ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #215371
Два школьника на уроке физики решили надуть большой пустой пластиковый пакет. Сначала один из них вдул в него изо рта объем $V_1=3\ \text{л}$ воздуха с относительной влажностью $\varphi_1=60\%$ и температурой $t_1=35^\circ\text{C},$ а затем второй вдул туда же объем $V_2=2\ \text{л}$ воздуха с относительной влажностью $\varphi_2=40\%$ и с той же температурой. Какова будет относительная влажность воздуха $\varphi_3$ в пакете после его остывания до комнатной температуры $t_2=22^\circ\text{C} ?$ Давления насыщенных паров воды при температурах $t_1$ и $t_2$ равны, соответственно, $p_{\text{н1}}\approx 5{.}63\ \text{кПа}$ и $p_{\text{н2}}\approx 2{.}65\ \text{кПа}.$ Изменением объема пакета при остывании воздуха пренебречь.
$1)$ По определению относительная влажность равна отношению парциального давления водяных паров к давлению насыщенных паров при той же температуре, то есть
$$\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{н}}} $$
$2)$ Пусть после объединения двух порций воздуха суммарный объем пакета равен $V=V_1+V_2.$ Изначально обе порции находятся при температуре $T_1$; их парциальные давления водяного пара равны $p_1=\varphi_1 p_{\text{н1}}$ и $p_2=\varphi_2 p_{\text{н1}}.$ Число молей водяного пара в первой и второй порциях равно $\dfrac{p_1 V_1}{R T_1}$ и $\dfrac{p_2 V_2}{R T_1}$ соответственно, поэтому общее число молей водяного пара после смешивания
$$n=\dfrac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T_1} $$
$3)$ При остывании до температуры $T_2$ (мы пренебрегаем изменением объема пакета) парциальное давление водяного пара, если конденсации не произошло, равно
$$p’=\dfrac{n R T_2}{V}=\dfrac{(p_1 V_1 + p_2 V_2)T_2}{T_1 V} $$
Отсюда относительная влажность в конечном состоянии будет равна
$$\varphi_3=\dfrac{p’}{p_{\text{н2}}}=\dfrac{(p_1 V_1 + p_2 V_2)T_2}{p_{\text{н2}}\,T_1 V} $$
Подставляя $p_{1.2}=\varphi_{1.2} p_{\text{н1}},$ получаем удобную формулу
$$\varphi_3=\dfrac{p_{\text{н1}}}{p_{\text{н2}}}\cdot\dfrac{T_2}{T_1}\cdot\dfrac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1+V_2} $$
$4)$ Переведем температуры в Кельвины: $$T_1=35^\circ\text{C}+273{.}15=308{.}15\ \text{К}$$ $$T_2=22^\circ\text{C}+273{.}15=295{.}15\ \text{К}$$ Подставим численные значения (в относительных единицах влажности используем дроби: $\varphi_1=0{.}6,$ $\varphi_2=0{.}4{:})$
$$\varphi_3=\dfrac{5{.}63}{2{.}65}\cdot\dfrac{295{.}15}{308{.}15}\cdot\dfrac{0{.}6\cdot 3 + 0{.}4\cdot 2}{3+2} $$
Вычислим по шагам: $$\dfrac{5{.}63}{2{.}65}\approx 2{.}1245$$ $$\dfrac{295{.}15}{308{.}15}\approx 0{.}9580$$ $$\dfrac{0{.}6\cdot 3 + 0{.}4\cdot 2}{5}=\dfrac{1{.}8+0{.}8}{5}=0{.}52$$ Умножая, получаем
$$\varphi_3\approx 2{.}1245\cdot 0{.}9580\cdot 0{.}52\approx 1{.}058>1 $$
$5)$ Полученное значение $\varphi_3$ больше $1,$ это означает, что при oстывании часть водяного пара конденсируется и пар в пакете становится насыщенным. Следовательно окончательная относительная влажность воздуха в пакете равна $100\%.$
Ответ: $\varphi_3=100\%$
20
