24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208263

Давление насыщенного пара.

Поскольку температура постоянна, давление насыщенного пара $p_{\text{н}}$ остается неизменным.

Парциальное давление водяного пара:
Из формулы относительной влажности $q = \frac{p}{p_{\text{н}}}$ выражаем парциальное давление:
$$p = q \cdot p_{\text{н}}$$
Для каждой части сосуда:
$$p_1 = q_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.6 \cdot p_{\text{н}}$$ $$p_2 = q_2 \cdot p_{\text{н}} = 0.7 \cdot p_{\text{н}}$$

Количество вещества пара.

Используем уравнение Клапейрона-Менделеева $pV = \nu RT$ для нахождения количества вещества пара в каждой части сосуда:
$$\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1}{RT}$$ $$\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$$
После удаления перегородки общее количество вещества пара:
$$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$$

Установившаяся влажность.

После смешивания парциальное давление пара становится:
$$p = q \cdot p_{\text{н}} = 0.65 \cdot p_{\text{н}}$$
Объем сосуда после удаления перегородки:
$$V = V_1 + V_2$$
Количество вещества пара в смеси:
$$\nu = \frac{p V}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$$

Уравнение сохранения количества вещества.

Приравниваем выражения для $\nu$:
$$\frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$$
Упрощаем:
$$0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 (V_1 + V_2)$$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$$0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 V_1 + 0.65 V_2$$ $$0.7 V_2- 0.65 V_2 = 0.65 V_1- 0.6 V_1$$ $$0.05 V_2 = 0.05 V_1$$
Отсюда получаем:
$$\frac{V_1}{V_2} = 1$$
Ответ: $\frac{V_1}{V_2} = 1.$