24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: Тепловой баланс, тепловое равновесие

Закон сохранения энергии.

Так как сосуды теплоизолированы, внутренняя энергия системы сохраняется:
$$U_1 + U_2 = U$$ где:
$U_1 = \frac{3}{2} \nu_1 R T_1$ — внутренняя энергия гелия,
$U_2 = \frac{3}{2} \nu_2 R T_2$ — внутренняя энергия неона,
$U = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T$ — внутренняя энергия смеси газов после установления равновесия.

Подставляем выражения:
$$\frac{3}{2} \nu_1 R T_1 + \frac{3}{2} \nu_2 R T_2 = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T$$
Упрощаем и находим установившуюся температуру $T$:
$$T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2} = \frac{1 \cdot 450 + 3 \cdot 300}{1 + 3} = \frac{450 + 900}{4} = 337.5 \, \text{К}$$

Давление смеси газов.

По закону Дальтона, общее давление $p$ равно сумме парциальных давлений гелия $p_1$ и неона $p_2$:
$$p = p_1 + p_2$$
Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого газа, учитывая, что после открытия крана газы занимают общий объем $2V$:
$$p_1 \cdot 2V = \nu_1 R T$$ $$p_2 \cdot 2V = \nu_2 R T$$
Выражаем парциальные давления:
$$p_1 = \frac{\nu_1 R T}{2V}, \quad p_2 = \frac{\nu_2 R T}{2V}$$
Тогда общее давление:
$$p = \frac{(\nu_1 + \nu_2) R T}{2V}$$
Подставляем значения:
$$p = \frac{(1 + 3) \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2 \cdot 1} = \frac{4 \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2} = 2 \cdot 8.31 \cdot 337.5 = 5609.25 \, \text{Па}$$

Ответ: $5609.25 \, \text{Па}.$

Давление насыщенного пара.

Поскольку температура постоянна, давление насыщенного пара $p_{\text{н}}$ остается неизменным.

Парциальное давление водяного пара:
Из формулы относительной влажности $q = \frac{p}{p_{\text{н}}}$ выражаем парциальное давление:
$$p = q \cdot p_{\text{н}}$$
Для каждой части сосуда:
$$p_1 = q_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.6 \cdot p_{\text{н}}$$ $$p_2 = q_2 \cdot p_{\text{н}} = 0.7 \cdot p_{\text{н}}$$

Количество вещества пара.

Используем уравнение Клапейрона-Менделеева $pV = \nu RT$ для нахождения количества вещества пара в каждой части сосуда:
$$\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1}{RT}$$ $$\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$$
После удаления перегородки общее количество вещества пара:
$$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$$

Установившаяся влажность.

После смешивания парциальное давление пара становится:
$$p = q \cdot p_{\text{н}} = 0.65 \cdot p_{\text{н}}$$
Объем сосуда после удаления перегородки:
$$V = V_1 + V_2$$
Количество вещества пара в смеси:
$$\nu = \frac{p V}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$$

Уравнение сохранения количества вещества.

Приравниваем выражения для $\nu$:
$$\frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$$
Упрощаем:
$$0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 (V_1 + V_2)$$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$$0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 V_1 + 0.65 V_2$$ $$0.7 V_2- 0.65 V_2 = 0.65 V_1- 0.6 V_1$$ $$0.05 V_2 = 0.05 V_1$$
Отсюда получаем:
$$\frac{V_1}{V_2} = 1$$
Ответ: $\frac{V_1}{V_2} = 1.$

Масса воды во вдыхаемом воздухе за один вдох.

Парциальное давление водяного пара во вдыхаемом воздухе:
$$p_1 = \varphi_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.6 \cdot 5.9 \, \text{кПа} = 3.54 \, \text{кПа}$$
Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для нахождения массы воды:
$$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T$$ $$m_1 = \frac{p_1 V M}{R T} = \frac{3.54 \cdot 10^3 \cdot 2.5 \cdot 10^{-3} \cdot 18 \cdot 10^{-3}}{8.31 \cdot 309} \approx 6.21 \cdot 10^{-5} \, \text{кг} = 0.0621 \, \text{г}$$

Масса воды в выдыхаемом воздухе за один выдох:
Так как выдыхаемый воздух насыщен водяным паром ($\varphi_2 = 100\%$), его давление равно $p_{\text{н}} = 5.9 \, \text{кПа}$ $$m_2 = \frac{p_{\text{н}} V M}{R T} = \frac{5.9 \cdot 10^3 \cdot 2.5 \cdot 10^{-3} \cdot 18 \cdot 10^{-3}}{8.31 \cdot 309} \approx 0.1035 \, \text{г}$$

Потеря массы воды за один вдох-выдох:
$$\Delta m_{\text{за один цикл}} = m_2- m_1 = 0.1035 \, \text{г}- 0.0621 \, \text{г} = 0.0414 \, \text{г}$$

Общее количество циклов за час:
$$N = n \cdot t = 15 \, \text{вдохов/мин} \cdot 60 \, \text{мин} = 900 \, \text{циклов}$$

Общая потеря массы воды за час:
$$\Delta m = N \cdot \Delta m_{\text{за один цикл}} = 900 \cdot 0.0414 \, \text{г} = 37.26 \, \text{г}$$
Округляем до целых:
$$\Delta m \approx 37 \, \text{г}$$
Ответ: $37 \, \text{г}.$

Первый этап теплообмена (добавление первого шарика).

Уравнение теплового баланса:
$$Q_{\text{вода}} + Q_{\text{шарик1}} = 0$$где:
$Q_{\text{вода}} = m_B c_B (t_3- t_1)$ — тепло, отданное водой,
$Q_{\text{шарик1}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_3- t_2)$ — тепло, полученное первым шариком.

Подставляем:
$$m_B c_B (40- t_1) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (40- 10) = 0$$$$m_B c_B (40- t_1) = -m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30$$ Упрощаем:
$$m_B c_B (t_1- 40) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30 \quad (1)$$

Второй этап теплообмена (добавление второго шарика).

Уравнение теплового баланса:
$$Q'{\text{вода}} + Q'{\text{шарик1}} + Q_{\text{шарик2}} = 0$$где:
$Q'{\text{вода}} = m_B c_B (t_4- t_3) = m_B c_B (34- 40)$ — тепло, отданное водой, $Q'{\text{шарик1}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_4- t_3) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (34- 40)$ — тепло, отданное первым шариком,
$Q_{\text{шарик2}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_4- t_2) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (34- 10)$ — тепло, полученное вторым шариком.

Подставляем:
$$m_B c_B (-6) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (-6) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 24 = 0$$$$-6 m_B c_B- 6 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} + 24 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} = 0$$$$-6 m_B c_B + 18 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} = 0$$ Упрощаем:
$$m_B c_B = 3 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \quad (2)$$

Находим начальную температуру воды $t_1.$

Подставляем соотношение $(2)$ в уравнение $(1)$:
$$3 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_1- 40) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30$$ $$3(t_1- 40) = 30$$ $$t_1- 40 = 10$$$$t_1 = 50^\circ \text{C}$$
Ответ: $t_1 = 50^\circ \text{C}.$

Исходное состояние системы.

Температура $T_1 = 373 \, \text{K}$ $( 100^\circ \text{C} ).$
Давление насыщенного водяного пара при $100^\circ \text{C}$: $p_{\text{н.п.}} = 100 \, \text{кПа}.$
Парциальное давление водяного пара: $p_{\text{пара}} = \varphi \cdot p_{\text{н.п.}} = 0.6 \cdot 100 = 60 \, \text{кПа}.$
Парциальное давление сухого воздуха: $p_{\text{возд}} = p- p_{\text{пара}} = 100- 60 = 40 \, \text{кПа}.$

Изотермическое сжатие (уменьшение объема в $2.5$ раза).

Для сухого воздуха (по закону Бойля-Мариотта):
$$p_{\text{возд}} V = p'{\text{возд}} \frac{V}{2.5}$$$$p'{\text{возд}} = 2.5 \cdot p_{\text{возд}} = 2.5 \cdot 40 = 100 \, \text{кПа}$$
Для водяного пара.
Так как после сжатия пар становится насыщенным, его давление остается $p_{\text{н.п.}} = 100 \, \text{кПа}$
Общее давление после сжатия:
$$p_2 = p'{\text{возд}} + p{\text{н.п.}} = 100 + 100 = 200 \, \text{кПа}$$

Изохорный нагрев до исходного давления.

Необходимо вернуть давление к исходному $p = 100 \, \text{кПа}$
По закону Шарля для смеси газов:
$$\frac{p_2}{T_1} = \frac{p}{T_2}$$ $$\frac{200}{373} = \frac{100}{T_2}$$$$T_2 = \frac{100 \cdot 373}{200} = 186.5 \, \text{K}$$

Определение коэффициента увеличения температуры.

Исходная температура: $T_1 = 373 \, \text{K}$
Необходимая температура: $T_2 = 186.5 \, \text{K}$
Коэффициент увеличения:
$$k = \frac{T_1}{T_2} = \frac{373}{186.5} = 2$$
Ответ: температуру необходимо увеличить в $2$ раза.

Определение масс компонентов смеси.

Пусть масса гелия $m_{He} = x,$ тогда масса водорода $m_{H_2} = 1.5x.$
Сумма масс: $x + 1.5x = 2 \, \text{г}.$
Отсюда: $2.5x = 2 \, \text{г} \Rightarrow x = 0.8 \, \text{г}.$
Масса гелия: $m_{He} = 0.8 \, \text{г}.$
Масса водорода: $m_{H_2} = 1.2 \, \text{г}.$

Молярные массы газов.

Молярная масса водорода: $M_{H_2} = 2 \, \text{г/моль}.$
Молярная масса гелия: $M_{He} = 4 \, \text{г/моль}.$

Парциальные давления газов.

Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого газа:
$$p_{H_2} = \frac{m_{H_2} R T}{M_{H_2} V} \quad p_{He} = \frac{m_{He} R T}{M_{He} V}$$По закону Дальтона, общее давление:
$$p = p_{H_2} + p_{He} = \frac{R T}{V} \left( \frac{m_{H_2}}{M_{H_2}} + \frac{m_{He}}{M_{He}} \right)$$

Вычисление температуры.

Подставляем известные значения:
$$2 \cdot 10^5 \, \text{Па} = \frac{8.31 \cdot T}{10^{-2} \, \text{м}^3} \left( \frac{1.2}{2} + \frac{0.8}{4} \right)$$Упрощаем выражение в скобках:
$$\frac{1.2}{2} + \frac{0.8}{4} = 0.6 + 0.2 = 0.8 \, \text{моль}$$Подставляем и решаем относительно $T$:
$$2 \cdot 10^5 = \frac{8.31 \cdot T}{10^{-2}} \cdot 0.8$$ $$2 \cdot 10^5 = 8.31 \cdot T \cdot 80$$ $$T = \frac{2 \cdot 10^5}{8.31 \cdot 80} \approx 301 \, \text{K}$$
Ответ: температура в сосуде равна $301 \, \text{K}.$

Давление насыщенного пара.

При температуре $100\,^\circ\text{C}$ давление насыщенных водяных паров равно:
$$p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Па}$$
Давление влажного воздуха складывается из парциального давления сухого воздуха $p_0$ и парциального давления водяного пара $p_{\text{п}}$:
$$p_1 = p_0 + p_{\text{п}}$$ Относительная влажность $\varphi = 60\% = 0.6$:
$$p_{\text{п}} = \varphi \cdot p_{\text{н.н.}} = 0.6 \cdot 10^5 = 0.6 \cdot 10^5\,\text{Па}$$ Тогда парциальное давление сухого воздуха:
$$p_0 = p_1- p_{\text{п}} = 1.6 \cdot 10^5- 0.6 \cdot 10^5 = 1.0 \cdot 10^5\,\text{Па}$$

Конечное состояние после сжатия.

Объем уменьшают в $k$ раз: $V_2 = \frac{V_1}{k}.$
Температура постоянна, поэтому для сухого воздуха (идеальный газ) по закону Бойля -Мариотта:
$$p_0′ = k \cdot p_0$$Для водяного пара: при сжатии его парциальное давление увеличивается, но не может превысить $p_{\text{н.н.}}.$ Как только оно достигает $p_{\text{н.н.}},$ начинается конденсация, и дальнейшее сжатие не меняет парциальное давление пара. Таким образом, в конечном состоянии:
$$p_{\text{п}}’ = p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Pa}$$Суммарное давление в конечном состоянии:
$$p_2 = p_0′ + p_{\text{п}}’ = k \cdot p_0 + p_{\text{н.н.}}$$По условию давление возрастает в $3$ раза:
$$p_2 = 3p_1$$

Уравнение для нахождения $k.$
Подставляем выражения:
$$k \cdot p_0 + p_{\text{н.н.}} = 3p_1$$Выражаем $k$:
$$k = \frac{3p_1- p_{\text{н.н.}}}{p_0}$$

Подстановка числовых значений:
$p_1 = 1.6 \cdot 10^5\,\text{Па}$
$p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Па}$
$p_0 = 1.0 \cdot 10^5\,\text{Па}$:
$$k = \frac{3 \cdot 1.6 \cdot 10^5- 10^5}{1.0 \cdot 10^5} = \frac{4.8 \cdot 10^5- 10^5}{10^5} = \frac{3.8 \cdot 10^5}{10^5} = 3.8$$
Ответ: объем нужно уменьшить в $k = 3.8~\text{раза}.$

Объем комнаты:
$$V = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60\,\text{м}^3$$
Масса воды, испаренной за $1.5$ часа.

Производительность увлажнителя: $0.2\,\text{л/ч}.$
За $1.5$ часа испарится:
$$V_{\text{в}} = 0.2 \cdot 1.5 = 0.3\,\text{л} = 0.3 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3$$Плотность воды: $\rho = 1000\,\text{кг/м}^3,$ поэтому масса:
$$m = \rho V_{\text{в}} = 1000 \cdot 0.3 \cdot 10^{-3} = 0.3\,\text{кг}$$
Увеличение парциального давления водяного пара.

Используем уравнение Клапейрона — Менделеева для водяного пара:
$$\Delta p \cdot V = \frac{m}{M} R T$$ где $M = 0.018\,\text{кг/моль}$ — молярная масса воды, $R = 8.31\,Дж/(моль·К),$ $T = 10 + 273 = 283\,\text{K}.$

Выражаем $\Delta p$:
$$\Delta p = \frac{m R T}{M V}$$Подставляем значения:
$$\Delta p = \frac{0.3 \cdot 8.31 \cdot 283}{0.018 \cdot 60} \approx 650\,\text{Па}$$

Давление насыщенного пара при $10\,^\circ\text{C}$:
$$p_{\text{н}} = 1.23\,\text{кПа} = 1\ 230\,\text{Па}$$
Начальная относительная влажность:
$$\varphi_1 = 30\% = 0.3$$Начальное парциальное давление водяного пара:
$$p_1 = \varphi_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.3 \cdot 1\ 230 = 369\,\text{Па}$$
Конечное парциальное давление водяного пара:
$$p_2 = p_1 + \Delta p = 369 + 650 = 1\ 019\,\text{Па}$$
Конечная относительная влажность:
$$\varphi_2 = \frac{p_2}{p_{\text{н}}} \cdot 100\% = \frac{1\ 019}{1\ 230} \cdot 100\% \approx 82.8\% \approx 83\%$$
Ответ: относительная влажность воздуха через $1.5$ часа составит $\varphi_2 \approx 83\%.$