24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: мкт, механическое равновесие

Гелий и аргон описываются моделью идеального одноатомного газа. Внутренняя энергия $U$ газа пропорциональна температуре $T$ и числу молей $\nu$:
$$U = \frac{3}{2} \nu RT$$

Связь между температурой, давлением и объемом идеального газа задается уравнением Клапейрона — Менделеева: $$pV = \nu RT$$ Поршень находится в механическом равновесии, поэтому давления газов равны. В начальный момент объемы газов одинаковы $(V_1 = V_2 ),$ что дает:
$$\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2$$ где $T_1 = 300\,\text{К}$ — начальная температура гелия, $T_2 = 900\,\text{К}$ — начальная температура аргона.

Цилиндр теплоизолирован, и работа силы трения равна нулю, поэтому суммарная внутренняя энергия газов сохраняется:
$$\frac{3}{2} \nu_1 R T_1 + \frac{3}{2} \nu_2 R T_2 = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T$$ где $T$ — конечная температура газов после установления равновесия.
Отсюда находим $T$:
$$T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2}$$ Подставляя $\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2,$ получаем:
$$T = 2 \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$$

Отношение внутренней энергии гелия после установления равновесия к начальной энергии равно отношению температур:
$$\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = \frac{T}{T_1} = 2 \frac{T_2}{T_1 + T_2}$$ Подставляя численные значения:
$$\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = 2 \cdot \frac{900}{300 + 900} = 2 \cdot \frac{900}{1200} = \frac{3}{2} = 1.5$$
Ответ: отношение внутренней энергии гелия после установления теплового равновесия к его начальной энергии равно $1.5.$

Условия равновесия поршня.

В покоящемся сосуде:
$$p_1 = p_u + \frac{mg}{S}$$ где $p_u$ — наружное давление, $p_1$ — давление газа в покое.

В движущемся сосуде с ускорением $a$:
$$p_2 = p_u + \frac{m(g + a)}{S}$$ где $p_2$ — давление газа при движении.

Изменение объема газа.
По условию, высота столба газа уменьшается на $5\%,$ поэтому отношение объемов:
$$\frac{V_2}{V_1} = 0.95$$
Поскольку температура газа постоянна, из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$p_1V_1 = p_2V_2$$
Отсюда: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{0.95}$$
Подставляем $p_1$ и $p_2$:
$$p_u + \frac{mg}{S} = 0.95 \left( p_u + \frac{m(g + a)}{S} \right)$$
Раскрываем скобки и упрощаем:
$$p_u + \frac{mg}{S} = 0.95p_u + \frac{0.95m(g + a)}{S}$$ $$p_u- 0.95p_u = \frac{0.95m(g + a)}{S} — \frac{mg}{S}$$ $$0.05p_u = \frac{m}{S} \left( 0.95(g + a)- g \right)$$$$0.05p_u = \frac{m}{S} \left( 0.95a- 0.05g \right)$$

Подставляем числовые значения:
$$0.05p_u = \frac{10}{50 \cdot 10^{-4}} \left( 0.95 \cdot 1- 0.05 \cdot 9.8 \right)$$$$0.05p_u = 2\ 000 \left( 0.95- 0.49 \right)$$ $$0.05p_u = 2\ 000 \cdot 0.46$$ $$0.05p_u = 920$$ $$p_u = \frac{920}{0.05} = 18\ 400\,\text{Па}$$
Округляем до двух значащих цифр:
$$p_u \approx 1.8 \cdot 10^4\,\text{Па}$$
Ответ: наружное давление равно $1.8 \cdot 10^4\,\text{Па}.$

Исходное состояние газа.

Объем газа: $V = Sh.$
Давление газа определяется равновесием поршня:
$$p = p_0 + \frac{Mg}{S}$$ Это давление остается постоянным в течение всего процесса, так как поршень подвижный, а внешнее давление $p_0$ неизменно.

Уравнение состояния газа.

Используем уравнение Клапейрона — Менделеева:
$$pV = \nu RT$$где $\nu$ — количество вещества газа (в молях). Отсюда:
$$\nu = \frac{pV}{RT} = \frac{(p_0S + Mg)h}{RT}$$

Изменение состояния газа.

После подвода теплоты $Q$ температура газа увеличивается на $\Delta T,$ а объем изменяется на:
$$\Delta V = S(H- h)$$ где $H$ — новая высота поршня.
Согласно первому началу термодинамики:
$$Q = \Delta U + A$$ где:
$\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа.
$A$ — работа газа.

Вычисление $\Delta U$ и $A.$

Для одноатомного идеального газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$
Работа газа в изобарическом процессе:
$$A = p \Delta V$$

Связь между $\Delta V$ и $\Delta T.$

В изобарическом процессе:
$$p \Delta V = \nu R \Delta T$$Подставляем это в выражение для $Q$:
$$Q = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + p \Delta V = \frac{3}{2} p \Delta V + p \Delta V = \frac{5}{2} p \Delta V$$

Нахождение $H$.

Выражаем $\Delta V$ через $H$:
$$Q = \frac{5}{2} p S (H- h)$$ Решаем относительно $H$:
$$H- h = \frac{2Q}{5 p S}$$$$H = h + \frac{2Q}{5 p S}$$ Подставляем выражение для $p$:
$$H = h + \frac{2Q}{5 \left( p_0 + \frac{Mg}{S} \right) S} = h + \frac{2Q}{5 (p_0 S + Mg)}$$
Ответ: высота поршня после подвода теплоты равна:
$$H = h + \frac{2Q}{5(p_0 S + Mg)}$$

Условие подъема шара.

Для подъема шара с грузом сила Архимеда $F_A$ должна компенсировать силу тяжести, действующую на оболочку, груз и воздух внутри шара:
$$F_A \geq (M + m)g + m_B g$$ где $m_B = \rho V$ — масса воздуха внутри шара, $\rho$ — его плотность.

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:
$$F_A = \rho_0 g V$$
Подстановка в условие подъема:
$$\rho_0 g V \geq (M + m)g + \rho g V$$ Сокращаем $g$:
$$\rho_0 V \geq M + m + \rho V \quad (1)$$
Используем уравнение состояния идеального газа:
$$\rho = \frac{p \mu}{R T}$$где $p$ — давление (одинаковое внутри и снаружи шара), $\mu$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Для окружающего воздуха:
$$\rho_0 = \frac{p \mu}{R T_0}$$где $T_0 = 280\,\text{K}.$

Отсюда выражаем плотность внутри шара:
$$\rho = \rho_0 \frac{T_0}{T}$$ где $T$ — температура воздуха внутри шара.

Подстановка в неравенство $(1)$:
$$\rho_0 V \geq M + m + \rho_0 \frac{T_0}{T} V$$ Переносим слагаемые:
$$\rho_0 V- \rho_0 \frac{T_0}{T} V \geq M + m$$$$\rho_0 V \left(1- \frac{T_0}{T}\right) \geq M + m$$ Решаем относительно $T$:
$$1- \frac{T_0}{T} \geq \frac{M + m}{\rho_0 V}$$ $$\frac{T_0}{T} \leq 1- \frac{M + m}{\rho_0 V}$$ $$T \geq \frac{T_0}{1- \frac{M + m}{\rho_0 V}}$$
Подставляем числовые значения:
$$T \geq \frac{280}{1- \frac{400 + 200}{1.2 \cdot 2500}} = \frac{280}{1- \frac{600}{3000}} = \frac{280}{1- 0.2} = \frac{280}{0.8} = 350\,\text{K}$$
Минимальная разность температур между воздухом внутри шара и окружающим воздухом:
$$\Delta T = T- T_0 = 350- 280 = 70\,\text{K}$$
Ответ: минимальная разность температур составляет $70\,\text{K}.$

Горизонтальное положение.

Давление воздуха в пробирке равно атмосферному:
$$p_1 = p_0 = 739\,\text{мм рт. ст.}$$Объем воздуха:
$$V_1 = S \cdot l_1$$где $S$ — площадь сечения пробирки.

Вертикальное положение.

Давление складывается из атмосферного и давления столбика ртути:
$$p_2 = p_0 + \rho g h$$ где $\rho$ — плотность ртути, $h = 21\,\text{см}$ — высота столбика.
Переведем давление ртутного столбика в мм рт. ст.: $$p_{рт} = 210\,\text{мм рт. ст.}$$ (так как $1\,\text{см рт. ст.} = 10\,\text{мм рт. ст.}$)
Таким образом:
$$p_2 = 739 + 210 = 949\,\text{мм рт. ст.}$$Объем воздуха:
$$V_2 = S \cdot l_2$$
Поскольку процесс изотермический $(T = const)$:
$$p_1 V_1 = p_2 V_2$$ Подставляем выражения для объемов:
$$p_1 \cdot S \cdot l_1 = p_2 \cdot S \cdot l_2$$ Сокращаем площадь $S$:
$$p_1 l_1 = p_2 l_2$$
Вычисление $l_2$:
$$l_2 = \frac{p_1 l_1}{p_2} = \frac{739 \cdot 24}{949} \approx 18.7\,\text{см}$$Округляем до целых:
$$l_2 \approx 19\,\text{см}$$
Ответ: длина столбика воздуха в вертикальном положении составит $19\,\text{см}.$

Условие подъема.

Сумма сил тяжести изобретателя и гелия должна быть равна силе Архимеда, действующей на все шарики:
$$mg + m_{\text{He}}g = F_A$$где:
$m_{He} = \rho_{He} \cdot nV$ — масса гелия,
$F_A = \rho_{возд} \cdot nV \cdot g$ — сила Архимеда.

Выражение для плотностей.

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для нахождения плотностей:
$$\rho = \frac{pM}{RT}$$Для воздуха:
$$\rho_{\text{возд}} = \frac{p_0 M_{\text{возд}}}{RT}$$Для гелия:
$$\rho_{\text{He}} = \frac{p_0 M_{\text{He}}}{RT}$$
Подстановка в условие равновесия:
$$mg + \rho_{\text{He}} \cdot nV \cdot g = \rho_{\text{возд}} \cdot nV \cdot g$$Сокращаем $g$ и выражаем $V$:
$$m = nV (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})$$ $$V = \frac{m}{n (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})}$$
Подставляем числовые значения:
$$\rho_{\text{возд}} = \frac{10^5 \cdot 0.029}{8.31 \cdot 300} \approx 1.16\,\text{кг/м}^3$$
$$\rho_{\text{He}} = \frac{10^5 \cdot 0.004}{8.31 \cdot 300} \approx 0.16\,\text{кг/м}^3$$
Расчет объема одного шарика:
$$V = \frac{60}{5\ 000 (1.16- 0.16)} = \frac{60}{5000 \cdot 1} = 0.012\,\text{м}^3 = 12\,\text{л}$$
Ответ: каждый шарик необходимо надуть до объема $12\,\text{л}.$

Условие подъема.

Сумма сил тяжести мальчика и гелия должна быть равна силе Архимеда:
$$mg + m_{\text{He}}g = F_A$$где:
$m_{\text{He}} = \rho_{\text{He}} \cdot nV$ — масса гелия,
$F_A = \rho_{\text{возд}} \cdot nV \cdot g$ — сила Архимеда.

Используем уравнение состояния идеального газа:
$$\rho = \frac{pM}{RT}$$Для воздуха:
$$\rho_{\text{возд}} = \frac{10^5 \cdot 0.029}{8.31 \cdot 300} \approx 1.16\,\text{кг/м}^3$$
для гелия:
$$\rho_{\text{He}} = \frac{10^5 \cdot 0.004}{8.31 \cdot 300} \approx 0.16\,\text{кг/м}^3$$

Подстановка в условие равновесия:
$$40g + 0.16 \cdot n \cdot 0.01 \cdot g = 1.16 \cdot n \cdot 0.01 \cdot g$$
Сокращаем $g$ и решаем:
$$40 = n \cdot 0.01 (1.16- 0.16)$$ $$40 = n \cdot 0.01 \cdot 1$$ $$n = \frac{40}{0.01} = 4\ 000$$
Ответ: для подъема потребуется $4\ 000$ воздушных шаров.

Сохранение внутренней энергии.

Так как система теплоизолирована и работа не совершается, суммарная внутренняя энергия сохраняется. Для одноатомных газов (гелий и аргон):
$$\frac{3}{2}ν_1RT_1 + \frac{3}{2}ν_2RT_2 = \frac{3}{2}(ν_1 + ν_2)RT$$ где $T$ — конечная температура смеси. Сокращая $\frac{3}{2}R,$ получаем:
$$ν_1T_1 + ν_2T_2 = (ν_1 + ν_2)T$$
Расчет конечной температуры:
$$T = \frac{ν_1T_1 + ν_2T_2}{ν_1 + ν_2} = \frac{1 \cdot 450 + 3 \cdot 300}{1 + 3} = \frac{450 + 900}{4} = 337.5\,\text{K}$$
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для конечного состояния:
$$p \cdot 2V = (ν_1 + ν_2)RT$$Выражаем давление:
$$p = \frac{(ν_1 + ν_2)RT}{2V} = \frac{(1 + 3) \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2 \cdot 1}$$Вычисляем:
$$p = \frac{4 \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2} = 2 \cdot 8.31 \cdot 337.5 ≈ 5\ 600\,\text{Па} = 5.6\,\text{кПа}$$
Ответ: давление в сосудах после установления равновесия составит $5.6\,\text{кПа}.$

Горизонтальное положение.

Давление воздуха в трубке равно атмосферному:
$$p_1 = p_0$$Объем воздуха:
$$V_1 = S \cdot l_1$$ где $S$ — площадь сечения трубки.

Вертикальное положение.

Давление складывается из атмосферного и давления столбика жидкости:
$$p_2 = p_0- \rho g l$$Объем воздуха: $$V_2 = S \cdot l_2$$
Поскольку процесс изотермический:
$$p_1 V_1 = p_2 V_2$$Подставляем выражения для объемов и давлений:
$$p_0 \cdot S \cdot l_1 = (p_0- \rho g l) \cdot S \cdot l_2$$Сокращаем площадь $S$:
$$p_0 l_1 = (p_0- \rho g l) l_2$$
Раскрываем скобки и выражаем $\rho$:
$$p_0 l_1 = p_0 l_2- \rho g l l_2$$ $$\rho g l l_2 = p_0 (l_2- l_1)$$ $$\rho = \frac{p_0 (l_2- l_1)}{g l l_2}$$ Подставляем числовые значения:
$$\rho = \frac{10^5 \cdot (0.250- 0.216)}{10 \cdot 0.100 \cdot 0.250} = \frac{10^5 \cdot 0.034}{0.25} = 13\ 600\,\text{кг/м}^3$$
Ответ: плотность неизвестной жидкости составляет $13\ 600\,\text{кг/м}^3.$

Условие подъема.

Сила Архимеда должна компенсировать суммарную силу тяжести:
$$F_A = (m_0 + m + m_b)g$$ где $m_b$ — масса воздуха внутри шара.

Сила Архимеда:
$$F_A = \rho_1 g V$$где $\rho_1$ — плотность окружающего воздуха.

Плотность окружающего воздуха.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$\rho_1 = \frac{p_a M}{R T_1}$$
Масса воздуха внутри шара.
Для нагретого воздуха:
$$m_b = \rho_2 V = \frac{p_a M V}{R T_2}$$ где $T_2$ — температура воздуха внутри шара.

Подстановка в условие равновесия:
$$\frac{p_a M V g}{R T_1} = (m_0 + m)g + \frac{p_a M V g}{R T_2}$$ Сокращаем $g$ и выражаем $T_2$:
$$\frac{p_a M V}{R T_1} — (m_0 + m) = \frac{p_a M V}{R T_2}$$ $$T_2 = \frac{p_a M V}{R \left(\frac{p_a M V}{R T_1}- m_0- m\right)}$$
Подставляем значения:
$$T_2 = \frac{10^5 \cdot 0.029 \cdot 1500}{8.31 \left(\frac{10^5 \cdot 0.029 \cdot 1500}{8.31 \cdot 290}- 400- 200\right)} \approx 434\,\text{K}$$
Разность температур:
$$\Delta T = T_2- T_1 = 434- 290 = 144\,\text{K}$$
Ответ: минимальная разность температур составляет $144\,^\circ\text{C}.$

Начальное равновесие.

Давление в верхней части: $$p_1 = \frac{νRT}{V_{\text{верх}}} $$
Давление в нижней части: $$p_2 = \frac{νRT}{V_{\text{низ}}} $$
Условие равновесия поршня:
$$p_2S = p_1S + mg$$где $S$ — площадь поршня. Подставляем давления:
$$\frac{νRT}{V_{\text{низ}}} = \frac{νRT}{V_{\text{верх}}} + \frac{mg}{S}$$
Из начального условия $V_{\text{верх}} = 2V_{\text{низ}},$ обозначим $V_{\text{низ}} = V$:
$$\frac{νRT}{V} = \frac{νRT}{2V} + \frac{mg}{S}$$ $$\frac{νRT}{2V} = \frac{mg}{S} \quad \Rightarrow \quad mg = \frac{νRTS}{2V}$$

После откачки газа.

В верхней части газа нет $( p_1 = 0 ),$ поэтому условие равновесия:
$$pS = mg$$где $p$ — давление в нижней части. Подставляем $mg$:
$$pS = \frac{νRTS}{2V} \quad \Rightarrow \quad p = \frac{νRT}{2V}$$

Новый объем нижней части.

Используем уравнение состояния для газа в нижней части:
$$pV_{\text{низ}}’ = νRT$$ $$\frac{νRT}{2V} \cdot V_{\text{низ}}’ = νRT \quad \Rightarrow \quad V_{\text{низ}}’ = 2V$$

Отношение объемов.

Поскольку общий объем сосуда сохраняется $( V_{\text{верх}} + V_{\text{низ}} = 3V ), $ новый объем верхней части:
$$V_{\text{верх}}’ = 3V- 2V = V$$Искомое отношение:
$$\frac{V_{\text{верх}}’}{V_{\text{низ}}’} = \frac{V}{2V} = 0.5$$
Ответ: отношение объемов верхней и нижней частей после откачки равно $0.5.$

Начальное равновесие.

Обозначим общий объем сосуда $V_{\text{общ}} = V_{\text{верх}} + V_{\text{низ}} = 3V,$ где $V_{\text{низ}} = V,$ $V_{\text{верх}} = 2V.$
Давления по уравнению Менделеева-Клапейрона:
$$p_1 = \frac{νRT}{2V}, \quad p_2 = \frac{νRT}{V}$$Условие равновесия поршня:
$$p_2S = p_1S + mg \Rightarrow \frac{νRT}{V} = \frac{νRT}{2V} + \frac{mg}{S}$$ Выражаем массу поршня:
$$mg = \frac{νRTS}{2V}$$

После удаления части газа.

Новое количество газа в нижней части: $ν- \Delta ν.$
Новые объемы: $V_{\text{верх}}’ = 3V_{\text{низ}}’$ $($так как $V_{\text{верх}}’/V_{\text{низ}}’ = 3)$ и $V_{\text{общ}} = V_{\text{верх}}’ + V_{\text{низ}}’ = 4V_{\text{низ}}’ = 3V \Rightarrow V_{\text{низ}}’ = \frac{3V}{4}.$
Новые давления:
$$p_1′ = \frac{νRT}{V_{\text{верх}}’} = \frac{νRT}{\frac{9V}{4}} = \frac{4νRT}{9V}$$ $$p_2′ = \frac{(ν- \Delta ν)RT}{V_{\text{низ}}’} = \frac{4(ν- \Delta ν)RT}{3V}$$ Условие равновесия:
$$p_2’S = p_1’S + mg \Rightarrow \frac{4(ν- \Delta ν)RT}{3V} = \frac{4νRT}{9V} + \frac{νRT}{2V}$$

Решаем уравнение относительно $\Delta ν.$
Умножаем все члены на $18V$ для устранения знаменателей:
$$24(ν- \Delta ν)RT = 8νRT + 9νRT$$ $$24ν- 24\Delta ν = 17ν$$
$$24\Delta ν = 7ν \Rightarrow \Delta ν = \frac{7ν}{24}$$
Для $ν = 1\,\text{моль}$:
$$\Delta ν = \frac{7}{24} \approx 0.29\,\text{моль}$$
Ответ: удаленное количество газа составляет $ 0.29\,\text{моль}.$

Начальное состояние.

Давление водяного пара:
$$p_{\text{пар}} = \varphi \cdot p_{\text{нас}} = 0.7 \cdot 47.3 = 33.11\,\text{кПа}$$Давление сухого воздуха:
$$p_{\text{возд}} = p_1- p_{\text{пар}} = 120- 33.11 = 86.89\,\text{кПа}$$

После сжатия.

Объем уменьшается в $3$ раза $( V_2 = V_1/3 ).$
Для сухого воздуха (изотермический процесс):
$$p_{\text{возд}}’ = 3p_{\text{возд}} = 3 \cdot 86.89 = 260.67\,\text{кПа}$$Для водяного пара:
Первоначальное давление пара $(33.11\ кПа)$ меньше давления насыщения $(47.3\ кПа).$
При сжатии давление пара будет увеличиваться по закону Бойля-Мариотта до достижения насыщения:
$$p_{\text{пар}}’ = 3 \cdot 33.11 = 99.33\,\text{кПа} > p_{\text{нас}}$$Так как давление не может превысить $p_{\text{нас}},$ устанавливается:
$$p_{\text{пар}}’ = p_{\text{нас}} = 47.3\,\text{кПа}$$Избыток воды конденсируется.

Конечное давление.
$$p_2 = p_{\text{возд}}’ + p_{\text{пар}}’ = 260.67 + 47.3 = 307.97\,\text{кПа}$$
Ответ: конечное давление влажного воздуха составит $308\,\text{кПа}.$

$1)$ Обозначения. Плотность воздуха $ \rho_{\text{возд}} ,$ плотность гелия $ \rho_{\text{He}} .$ Масса оболочки равна $m_{\text{об}}=bS,$ где $b=2\ \text{кг/м}^2$ — удельная масса материала оболочки. Радиус шара обозначим $r.$

$2)$ Условие начала подъема (равенство выталкивающей силы и суммарного веса):
$$\rho_{\text{возд}} g V = m_{\text{He}} g + m_{\text{об}} g$$
откуда после сокращения на $g$ получаем
$$\rho_{\text{возд}} V = m_{\text{He}} + m_{\text{об}} $$

$3)$ Так как $m_{\text{He}}=\rho_{\text{He}} V,$ то
$$m_{\text{об}}=(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\,V $$

$4)$ Подставим $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ и $m_{\text{об}}=b\cdot 4\pi r^2,$ получаем
$$b\cdot 4\pi r^2=(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 $$

Сокращая $4\pi r^2,$ находим радиус:
$$r=\dfrac{3b}{\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}}$$

$5)$ Плотности выражаем через уравнение состояния идеального газа $ \rho=\dfrac{pM}{R T} ,$ где $M$ — молярная масса, $R=8.31\ Дж/(моль·К) ,$ $T=0^\circ\text{C}=273\ \text{К}.$ Тогда
$$\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}=\dfrac{p\,(M_{\text{возд}}-M_{\text{He}})}{R T}$$

Подставляя это в формулу для $r,$ получаем
$$r=\dfrac{3 b R T}{p\,(M_{\text{возд}}-M_{\text{He}})} $$

$6)$ Численные данные: $b=2\ \text{кг/м}^2,$ $R=8{.}31\ Дж/(моль·К) ,$ $T=273\ \text{К},$ $p=10^5\ \text{Па},$ $M_{\text{возд}}=0{.}029\ \text{кг/моль},$ $M_{\text{He}}=0{.}004\ \text{кг/моль}.$ Тогда
$$r=\dfrac{3\cdot 2\cdot 8{.}31\cdot 273}{10^5\cdot(0{.}029-0{.}004)}\approx \dfrac{13\,611.78}{2\,500}=5{.}4447\ \text{м}$$
округленно $r\approx 5{.}445\ \text{м}$

$7)$ Масса оболочки при таком радиусе равна
$$m_{\text{об}}=b\cdot 4\pi r^2=2\cdot 4\pi\cdot (5{.}4447)^2\approx 745\ \text{кг}$$

Ответ: минимальная масса оболочки равна $m_{\text{об}}\approx 745\ \text{кг}.$

$1)$ Переведем все данные в СИ: $S=500\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2=0.05\ \text{м}^2,$ $h=50\ \text{см}=0.5\ \text{м},$ $m=0.6\ \text{г}=0.0006\ \text{кг},$ $T=300\ \text{К},$ $p_0=10^4\ \text{Па},$ $M=25\ \text{кг},$ примем $g=10\ \text{м/с}^2.$

$2)$ Так как поршень гладкий и может перемещаться, давление в газе в процессе подвода теплоты остается равным сумме внешнего давления и давления от веса поршня: $p=p_0+\dfrac{M g}{S},$ где запятая включена внутрь формулы для соблюдения оформления.

$3)$ Объем газа в начальном состоянии равен $V=S h.$ При изобарном процессе (давление $p$ постоянно) изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа равно $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T,$ а работа газа равна $A=p\Delta V=\nu R\Delta T.$ Следовательно количество теплоты, подведенной к газу,
$$Q=\Delta U + A=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\dfrac{5}{2}\nu R\Delta T $$
где $\nu$ — число молей газа.

$4)$ Число молей выражается через давление, объем и температуру: $\nu=\dfrac{pV}{R T}.$ Подставляя в выражение для $Q$ и деля на массу $m$ и на $\Delta T,$ получаем удельную теплоемкость процесса:
$$c=\dfrac{Q}{m\Delta T}=\dfrac{5}{2}\dfrac{\nu R}{m}=\dfrac{5}{2}\dfrac{pV}{mT}=\dfrac{5}{2}\dfrac{p S h}{mT}.$$

$5)$ Подставим численные значения. Сначала вычислим $p{:}$
$$p=p_0+\dfrac{M g}{S}=10^4+\dfrac{25\cdot 10}{0.05}=10^4+5\cdot 10^3=1.5\cdot 10^4\ \text{Па}.$$

Далее
$$p S h=1.5\cdot 10^4\cdot 0.05\cdot 0.5=375\ (Па·м ^3\text{)}.$$

Теперь
$$c=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{375}{0.0006\cdot 300}=\dfrac{937.5}{0.18}\approx 5{.}208\cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.$$

$6)$ Приведем результат в удобной форме:
$$c\approx 5{.}2\cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}=5{.}2\ \text{кДж}/(\text{кг}\cdot\text{К}).$$

Ответ: $c\approx 5{.}2\ \text{кДж}/(\text{кг}\cdot\text{К}).$

$1)$ Обозначим начальный объем гелия в цилиндре через $V_1=S\,l_1,$ а давление через $p_1=\dfrac{F_1}{S},$ где площадь поршня равна $S,$ а длина столба газа равна $l_1.$ Тогда, согласно уравнению Клапейрона—Менделеева,
$$p_1V_1=F_1 l_1=\nu R T_1 $$

$2)$ Среднеквадратичная скорость атомов одноатомного газа связана с температурой формулой $u=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}},$ где $\mu$ — молярная масса гелия. Отсюда
$$T=\dfrac{\mu u^2}{3R} $$
Подставляя это в предыдущее равенство, получаем для начальной длины столба газа
$$l_1=\dfrac{\nu R T_1}{F_1}=\dfrac{\nu\mu u_1^2}{3F_1} $$
аналогично для конечного состояния
$$l_2=\dfrac{\nu\mu u_2^2}{3F_2} $$

$3)$ Искомое смещение поршня равно разности длин:
$$\Delta l=l_2-l_1=\dfrac{\nu\mu}{3}\left(\dfrac{u_2^2}{F_2}-\dfrac{u_1^2}{F_1}\right) $$

$4)$ Подставим численные значения. Молярная масса гелия $\mu=4\ \text{г/моль}=0{.}004\ \text{кг/моль},$ $\nu=\dfrac{1}{20}=0{.}05\ \text{моль}.$ Тогда множитель
$$\dfrac{\nu\mu}{3}=\dfrac{0{.}05\cdot 0{.}004}{3}=6{.}666\cdot 10^{-5}\ \text{кг/моль} $$
Вычислим дроби:
$$\dfrac{u_2^2}{F_2}=\dfrac{1\ 200^2}{150}=\dfrac{1\ 440\ 000}{150}=9\ 600 $$
$$\dfrac{u_1^2}{F_1}=\dfrac{1\ 400^2}{280}=\dfrac{1\ 960\ 000}{280}=7\ 000 $$
Разность равна $9\ 600-7\ 000=2\ 600.$

Тогда
$$\Delta l=6{.}666\cdot 10^{-5}\cdot 2\ 600\ \text{м}\approx 0{.}1733\ \text{м} $$

$5)$ Переведем в сантиметры: $0{.}1733\ \text{м}\approx 17{.}3\ \text{см}.$ Округляя по условию, получаем примерно $17\ \text{см}.$

Ответ: $\Delta l\approx 17\ \text{см}.$

$1)$ Запишем условие равновесия поршня в начальном положении. На поршень сверху действует атмосферное давление $p_0 S$ и сила тяжести $Mg,$ а снизу — давление воздуха под поршнем $p_1 S.$ Следовательно,
$$p_1 S = p_0 S + M g $$
откуда
$$M g=(p_1-p_0)S $$

$2)$ После переворачивания сосуда и установления нового равновесия на поршень теперь сверху действует давление воздуха $p_2 S,$ а снизу — атмосферное давление $p_0 S$ и по-прежнему сила тяжести $Mg.$ Уравнение равновесия в новом положении:
$$p_0 S = p_2 S + M g $$
Подставляя $M g=(p_1-p_0)S,$ находим
$$p_0=p_2+(p_1-p_0)$$
и, следовательно,
$$p_2=2p_0-p_1 $$

$3)$ Процесс переворота при постоянной температуре можно считать изотермическим, поэтому по закону Бойля — Мариотта для газа под поршнем выполняется
$$p_1 H_1 = p_2 H_2 $$
откуда
$$H_2=\dfrac{p_1}{p_2}\,H_1=\dfrac{p_1}{2p_0-p_1}\,H_1 $$

$4)$ Искомое смещение поршня
$$\Delta H=H_2-H_1=\left(\dfrac{p_1}{2p_0-p_1}-1\right)H_1=\dfrac{2(p_1-p_0)}{2p_0-p_1}\,H_1 $$

$5)$ Подставим численные значения $p_1=1{.}5\,p_0$ и $H_1=20\ \text{см}.$ Тогда
$$\Delta H=\dfrac{2(1{.}5p_0-p_0)}{2p_0-1{.}5p_0}\,H_1=\dfrac{2\cdot 0{.}5p_0}{0{.}5p_0}\,H_1=2H_1 $$
Следовательно
$$\Delta H=2\cdot 20\ \text{см}=40\ \text{см} $$

Ответ: при переворачивании поршень сместится на $\Delta H=40\ \text{см}.$

$1)$ Условие равновесия шара с грузом: сила Архимеда, равная весу вытесненного воздуха, уравновешивает суммарный вес оболочки, гелия и груза. В проекции на вертикальную ось это дает
$$\rho_{\text{возд}} g V=(M+m+m_{\text{He}})g$$
откуда, сократив на $g,$
$$\rho_{\text{возд}} V=M+m+m_{\text{He}}$$

$2)$ Масса вытесненного воздуха $m_{\text{возд}}=\rho_{\text{возд}}V$ может быть связана с массой гелия через уравнение состояния идеального газа. Для одного и того же объема $V,$ давления $p$ и температуры $T$ имеем
$$\dfrac{m_{\text{возд}}}{\mu_{\text{возд}}}=\dfrac{pV}{R T}=\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}$$
откуда
$$m_{\text{возд}}=m_{\text{He}}\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}$$

$3)$ Подставляя выражение для $m_{\text{возд}}$ в условие равновесия, получаем
$$m_{\text{He}}\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}=M+m+m_{\text{He}}$$
отсюда выражение для груза:
$$m=m_{\text{He}}\Bigl(\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}-1\Bigr)-M$$

$4)$ Подставим численные значения. Молярные массы (в кг/моль): $\mu_{\text{He}}=4\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль},$ средняя молярная масса воздуха $\mu_{\text{возд}}\approx 29\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.$ Тогда
$$\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{29}{4}=7{.}25$$
и
$$m=100\cdot (7{.}25-1)-400=100\cdot 6{.}25-400=625-400=225\ \text{кг}$$

Ответ: шар может удерживать груз $m\approx 225\ \text{кг}.$

$1)$ Давление газа в трубке $p$ уравновешивает атмосферное давление $p_0$ и создаваемое столбиком ртути дополнительное давление $\rho g d,$ поэтому
$$p=p_0+\rho g d.$$

$2)$ Нагревание при неизменном объеме означает, что давление пропорционально абсолютной температуре (уравнение Менделеева — Клапейрона), следовательно
$$\dfrac{T}{T_0}=\dfrac{p}{p_0}=\dfrac{p_0+\rho g d}{p_0}=1+\dfrac{d}{H} $$
где $H$ — эквивалентная высота столба ртути для атмосферного давления, то есть $p_0=\rho g H.$ При этом $T=T_0+\Delta T,$ поэтому из последней формулы следует
$$T_0+\Delta T=T_0\Bigl(1+\dfrac{d}{H}\Bigr) $$
откуда
$$\Delta T=T_0\dfrac{d}{H}\quad\Rightarrow\quad T_0=\Delta T\dfrac{H}{d} $$

$3)$ Подставим численные значения:
$$T_0=\Delta T\dfrac{H}{d}=\dfrac{60\cdot 750}{150}=300\ \text{К} $$

Ответ: начальная температура воздуха $T_0=300\ \text{К}.$

$1)$ Переведем величины в систему $СИ$ и введем обозначения.
$V=10\ \text{л}=10\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3=0{.}01\ \text{м}^3,$
$m=2\ \text{г}=0{.}002\ \text{кг},$
$T=27\ ^\circ\text{C}=300\ \text{К},$
$p=200\ \text{кПа}=200\cdot 10^3\ \text{Па}.$
Молярные массы: $\mu_{\text{H}2}=2\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль},$
$\mu_{\text{He}}=4\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.$
Универсальная газовая постоянная $R=8{.}31\ Дж/(моль·К) .$

$2)$ По уравнению Менделеева — Клапейрона для каждой компоненты смеси имеем $p_iV=\dfrac{m_i}{\mu_i}RT$ в частности
$$p_{\text{H}2}V=\dfrac{m{\text{H}2}}{\mu{\text{H}2}}RT $$ $$p_{\text{He}}V=\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}RT $$

По закону Дальтона $p=p_{\text{H}2}+p_{\text{He}}$ и массы связаны соотношением $m=m_{\text{H}2}+m_{\text{He}}.$

$3)$ Подставим $p_{\text{H}2}=\dfrac{m{\text{H}2}RT}{\mu{\text{H}2}V}$ и $p_{\text{He}}=\dfrac{m_{\text{He}}RT}{\mu_{\text{He}}V}$ в сумму давлений:
$$p=\dfrac{RT}{V}\Bigl(\dfrac{m_{\text{H}2}}{\mu{\text{H}2}}+\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}\Bigr) $$
Пусть $m_{\text{H}2}=x,$ тогда $m_{\text{He}}=m-x.$ Тогда
$$\dfrac{pV}{RT}=\dfrac{x}{\mu_{\text{H}2}}+\dfrac{m-x}{\mu_{\text{He}}}$$
Решая это уравнение относительно $x,$ получаем
$$x=\dfrac{\dfrac{pV}{RT}-\dfrac{m}{\mu_{\text{He}}}}{\dfrac{1}{\mu_{\text{H}2}}-\dfrac{1}{\mu_{\text{He}}}} $$

$4)$ Найдем численно необходимые величины. Сначала число молей, определяемое из давления и объема:
$$\dfrac{pV}{RT}=\dfrac{200\cdot 10^3\cdot 0{.}01}{8{.}31\cdot 300}\approx 0{.}8026 $$
$$\dfrac{m}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{0{.}002}{4\cdot 10^{-3}}=0{.}5 $$
$$\dfrac{1}{\mu_{\text{H}2}}-\dfrac{1}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{1}{2\cdot 10^{-3}}-\dfrac{1}{4\cdot 10^{-3}}=500-250=250\ \text{(моль/кг)} $$
$$x=\dfrac{0{.}8026-0{.}5}{250}\approx 0{.}001210\ \text{кг} $$
Это масса водорода в смеси. Масса гелия
$$m_{\text{He}}=m-x=0{.}002-0{.}001210=0{.}000790\ \text{кг} $$

$5)$ Отношение масс равно
$$\dfrac{m_{\text{H}2}}{m_{\text{He}}}=\dfrac{0{.}001210}{0{.}000790}\approx 1{.}53 $$

Ответ: отношение массы водорода к массе гелия в смеси примерно $1{.}53.$