Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208474
Воздушный шар объемом $V = 1\ 500\,\text{м}^3$ с массой оболочки $m_0 = 400\,\text{кг}$ имеет внизу отверстие, через которое воздух внутри нагревается горелкой при нормальном атмосферном давлении $p_a = 10^5\,\text{Па}.$ Окружающий воздух имеет температуру $T_1 = 17\,^\circ\text{C} = 290\,\text{K}.$ При какой минимальной разности температур $\Delta T$ шар сможет поднять груз массой $m = 200\,\text{кг}?$ Оболочка шара нерастяжима. Молярная масса воздуха $M = 29\,\text{г/моль} = 0.029\,\text{кг/моль}.$
Условие подъема.
Сила Архимеда должна компенсировать суммарную силу тяжести:
$$F_A = (m_0 + m + m_b)g$$ где $m_b$ — масса воздуха внутри шара.
Сила Архимеда:
$$F_A = \rho_1 g V$$где $\rho_1$ — плотность окружающего воздуха.
Плотность окружающего воздуха.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$\rho_1 = \frac{p_a M}{R T_1}$$
Масса воздуха внутри шара.
Для нагретого воздуха:
$$m_b = \rho_2 V = \frac{p_a M V}{R T_2}$$ где $T_2$ — температура воздуха внутри шара.
Подстановка в условие равновесия:
$$\frac{p_a M V g}{R T_1} = (m_0 + m)g + \frac{p_a M V g}{R T_2}$$ Сокращаем $g$ и выражаем $T_2$:
$$\frac{p_a M V}{R T_1} — (m_0 + m) = \frac{p_a M V}{R T_2}$$ $$T_2 = \frac{p_a M V}{R \left(\frac{p_a M V}{R T_1}- m_0- m\right)}$$
Подставляем значения:
$$T_2 = \frac{10^5 \cdot 0.029 \cdot 1500}{8.31 \left(\frac{10^5 \cdot 0.029 \cdot 1500}{8.31 \cdot 290}- 400- 200\right)} \approx 434\,\text{K}$$
Разность температур:
$$\Delta T = T_2- T_1 = 434- 290 = 144\,\text{K}$$
Ответ: минимальная разность температур составляет $144\,^\circ\text{C}.$
20
