Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208456
В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под поршнем массой $m = 10\,\text{кг}$ и площадью поперечного сечения $S = 50\,\text{см}^2$ находится разреженный газ. При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленным вверх и равным по модулю $a = 1\,\text{м/с}^2,$ высота столба газа под поршнем постоянна и на $5\%$ меньше, чем в покоящемся сосуде. Считая температуру газа под поршнем неизменной, а наружное давление постоянным, найдите это наружное давление. Масса газа под поршнем постоянна.
Условия равновесия поршня.
В покоящемся сосуде:
$$p_1 = p_u + \frac{mg}{S}$$ где $p_u$ — наружное давление, $p_1$ — давление газа в покое.
В движущемся сосуде с ускорением $a$:
$$p_2 = p_u + \frac{m(g + a)}{S}$$ где $p_2$ — давление газа при движении.
Изменение объема газа.
По условию, высота столба газа уменьшается на $5\%,$ поэтому отношение объемов:
$$\frac{V_2}{V_1} = 0.95$$
Поскольку температура газа постоянна, из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$p_1V_1 = p_2V_2$$
Отсюда: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{0.95}$$
Подставляем $p_1$ и $p_2$:
$$p_u + \frac{mg}{S} = 0.95 \left( p_u + \frac{m(g + a)}{S} \right)$$
Раскрываем скобки и упрощаем:
$$p_u + \frac{mg}{S} = 0.95p_u + \frac{0.95m(g + a)}{S}$$ $$p_u- 0.95p_u = \frac{0.95m(g + a)}{S} — \frac{mg}{S}$$ $$0.05p_u = \frac{m}{S} \left( 0.95(g + a)- g \right)$$$$0.05p_u = \frac{m}{S} \left( 0.95a- 0.05g \right)$$
Подставляем числовые значения:
$$0.05p_u = \frac{10}{50 \cdot 10^{-4}} \left( 0.95 \cdot 1- 0.05 \cdot 9.8 \right)$$$$0.05p_u = 2\ 000 \left( 0.95- 0.49 \right)$$ $$0.05p_u = 2\ 000 \cdot 0.46$$ $$0.05p_u = 920$$ $$p_u = \frac{920}{0.05} = 18\ 400\,\text{Па}$$
Округляем до двух значащих цифр:
$$p_u \approx 1.8 \cdot 10^4\,\text{Па}$$
Ответ: наружное давление равно $1.8 \cdot 10^4\,\text{Па}.$
20
