ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #215469
В высоком вертикальном цилиндрическом сосуде под тяжелым поршнем, способным перемещаться вдоль стенок сосуда практически без трения, находится некоторое количество воздуха под давлением $p_1=1{.}5\ \text{атм}.$ Поршень находится в равновесии на высоте $H_1=20\ \text{см}$ над дном сосуда. Определите, на какое расстояние $\Delta H$ сместится поршень, если сосуд перевернуть открытым концом вниз и дождаться установления равновесия. Считать температуру воздуха и атмосферное давление $p_0=1\ \text{атм}$ постоянными. Массой воздуха в сосуде по сравнению с массой поршня можно пренебречь.
$1)$ Запишем условие равновесия поршня в начальном положении. На поршень сверху действует атмосферное давление $p_0 S$ и сила тяжести $Mg,$ а снизу — давление воздуха под поршнем $p_1 S.$ Следовательно,
$$p_1 S = p_0 S + M g $$
откуда
$$M g=(p_1-p_0)S $$
$2)$ После переворачивания сосуда и установления нового равновесия на поршень теперь сверху действует давление воздуха $p_2 S,$ а снизу — атмосферное давление $p_0 S$ и по-прежнему сила тяжести $Mg.$ Уравнение равновесия в новом положении:
$$p_0 S = p_2 S + M g $$
Подставляя $M g=(p_1-p_0)S,$ находим
$$p_0=p_2+(p_1-p_0)$$
и, следовательно,
$$p_2=2p_0-p_1 $$
$3)$ Процесс переворота при постоянной температуре можно считать изотермическим, поэтому по закону Бойля — Мариотта для газа под поршнем выполняется
$$p_1 H_1 = p_2 H_2 $$
откуда
$$H_2=\dfrac{p_1}{p_2}\,H_1=\dfrac{p_1}{2p_0-p_1}\,H_1 $$
$4)$ Искомое смещение поршня
$$\Delta H=H_2-H_1=\left(\dfrac{p_1}{2p_0-p_1}-1\right)H_1=\dfrac{2(p_1-p_0)}{2p_0-p_1}\,H_1 $$
$5)$ Подставим численные значения $p_1=1{.}5\,p_0$ и $H_1=20\ \text{см}.$ Тогда
$$\Delta H=\dfrac{2(1{.}5p_0-p_0)}{2p_0-1{.}5p_0}\,H_1=\dfrac{2\cdot 0{.}5p_0}{0{.}5p_0}\,H_1=2H_1 $$
Следовательно
$$\Delta H=2\cdot 20\ \text{см}=40\ \text{см} $$
Ответ: при переворачивании поршень сместится на $\Delta H=40\ \text{см}.$
20
