ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208464
Изобретатель массой $m = 60\,\text{кг}$ планирует подняться в воздух, используя $n = 5\ 000$ воздушных шариков, наполненных гелием. Определите, до какого объема $V$ необходимо надуть каждый шарик, чтобы изобретатель смог взлететь при нормальных условиях:
- атмосферное давление $p_0 = 10^5\,\text{Па},$
- температура воздуха $T = 27\,^\circ\text{C} = 300\,\text{K}.$
Массой оболочек шариков и объемом тела изобретателя пренебречь. Молярная масса воздуха $M_{\text{возд}} = 0.029\,\text{кг/моль},$ молярная масса гелия $M_{\text{He}} = 0.004\,\text{кг/моль}.$
Условие подъема.
Сумма сил тяжести изобретателя и гелия должна быть равна силе Архимеда, действующей на все шарики:
$$mg + m_{\text{He}}g = F_A$$где:
$m_{He} = \rho_{He} \cdot nV$ — масса гелия,
$F_A = \rho_{возд} \cdot nV \cdot g$ — сила Архимеда.
Выражение для плотностей.
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для нахождения плотностей:
$$\rho = \frac{pM}{RT}$$Для воздуха:
$$\rho_{\text{возд}} = \frac{p_0 M_{\text{возд}}}{RT}$$Для гелия:
$$\rho_{\text{He}} = \frac{p_0 M_{\text{He}}}{RT}$$
Подстановка в условие равновесия:
$$mg + \rho_{\text{He}} \cdot nV \cdot g = \rho_{\text{возд}} \cdot nV \cdot g$$Сокращаем $g$ и выражаем $V$:
$$m = nV (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})$$ $$V = \frac{m}{n (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})}$$
Подставляем числовые значения:
$$\rho_{\text{возд}} = \frac{10^5 \cdot 0.029}{8.31 \cdot 300} \approx 1.16\,\text{кг/м}^3$$
$$\rho_{\text{He}} = \frac{10^5 \cdot 0.004}{8.31 \cdot 300} \approx 0.16\,\text{кг/м}^3$$
Расчет объема одного шарика:
$$V = \frac{60}{5\ 000 (1.16- 0.16)} = \frac{60}{5000 \cdot 1} = 0.012\,\text{м}^3 = 12\,\text{л}$$
Ответ: каждый шарик необходимо надуть до объема $12\,\text{л}.$
20
