24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #215463

$1)$ Обозначения. Плотность воздуха $ \rho_{\text{возд}} ,$ плотность гелия $ \rho_{\text{He}} .$ Масса оболочки равна $m_{\text{об}}=bS,$ где $b=2\ \text{кг/м}^2$ — удельная масса материала оболочки. Радиус шара обозначим $r.$

$2)$ Условие начала подъема (равенство выталкивающей силы и суммарного веса):
$$\rho_{\text{возд}} g V = m_{\text{He}} g + m_{\text{об}} g$$
откуда после сокращения на $g$ получаем
$$\rho_{\text{возд}} V = m_{\text{He}} + m_{\text{об}} $$

$3)$ Так как $m_{\text{He}}=\rho_{\text{He}} V,$ то
$$m_{\text{об}}=(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\,V $$

$4)$ Подставим $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ и $m_{\text{об}}=b\cdot 4\pi r^2,$ получаем
$$b\cdot 4\pi r^2=(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 $$

Сокращая $4\pi r^2,$ находим радиус:
$$r=\dfrac{3b}{\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}}$$

$5)$ Плотности выражаем через уравнение состояния идеального газа $ \rho=\dfrac{pM}{R T} ,$ где $M$ — молярная масса, $R=8.31\ Дж/(моль·К) ,$ $T=0^\circ\text{C}=273\ \text{К}.$ Тогда
$$\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}=\dfrac{p\,(M_{\text{возд}}-M_{\text{He}})}{R T}$$

Подставляя это в формулу для $r,$ получаем
$$r=\dfrac{3 b R T}{p\,(M_{\text{возд}}-M_{\text{He}})} $$

$6)$ Численные данные: $b=2\ \text{кг/м}^2,$ $R=8{.}31\ Дж/(моль·К) ,$ $T=273\ \text{К},$ $p=10^5\ \text{Па},$ $M_{\text{возд}}=0{.}029\ \text{кг/моль},$ $M_{\text{He}}=0{.}004\ \text{кг/моль}.$ Тогда
$$r=\dfrac{3\cdot 2\cdot 8{.}31\cdot 273}{10^5\cdot(0{.}029-0{.}004)}\approx \dfrac{13\,611.78}{2\,500}=5{.}4447\ \text{м}$$
округленно $r\approx 5{.}445\ \text{м}$

$7)$ Масса оболочки при таком радиусе равна
$$m_{\text{об}}=b\cdot 4\pi r^2=2\cdot 4\pi\cdot (5{.}4447)^2\approx 745\ \text{кг}$$

Ответ: минимальная масса оболочки равна $m_{\text{об}}\approx 745\ \text{кг}.$