24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208461

Условие подъема шара.

Для подъема шара с грузом сила Архимеда $F_A$ должна компенсировать силу тяжести, действующую на оболочку, груз и воздух внутри шара:
$$F_A \geq (M + m)g + m_B g$$ где $m_B = \rho V$ — масса воздуха внутри шара, $\rho$ — его плотность.

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:
$$F_A = \rho_0 g V$$
Подстановка в условие подъема:
$$\rho_0 g V \geq (M + m)g + \rho g V$$ Сокращаем $g$:
$$\rho_0 V \geq M + m + \rho V \quad (1)$$
Используем уравнение состояния идеального газа:
$$\rho = \frac{p \mu}{R T}$$где $p$ — давление (одинаковое внутри и снаружи шара), $\mu$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Для окружающего воздуха:
$$\rho_0 = \frac{p \mu}{R T_0}$$где $T_0 = 280\,\text{K}.$

Отсюда выражаем плотность внутри шара:
$$\rho = \rho_0 \frac{T_0}{T}$$ где $T$ — температура воздуха внутри шара.

Подстановка в неравенство $(1)$:
$$\rho_0 V \geq M + m + \rho_0 \frac{T_0}{T} V$$ Переносим слагаемые:
$$\rho_0 V- \rho_0 \frac{T_0}{T} V \geq M + m$$$$\rho_0 V \left(1- \frac{T_0}{T}\right) \geq M + m$$ Решаем относительно $T$:
$$1- \frac{T_0}{T} \geq \frac{M + m}{\rho_0 V}$$ $$\frac{T_0}{T} \leq 1- \frac{M + m}{\rho_0 V}$$ $$T \geq \frac{T_0}{1- \frac{M + m}{\rho_0 V}}$$
Подставляем числовые значения:
$$T \geq \frac{280}{1- \frac{400 + 200}{1.2 \cdot 2500}} = \frac{280}{1- \frac{600}{3000}} = \frac{280}{1- 0.2} = \frac{280}{0.8} = 350\,\text{K}$$
Минимальная разность температур между воздухом внутри шара и окружающим воздухом:
$$\Delta T = T- T_0 = 350- 280 = 70\,\text{K}$$
Ответ: минимальная разность температур составляет $70\,\text{K}.$