24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #215504

$1)$ Переведем величины в систему $СИ$ и введем обозначения.
$V=10\ \text{л}=10\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3=0{.}01\ \text{м}^3,$
$m=2\ \text{г}=0{.}002\ \text{кг},$
$T=27\ ^\circ\text{C}=300\ \text{К},$
$p=200\ \text{кПа}=200\cdot 10^3\ \text{Па}.$
Молярные массы: $\mu_{\text{H}2}=2\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль},$
$\mu_{\text{He}}=4\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.$
Универсальная газовая постоянная $R=8{.}31\ Дж/(моль·К) .$

$2)$ По уравнению Менделеева — Клапейрона для каждой компоненты смеси имеем $p_iV=\dfrac{m_i}{\mu_i}RT$ в частности
$$p_{\text{H}2}V=\dfrac{m{\text{H}2}}{\mu{\text{H}2}}RT $$ $$p_{\text{He}}V=\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}RT $$

По закону Дальтона $p=p_{\text{H}2}+p_{\text{He}}$ и массы связаны соотношением $m=m_{\text{H}2}+m_{\text{He}}.$

$3)$ Подставим $p_{\text{H}2}=\dfrac{m{\text{H}2}RT}{\mu{\text{H}2}V}$ и $p_{\text{He}}=\dfrac{m_{\text{He}}RT}{\mu_{\text{He}}V}$ в сумму давлений:
$$p=\dfrac{RT}{V}\Bigl(\dfrac{m_{\text{H}2}}{\mu{\text{H}2}}+\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}\Bigr) $$
Пусть $m_{\text{H}2}=x,$ тогда $m_{\text{He}}=m-x.$ Тогда
$$\dfrac{pV}{RT}=\dfrac{x}{\mu_{\text{H}2}}+\dfrac{m-x}{\mu_{\text{He}}}$$
Решая это уравнение относительно $x,$ получаем
$$x=\dfrac{\dfrac{pV}{RT}-\dfrac{m}{\mu_{\text{He}}}}{\dfrac{1}{\mu_{\text{H}2}}-\dfrac{1}{\mu_{\text{He}}}} $$

$4)$ Найдем численно необходимые величины. Сначала число молей, определяемое из давления и объема:
$$\dfrac{pV}{RT}=\dfrac{200\cdot 10^3\cdot 0{.}01}{8{.}31\cdot 300}\approx 0{.}8026 $$
$$\dfrac{m}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{0{.}002}{4\cdot 10^{-3}}=0{.}5 $$
$$\dfrac{1}{\mu_{\text{H}2}}-\dfrac{1}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{1}{2\cdot 10^{-3}}-\dfrac{1}{4\cdot 10^{-3}}=500-250=250\ \text{(моль/кг)} $$
$$x=\dfrac{0{.}8026-0{.}5}{250}\approx 0{.}001210\ \text{кг} $$
Это масса водорода в смеси. Масса гелия
$$m_{\text{He}}=m-x=0{.}002-0{.}001210=0{.}000790\ \text{кг} $$

$5)$ Отношение масс равно
$$\dfrac{m_{\text{H}2}}{m_{\text{He}}}=\dfrac{0{.}001210}{0{.}000790}\approx 1{.}53 $$

Ответ: отношение массы водорода к массе гелия в смеси примерно $1{.}53.$