24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208483

Давление насыщенного пара.

При температуре $100\,^\circ\text{C}$ давление насыщенных водяных паров равно:
$$p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Па}$$
Давление влажного воздуха складывается из парциального давления сухого воздуха $p_0$ и парциального давления водяного пара $p_{\text{п}}$:
$$p_1 = p_0 + p_{\text{п}}$$ Относительная влажность $\varphi = 60\% = 0.6$:
$$p_{\text{п}} = \varphi \cdot p_{\text{н.н.}} = 0.6 \cdot 10^5 = 0.6 \cdot 10^5\,\text{Па}$$ Тогда парциальное давление сухого воздуха:
$$p_0 = p_1- p_{\text{п}} = 1.6 \cdot 10^5- 0.6 \cdot 10^5 = 1.0 \cdot 10^5\,\text{Па}$$

Конечное состояние после сжатия.

Объем уменьшают в $k$ раз: $V_2 = \frac{V_1}{k}.$
Температура постоянна, поэтому для сухого воздуха (идеальный газ) по закону Бойля -Мариотта:
$$p_0′ = k \cdot p_0$$Для водяного пара: при сжатии его парциальное давление увеличивается, но не может превысить $p_{\text{н.н.}}.$ Как только оно достигает $p_{\text{н.н.}},$ начинается конденсация, и дальнейшее сжатие не меняет парциальное давление пара. Таким образом, в конечном состоянии:
$$p_{\text{п}}’ = p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Pa}$$Суммарное давление в конечном состоянии:
$$p_2 = p_0′ + p_{\text{п}}’ = k \cdot p_0 + p_{\text{н.н.}}$$По условию давление возрастает в $3$ раза:
$$p_2 = 3p_1$$

Уравнение для нахождения $k.$
Подставляем выражения:
$$k \cdot p_0 + p_{\text{н.н.}} = 3p_1$$Выражаем $k$:
$$k = \frac{3p_1- p_{\text{н.н.}}}{p_0}$$

Подстановка числовых значений:
$p_1 = 1.6 \cdot 10^5\,\text{Па}$
$p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Па}$
$p_0 = 1.0 \cdot 10^5\,\text{Па}$:
$$k = \frac{3 \cdot 1.6 \cdot 10^5- 10^5}{1.0 \cdot 10^5} = \frac{4.8 \cdot 10^5- 10^5}{10^5} = \frac{3.8 \cdot 10^5}{10^5} = 3.8$$
Ответ: объем нужно уменьшить в $k = 3.8~\text{раза}.$