24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208459

Исходное состояние газа.

Объем газа: $V = Sh.$
Давление газа определяется равновесием поршня:
$$p = p_0 + \frac{Mg}{S}$$ Это давление остается постоянным в течение всего процесса, так как поршень подвижный, а внешнее давление $p_0$ неизменно.

Уравнение состояния газа.

Используем уравнение Клапейрона — Менделеева:
$$pV = \nu RT$$где $\nu$ — количество вещества газа (в молях). Отсюда:
$$\nu = \frac{pV}{RT} = \frac{(p_0S + Mg)h}{RT}$$

Изменение состояния газа.

После подвода теплоты $Q$ температура газа увеличивается на $\Delta T,$ а объем изменяется на:
$$\Delta V = S(H- h)$$ где $H$ — новая высота поршня.
Согласно первому началу термодинамики:
$$Q = \Delta U + A$$ где:
$\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа.
$A$ — работа газа.

Вычисление $\Delta U$ и $A.$

Для одноатомного идеального газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$
Работа газа в изобарическом процессе:
$$A = p \Delta V$$

Связь между $\Delta V$ и $\Delta T.$

В изобарическом процессе:
$$p \Delta V = \nu R \Delta T$$Подставляем это в выражение для $Q$:
$$Q = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + p \Delta V = \frac{3}{2} p \Delta V + p \Delta V = \frac{5}{2} p \Delta V$$

Нахождение $H$.

Выражаем $\Delta V$ через $H$:
$$Q = \frac{5}{2} p S (H- h)$$ Решаем относительно $H$:
$$H- h = \frac{2Q}{5 p S}$$$$H = h + \frac{2Q}{5 p S}$$ Подставляем выражение для $p$:
$$H = h + \frac{2Q}{5 \left( p_0 + \frac{Mg}{S} \right) S} = h + \frac{2Q}{5 (p_0 S + Mg)}$$
Ответ: высота поршня после подвода теплоты равна:
$$H = h + \frac{2Q}{5(p_0 S + Mg)}$$