24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208452

Гелий и аргон описываются моделью идеального одноатомного газа. Внутренняя энергия $U$ газа пропорциональна температуре $T$ и числу молей $\nu$:
$$U = \frac{3}{2} \nu RT$$

Связь между температурой, давлением и объемом идеального газа задается уравнением Клапейрона — Менделеева: $$pV = \nu RT$$ Поршень находится в механическом равновесии, поэтому давления газов равны. В начальный момент объемы газов одинаковы $(V_1 = V_2 ),$ что дает:
$$\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2$$ где $T_1 = 300\,\text{К}$ — начальная температура гелия, $T_2 = 900\,\text{К}$ — начальная температура аргона.

Цилиндр теплоизолирован, и работа силы трения равна нулю, поэтому суммарная внутренняя энергия газов сохраняется:
$$\frac{3}{2} \nu_1 R T_1 + \frac{3}{2} \nu_2 R T_2 = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T$$ где $T$ — конечная температура газов после установления равновесия.
Отсюда находим $T$:
$$T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2}$$ Подставляя $\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2,$ получаем:
$$T = 2 \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$$

Отношение внутренней энергии гелия после установления равновесия к начальной энергии равно отношению температур:
$$\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = \frac{T}{T_1} = 2 \frac{T_2}{T_1 + T_2}$$ Подставляя численные значения:
$$\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = 2 \cdot \frac{900}{300 + 900} = 2 \cdot \frac{900}{1200} = \frac{3}{2} = 1.5$$
Ответ: отношение внутренней энергии гелия после установления теплового равновесия к его начальной энергии равно $1.5.$