24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208275

Первое начало термодинамики.

Газ отдал холодильнику тепло, поэтому:
$$-Q = \Delta U + A$$ где $A$ — работа газа, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии.

Для одноатомного идеального газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$ где $\nu = 1 \, \text{моль},$ $R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)},$ $\Delta T = T_2- T_1.$

Связь давления и объема.

По условию давление обратно пропорционально квадрату объема:
$$p = \frac{\alpha}{V^2}$$ где $\alpha$ — постоянная. Отсюда:
$$V = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}}$$

Уравнение состояния идеального газа:
$$pV = \nu RT$$
Подставляем выражение для $V$:
$$p \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}} = \nu RT$$ $$\sqrt{\alpha p} = \nu RT$$

Нахождение конечной температуры $T_2.$

Для начального и конечного состояний:
$$\sqrt{\alpha p_1} = \nu R T_1$$ $$\sqrt{\alpha p_2} = \nu R T_2$$ Делим второе уравнение на первое:
$$\sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = \frac{T_2}{T_1}$$ $$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = 600 \cdot \sqrt{\frac{10^5}{4 \cdot 10^5}} = 600 \cdot \frac{1}{2} = 300 \, \text{К}$$

Вычисление $\Delta U$:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot 8.31 \cdot (300- 600) = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot (-300) = -3\ 739.5 \, \text{Дж}$$

Из первого начала термодинамики:
$$A = -Q- \Delta U = -1\ 247- (-3\ 739.5) = 2\ 492.5 \, \text{Дж}$$ Округляем до целых: $$A \approx 2\ 493 \, \text{Дж}$$
Ответ: $\approx 2\ 493 \, \text{Дж}.$