\Delta V$ — изменение объема.

Считая пар идеальным газом, запишем уравнение для изменения объема при испарении массы $\Delta m$ бензола:
$$p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT$$ где $M = 78 \cdot 10^{-3}\,\text{кг/моль}$ — молярная масса бензола, $T = 80 + 273 = 353\,\text{K}$ — температура кипения бензола.
Отсюда работа пара:
$$A = \frac{\Delta m \cdot R \cdot T}{M}$$

Количество теплоты $Q,$ необходимое для испарения массы $\Delta m$ бензола:
$$Q = \Delta m \cdot L$$ где $L = 396 \cdot 10^3\,\text{Дж/кг}$ — удельная теплота парообразования.
Искомая часть подведенного тепла, переходящая в работу:
$$n = \frac{A}{Q} = \frac{RT}{ML}$$
Подставляем числовые значения:
$$n = \frac{8.31 \cdot 353}{78 \cdot 10^{-3} \cdot 396 \cdot 10^3} \approx 0.095$$
Ответ: $n \approx 0.095.$

Изобарное сжатие.

Работа, совершаемая над газом при изобарном сжатии:
$$A_1 = p|\Delta V|$$Используем уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний:
$$pV_1 = vRT_1, \quad pV_2 = vRT_2$$где $T_2 = \frac{T_1}{k}.$
Изменение объема: $$V_1- V_2 = \frac{vR}{p}(T_1- T_2)$$Подставляем в выражение для работы:
$$A_1 = p(V_1- V_2) = vR(T_1- T_2) = vR\left(T_1- \frac{T_1}{k}\right) = \frac{k-1}{k}vRT_1$$

Адиабатическое расширение.

Для адиабатического процесса $( Q = 0 )$ работа газа равна изменению внутренней энергии с противоположным знаком:
$$A_2 = -\Delta U$$Внутренняя энергия идеального одноатомного газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2}vR(T_3- T_2)$$Подставляем $T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{T_1}{2k}$:
$$A_2 = \frac{3}{2}vR(T_2- T_3) = \frac{3}{2}vR\left(\frac{T_1}{k} — \frac{T_1}{2k}\right) = \frac{3}{4k}vRT_1$$

Отношение работ.

По условию:
$$\frac{A_1}{A_2} = 4$$Подставляем выражения для $A_1$ и $A_2$:
$$\frac{\frac{k-1}{k}vRT_1}{\frac{3}{4k}vRT_1} = 4$$Упрощаем:
$$\frac{4(k-1)}{3} = 4 \implies k-1 = 3 \implies k = 4$$
Ответ: $k = 4.$

Внутренняя энергия системы до удаления перегородки.

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия в каждой части цилиндра равна:
$$U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1, \quad U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2$$Суммарная внутренняя энергия системы:
$$U = U_1 + U_2 = \frac{3}{2}(p_1V_1 + p_2V_2)$$

Условия задачи.

Сосуд теплоизолирован $( Q = 0 )$ и имеет жесткие стенки $( A = 0 ),$ поэтому по первому началу термодинамики:
$$\Delta U = Q- A = 0$$Таким образом, внутренняя энергия системы сохраняется: $$U = \text{const}$$

Внутренняя энергия после удаления перегородки.

После удаления перегородки газ занимает весь объем $V = V_1 + V_2,$ и его внутренняя энергия выражается как:
$$U = \frac{3}{2}pV = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)$$

Приравнивание энергий и нахождение давления.

Приравниваем выражения для внутренней энергии до и после удаления перегородки:
$$\frac{3}{2}(p_1V_1 + p_2V_2) = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)$$Сокращаем общие множители и находим давление $p$: $$p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}$$

Подстановка числовых значений.

Переведем объемы в кубические метры $( 1\,\text{л} = 10^{-3}\,\text{м}^3 )$ и давления в паскали $( 1\,\text{атм} = 10^5\,\text{Па} )$:
$$V_1 = 1\,\text{м}^3, \quad V_2 = 2\,\text{м}^3, \quad p_1 = 2 \cdot 10^5\,\text{Па}, \quad p_2 = 1 \cdot 10^5\,\text{Па}$$Подставляем значения:
$$p = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 1 + 1 \cdot 10^5 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{4 \cdot 10^5}{3} \approx 1.33 \cdot 10^5\,\text{Па}$$Переводим результат обратно в атмосферы:
$$p \approx 1.33\,\text{атм}$$

Ответ: давление после удаления перегородки составит:
$$p = \frac{4}{3} \cdot 10^5\,\text{Па} \approx 1.33\,\text{атм}$$

$1)$ По определению относительная влажность равна отношению парциального давления водяных паров к давлению насыщенных паров при той же температуре, то есть
$$\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{н}}} $$

$2)$ Пусть после объединения двух порций воздуха суммарный объем пакета равен $V=V_1+V_2.$ Изначально обе порции находятся при температуре $T_1$; их парциальные давления водяного пара равны $p_1=\varphi_1 p_{\text{н1}}$ и $p_2=\varphi_2 p_{\text{н1}}.$ Число молей водяного пара в первой и второй порциях равно $\dfrac{p_1 V_1}{R T_1}$ и $\dfrac{p_2 V_2}{R T_1}$ соответственно, поэтому общее число молей водяного пара после смешивания
$$n=\dfrac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T_1} $$

$3)$ При остывании до температуры $T_2$ (мы пренебрегаем изменением объема пакета) парциальное давление водяного пара, если конденсации не произошло, равно
$$p’=\dfrac{n R T_2}{V}=\dfrac{(p_1 V_1 + p_2 V_2)T_2}{T_1 V} $$

Отсюда относительная влажность в конечном состоянии будет равна
$$\varphi_3=\dfrac{p’}{p_{\text{н2}}}=\dfrac{(p_1 V_1 + p_2 V_2)T_2}{p_{\text{н2}}\,T_1 V} $$

Подставляя $p_{1.2}=\varphi_{1.2} p_{\text{н1}},$ получаем удобную формулу
$$\varphi_3=\dfrac{p_{\text{н1}}}{p_{\text{н2}}}\cdot\dfrac{T_2}{T_1}\cdot\dfrac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1+V_2} $$

$4)$ Переведем температуры в Кельвины: $$T_1=35^\circ\text{C}+273{.}15=308{.}15\ \text{К}$$ $$T_2=22^\circ\text{C}+273{.}15=295{.}15\ \text{К}$$ Подставим численные значения (в относительных единицах влажности используем дроби: $\varphi_1=0{.}6,$ $\varphi_2=0{.}4{:})$
$$\varphi_3=\dfrac{5{.}63}{2{.}65}\cdot\dfrac{295{.}15}{308{.}15}\cdot\dfrac{0{.}6\cdot 3 + 0{.}4\cdot 2}{3+2} $$

Вычислим по шагам: $$\dfrac{5{.}63}{2{.}65}\approx 2{.}1245$$ $$\dfrac{295{.}15}{308{.}15}\approx 0{.}9580$$ $$\dfrac{0{.}6\cdot 3 + 0{.}4\cdot 2}{5}=\dfrac{1{.}8+0{.}8}{5}=0{.}52$$ Умножая, получаем
$$\varphi_3\approx 2{.}1245\cdot 0{.}9580\cdot 0{.}52\approx 1{.}058>1 $$

$5)$ Полученное значение $\varphi_3$ больше $1,$ это означает, что при oстывании часть водяного пара конденсируется и пар в пакете становится насыщенным. Следовательно окончательная относительная влажность воздуха в пакете равна $100\%.$

Ответ: $\varphi_3=100\%$

$1)$ По первому закону термодинамики количество теплоты, подведенное при испарении, идет на совершение работы расширения против внешнего давления и на изменение внутренней энергии жидкости, то есть
$$Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}$$

$2)$ Найдем массу испарившейся воды. Так как $$V_{\text{в}}=100\ \text{мл}=100\cdot 10^{-6}\ \text{м}^3=1{.}0\cdot 10^{-4}\ \text{м}^3$$ и плотность воды $$\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3$$ имеем $$m=\rho_{\text{в}}V_{\text{в}}=1000\cdot 1{.}0\cdot 10^{-4}=0{.}1\ \text{кг}$$

$3)$ Количество теплоты, затраченное на испарение этой массы воды при нормальном давлении, равно
$$Q_{12}=mL=0{.}1\cdot 2{.}3\cdot 10^{6}=2{.}30\cdot 10^{5}\ \text{Дж}=230\ 000\ \text{Дж}$$

$4)$ Работа $A_{12},$ совершенная паром при изотермическом расширении при нормальном давлении от объема воды до объема пара, равна примерно работе давления $p_0$ по объему пара. Так как объем пара велик, можно приближенно взять
$$A_{12}\approx p_0 V_{\text{пар}} $$
По уравнению состояния идеального газа $p_0 V_{\text{пар}}=nRT,$ где $n$ — число молей пара, а $n=\dfrac{m}{\mu}.$ Следовательно
$$A_{12}\approx \dfrac{m R T}{\mu} $$
Подставим числа:
$$A_{12}\approx \dfrac{0{.}1\cdot 8{.}31\cdot 373}{0{.}018}\approx 17\ 220\ \text{Дж} $$

$5)$ Теперь вычислим изменение внутренней энергии по формуле из пункта $1){:}$
$$\Delta U_{12}=Q_{12}-A_{12}=230\ 000- 17\ 220 \approx 212\ 780\ \text{Дж} $$
Округленно удобно записать ответ в килоджоулях:
$$\Delta U_{12}\approx 213\ \text{кДж} $$

Ответ: $\Delta U_{12}\approx 2{.}13\cdot 10^{5}\ \text{Дж}\ (\approx 213\ \text{кДж})$

Переведем величины в $СИ$ и выпишем данные:
$M=0.1\ \text{кг},$ $V=100\ \text{мл}=1\cdot 10^{-4}\ \text{м}^3,$ $T_1=373\ \text{К},$ $T_2=273\ \text{К},$ $\rho=900\ \text{кг/м}^3.$
Удельные величины: для меди $c=380\ Дж/(кг·К) ,$ удельная теплота плавления льда $\lambda=3.3\cdot 10^{5}\ \text{Дж/кг},$ удельная теплоемкость воды $c_{\text{в}}=4.2\cdot 10^{3}\ Дж/(кг·К) ,$ теплота парообразования $L=2.3\cdot 10^{6}\ \text{Дж/кг}$

$1)$ Масса льда в стакане:
$$m_{\ell}=\rho V=900\cdot 1\cdot 10^{-4}=0.09\ \text{кг}$$

$2)$ Теплота на нагрев меди от $T_2$ до $T_1{:}$
$$Q_1=c M (T_1-T_2)$$

$3)$ Теплота, необходимая для плавления льда:
$$Q_2=\lambda m_{\ell}$$

$4)$ Теплота на нагрев образовавшейся воды от $T_2$ до $T_1{:}$
$$Q_3=c_{\text{в}} m_{\ell} (T_1-T_2)$$

$5)$ Суммарная теплота, которую должен отдать конденсирующийся пар:
$$Q_{\text{н}}=Q_1+Q_2+Q_3$$

$6)$ При конденсации массы $m$ паров выделяется энергия $mL,$ поэтому
$$m=\dfrac{Q_{\text{н}}}{L}$$

$7)$ Подставим числовые значения:
$$Q_1=380\cdot 0.1\cdot(373-273)=380\cdot 0.1\cdot 100=3\ 800\ \text{Дж}$$
$$Q_2=3.3\cdot 10^{5}\cdot 0.09=29\ 700\ \text{Дж}$$
$$Q_3=4.2\cdot 10^{3}\cdot 0.09\cdot 100=37\ 800\ \text{Дж}$$
$$Q_{\text{н}}=3\ 800+29\ 700+37\ 800=71\ 300\ \text{Дж}$$
$$m=\dfrac{71\ 300}{2.3\cdot 10^{6}}\approx 0.031\ \text{кг}=31\ \text{г}$$

Итог: масса сконденсировавшихся паров примерно $31\ \text{г}$

Переведем объем в системы $СИ{:}$ $V=20\ \text{л}=20\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.$ Молярная масса неона примем $\mu=20\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.$ Газовая постоянная $R=8{.}31\ Дж/(моль·К) .$

$1)$ Начальная температура газа определяется из уравнения состояния Менделеева — Клапейрона $pV=R T_1,$ откуда
$$T_1=\dfrac{pV}{R} $$

$2)$ Среднеквадратичная скорость атомов выражается через температуру формулой $ \overline{v}=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}\,,$ поэтому начальная среднеквадратичная скорость равна
$$\overline{v}_1=\sqrt{\dfrac{3R T_1}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{3 p V}{\mu}}\, $$

Подстановка чисел дает
$$\overline{v}_1=\sqrt{\dfrac{3\cdot 10^5\ \text{Па}\cdot 20\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3}{20\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}}}\approx 5.48\cdot 10^{2}\ \text{м/с} $$

$3)$ Цилиндр теплоизолирован, процесс адиабатический, $Q=0.$ По первому началу термодинамики $\Delta U = Q- A = -A.$ Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия одного моля $U=\dfrac{3}{2}RT,$ поэтому
$$\dfrac{3}{2}R T_2=\dfrac{3}{2}R T_1- A $$
Отсюда
$$T_2=T_1- \dfrac{2A}{3R}\, $$

Подставим числа: $T_1=\dfrac{pV}{R}\approx \dfrac{10^5\cdot 0{.}02}{8{.}31}\approx 240{.}8\ \text{К},$ и
$$T_2\approx 240{.}8- \dfrac{2\cdot 500}{3\cdot 8{.}31}\approx 240{.}8- 40{.}1 \approx 200{.}7\ \text{К} $$

$4)$ Конечная среднеквадратичная скорость
$$\overline{v}_2=\sqrt{\dfrac{3R T_2}{\mu}}=\overline{v}_1\sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}}\approx 548\cdot\sqrt{\dfrac{200{.}7}{240{.}8}}\approx 500\ \text{м/с} $$

$5)$ Изменение среднеквадратичной скорости равно
$$\Delta\overline{v}=\overline{v}_2-\overline{v}_1\approx 500-548\approx -48\ \text{м/с} $$

Итог: среднеквадратичная скорость уменьшилась примерно на $48\ \text{м/с}.$

$1)$ Переведем температуры в Кельвины: $T_{h1}=800^\circ\text{C}=1\ 073\ \text{К},$ $T_{x1}=0^\circ\text{C}=273\ \text{К},$ $T_{x2}=60^\circ\text{C}=333\ \text{К}$

$2)$ $КПД$ цикла Карно равен $ \eta=1-\dfrac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{наг}}} .$ Для двигателя $1$ имеем
$$\eta_1=1-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}$$
и поэтому
$$A_1=\eta_1 Q^+=(1-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}})\,Q^+$$

$3)$ Для двигателя $2,$ так как $T_{h2}=T_{h1}$ и холодильник $T_{x2},$
$$\eta_2=1-\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}},\qquad A_2=\eta_2 Q^+=(1-\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}})\,Q^+$$

$4)$ Теплота, отброшенная двигателем $2$ за цикл, равна
$$Q_2^-=Q^+-A_2=(1-\eta_2)\,Q^+=\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}\,Q^+$$
По условию эта величина поступает в качестве подведенной теплоты для двигателя $3,$ то есть $Q_3^+=Q_2^-$

$5)$ КПД двигателя $3$ равен
$$\eta_3=1-\dfrac{T_{x3}}{T_{h3}}=1-\dfrac{T_{x1}}{T_{x2}}$$
и работа двигателя $3$ за цикл
$$A_3=\eta_3 Q_3^+=\Big(1-\dfrac{T_{x1}}{T_{x2}}\Big)\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}\,Q^+=\Big(\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}\Big)\,Q^+$$

$6)$ Сумма работ двигателей $2$ и $3$ равна
$$A_2+A_3=\Big(1-\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}\Big)Q^++\Big(\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}\Big)Q^+=\Big(1-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}\Big)Q^+=A_1$$

Следовательно $A_1=A_2+A_3,$ то есть отношение равно $1$

Ответ: $1$

$1)$ В молекулярно-кинетической теории для идеального газа среднеквадратичная скорость связана с температурой формулой
$$u=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}\, $$
Отсюда
$$T=\dfrac{\mu u^2}{3R}\, $$

$2)$ При изобарическом процессе (для $1$ моля газа) работа равна
$$A=p(V_2-V_1)=R(T_2-T_1)\, $$

$3)$ Подставим выражения температур через среднеквадратичные скорости:
$$A=R\Big(\dfrac{\mu u_2^2}{3R}-\dfrac{\mu u_1^2}{3R}\Big)=\dfrac{\mu}{3}\,(u_2^2-u_1^2)\, $$

$4)$ Отсюда молярная масса газа выражается как
$$\mu=\dfrac{3A}{u_2^2-u_1^2}\, $$

$5)$ Вычислим численно. Имеем $u_1^2=350^2=122\ 500,$ $u_2^2=380^2=144\ 400,$ поэтому $u_2^2-u_1^2=21\ 900.$ Тогда
$$\mu=\dfrac{3\cdot 292}{21\ 900}=\dfrac{876}{21\ 900}\approx 0{.}040\ \text{кг/моль}\, $$

$6)$ Перевод в граммы на моль: $0{.}040\ \text{кг/моль}=40\ \text{г/моль}.$

Ответ: $\mu\approx 0{.}040\ \text{кг/моль}=40\ \text{г/моль}.$

$1)$ Для изобарного процесса выполнена связь между работой и изменением температуры. Так как $p\Delta V=\nu R\Delta T,$ модуль совершаемой работы при переходе из состояния с температурой $T_1$ в состояние с температурой $T_2$ равен
$$A_1=\nu R(T_1-T_2)$$

$2)$ Подставим соотношение $T_2=\dfrac{T_1}{4},$ тогда
$$T_1-T_2=T_1-\dfrac{T_1}{4}=\dfrac{3}{4}T_1$$
и поэтому
$$A_1=\nu R\cdot \dfrac{3}{4}T_1=\dfrac{3}{4}\,\nu R T_1$$

$3)$ В адиабатическом процессе $Q=0,$ поэтому по первому началу термодинамики $\Delta U + A_2=0,$ где $A_2$ — работа, совершенная газом при расширении. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии равно $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R (T_3-T_2).$ Отсюда
$$A_2=-\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R (T_2-T_3)$$

$4)$ Найдем разность температур в адиабатическом процессе, используя заданные отношения:
$$T_2-T_3=\dfrac{T_1}{4}-\dfrac{T_1}{8}=\dfrac{T_1}{8}$$
Подставляя в выражение для $A_2,$ получаем
$$A_2=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot \dfrac{T_1}{8}=\dfrac{3}{16}\,\nu R T_1$$

$5)$ Сравним $A_2$ с $A_1.$ По пункту $2)$ $A_1=\dfrac{3}{4}\nu R T_1,$ поэтому
$$\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{\dfrac{3}{16}\nu R T_1}{\dfrac{3}{4}\nu R T_1}=\dfrac{1}{4}$$
То есть
$$A_2=\dfrac{A_1}{4}$$

$6)$ Подставим числовое значение $A_1=2{.}4\ \text{кДж}=2400\ \text{Дж}{:}$
$$A_2=\dfrac{2400}{4}=600\ \text{Дж}$$

Ответ: $A_2=600\ \text{Дж}$

$1)$ Переведем объемы в $СИ{:}$ $V_1=15\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3,$ $V_2=30\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.$

$2)$ На первом, изобарическом участке газ совершил положительную работу
$$A_1=p_1(V_2-V_1)$$
Подставляя числа, получаем
$$A_1=10^5\cdot(30\cdot 10^{-3}-15\cdot 10^{-3})=1\ 500\ \text{Дж}$$

$3)$ Найдем коэффициент пропорциональности $k.$ В состоянии с объемом $V_2$ давление равно $p_1,$ поэтому
$$k=\dfrac{p_1}{V_2}=\dfrac{10^5}{30\cdot 10^{-3}}=\dfrac{1}{3}\cdot 10^7\ \text{Па/м}^3$$

$4)$ В конце второго процесса объем стал равен $V_1,$ следовательно давление там равно
$$p_2=kV_1=\dfrac{p_1}{V_2}V_1=p_1\dfrac{V_1}{V_2}=10^5\cdot\dfrac{15}{30}=0{.}5\cdot 10^5=5\cdot 10^4\ \text{Па}$$

$5)$ Во втором процессе давление зависит от объема по линейному закону $p=kV,$ поэтому работа газа при переходе от $V_2$ к $V_1$ равна площади трапеции под графиком $p(V){:}$
$$A_2=\dfrac{1}{2}(p_1+p_2)(V_1-V_2)$$
Так как $V_1-V_2$ отрицательно, работа будет отрицательной. Подставляя числа:
$$A_2=\dfrac{1}{2}(10^5+0{.}5\cdot 10^5)\cdot(15\cdot 10^{-3}-30\cdot 10^{-3})=-1\ 125\ \text{Дж}$$

$6)$ Суммарная работа газа за весь процесс равна
$$A=A_1+A_2=1\ 500-1\ 125=375\ \text{Дж}$$

Ответ: $A=375\ \text{Дж}$

$1)$ Обозначения и перевод в Кельвины: $T_1=t_1+273=293\ \text{К},$ $T_2=t_2+273=255\ \text{К}.$ Мощность подведения работы (электропотребление) равна $P=89{.}4\ \text{Вт}.$

$2)$ Для обратного цикла Карно коэффициент полезного действия в режиме холодильника (коэффициент эффективности холодильника) равен
$$\varepsilon=\dfrac{Q_{\text{х}}}{A}=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}\, $$
где $Q_{\text{х}}$ — мощность отвода теплоты из холодного бака (внутри камеры), $A$ — мощность, затрачиваемая на работу (в данном случае $A=P$).

$3)$ Отсюда мощность подвода (т.е. мощность теплового потока, поступающего в камеру и отводимого холодильником) равна
$$Q_{\text{х}}=\varepsilon A=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}\,P\, $$

$4)$ Подставим численные значения:
$$Q_{\text{х}}=\dfrac{255}{293-255}\cdot 89{.}4=\dfrac{255}{38}\cdot 89{.}4\approx 6{.}7105\cdot 89{.}4\approx 600\ \text{Вт}\, $$

Ответ: мощность подвода теплоты в камеру из окружающей среды равна $600\ \text{Вт}.$

$1)$ Объем переведем в $СИ{:}$ $V_1=30\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.$

$2)$ По уравнению состояния Менделеева — Клапейрона количество вещества равно
$$\displaystyle \nu=\dfrac{p_1V_1}{R T_1}$$

Подставим числа и вычислим $\nu{:}$
$$\displaystyle \nu=\dfrac{2{.}5\cdot 10^4\cdot 30\cdot 10^{-3}}{8{.}31\cdot 100}\approx 0{.}902\ \text{моль}$$

$3)$ Так как молярная теплоемкость растет по закону $C_m=aT,$ средняя молярная теплоемкость на интервале от $T_1$ до $T_2$ равна
$$\displaystyle C_{\text{cp}}=\dfrac{C_m(T_1)+C_m(T_2)}{2}=\dfrac{a(T_1+T_2)}{2}$$

Подставляя числовые значения, получаем
$$\displaystyle C_{\text{cp}}=\dfrac{0{.}25\,(100+300)}{2}=50\ Дж/(моль·К) $$

$4)$ Количество теплоты, требуемое для нагрева при постоянном количестве вещества, равно
$$\displaystyle Q=\nu\,C_{\text{cp}}\,(T_2-T_1)$$

Подставим все величины:
$$\displaystyle Q\approx 0{.}902\cdot 50\cdot(300-100)=0{.}902\cdot 50\cdot 200\approx 9\ 023\ \text{Дж}$$

Итог: требуемое количество теплоты примерно $Q\approx 9\ 023\ \text{Дж}.$

$1)$ Переведем температуры в Кельвины: $T_\text{н}=25+273=298\ \text{К},$ $T_\text{х}=-18+273=255\ \text{К},$ и обозначим $Q_\text{х}=165\ \text{кДж}.$

$2)$ Для обратного цикла Карно отношение отобранной от холодного тела теплоты к затраченной работе равно
$$\varepsilon=\dfrac{Q_\text{х}}{A}=\dfrac{T_\text{х}}{T_\text{н}-T_\text{х}}\, $$
откуда работа
$$A=Q_\text{х}\,\dfrac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{х}}\, $$

$3)$ Подставим числа:
$$A=165\ \text{кДж}\cdot\dfrac{298-255}{255}=165\ \text{кДж}\cdot\dfrac{43}{255}\approx 27{.}78\ \text{кДж}\, $$

Ответ: $A\approx 28\ \text{кДж}.$