24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: Первое начало термодинамики

Первое начало термодинамики.

Газ отдал холодильнику тепло, поэтому:
$$-Q = \Delta U + A$$ где $A$ — работа газа, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии.

Для одноатомного идеального газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$ где $\nu = 1 \, \text{моль},$ $R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)},$ $\Delta T = T_2- T_1.$

Связь давления и объема.

По условию давление обратно пропорционально квадрату объема:
$$p = \frac{\alpha}{V^2}$$ где $\alpha$ — постоянная. Отсюда:
$$V = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}}$$

Уравнение состояния идеального газа:
$$pV = \nu RT$$
Подставляем выражение для $V$:
$$p \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}} = \nu RT$$ $$\sqrt{\alpha p} = \nu RT$$

Нахождение конечной температуры $T_2.$

Для начального и конечного состояний:
$$\sqrt{\alpha p_1} = \nu R T_1$$ $$\sqrt{\alpha p_2} = \nu R T_2$$ Делим второе уравнение на первое:
$$\sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = \frac{T_2}{T_1}$$ $$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = 600 \cdot \sqrt{\frac{10^5}{4 \cdot 10^5}} = 600 \cdot \frac{1}{2} = 300 \, \text{К}$$

Вычисление $\Delta U$:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot 8.31 \cdot (300- 600) = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot (-300) = -3\ 739.5 \, \text{Дж}$$

Из первого начала термодинамики:
$$A = -Q- \Delta U = -1\ 247- (-3\ 739.5) = 2\ 492.5 \, \text{Дж}$$ Округляем до целых: $$A \approx 2\ 493 \, \text{Дж}$$
Ответ: $\approx 2\ 493 \, \text{Дж}.$

Горизонтальное положение.

Силы, действующие на пробку:
$$p_0S + F = p_0S + F_{тр}$$Отсюда сила трения: $$F_{тр} = F = 1 \, \text{Н}$$

Вертикальное положение.

Условие равновесия пробки перед вылетом:
$$p_1S = mg + p_0S + F_{тр}$$Давление гелия перед вылетом: $$p_1 = p_0 + \frac{mg + F_{тр}}{S}$$

Изменение состояния гелия.

Нагрев происходит при постоянном объеме (изохорный процесс).
Начальное состояние: $p_0,$ $T_1.$
Конечное состояние: $p_1,$ $T_2.$
По закону Шарля:
$$\frac{p_1}{T_2} = \frac{p_0}{T_1}$$

Первое начало термодинамики.

Для изохорного процесса:
$$Q = \Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$$Используя уравнение состояния:
$$\Delta p V = \nu R \Delta T$$Тогда:$$Q = \frac{3}{2} V \Delta p = \frac{3}{2} V \left(\frac{mg + F_{тр}}{S}\right)$$

Численный расчет:
$$Q = \frac{3}{2} \cdot 10^{-3} \cdot \left(\frac{0.02 \cdot 10 + 1}{2 \cdot 10^{-4}}\right) = \frac{3}{2} \cdot 10^{-3} \cdot \frac{1.2}{2 \cdot 10^{-4}} = 9 \, \text{Дж}$$
Ответ: $9 \, \text{Дж}.$

Исходные данные.

Давление насыщенного водяного пара при $100^\circ \text{C}$: $p_{нас} = 100 \text{ кПа}.$
Общее давление влажного воздуха: $p = p_{возд} + p_{пар} = 100 \text{ кПа}.$
Относительная влажность: $\varphi = \frac{p_{пар}}{p_{нас}}.$

Изотермическое сжатие $($процесс $1-2).$

Объем уменьшается в $3$ раза: $V_2 = \frac{V_1}{3}.$
Для сухого воздуха (по закону Бойля-Мариотта):
$$p_{возд2} = 3p_{возд1}$$Для водяного пара возможны два случая:
$а)$ Пар остается ненасыщенным: $p_{пар2} = 3p_{пар1}.$
$б)$ Пар становится насыщенным: $p_{пар2} = p_{нас} = 100 \text{ кПа}.$

Анализ условий.

По условию, давление после сжатия равно давлению при изохорном нагреве:
$$p_2 = p_3$$При изохорном нагреве $($процесс $1-3)$:
$$p_3 = 1.6p_1 = 160 \text{ кПа}$$

Рассмотрим случай, когда пар становится насыщенным.

Общее давление после сжатия:
$$p_2 = p_{возд2} + p_{пар2} = 3p_{возд1} + p_{нас}$$Выразим $p_{возд1}$ через $\varphi$:
$$p_{возд1} = p- p_{пар1} = p- \varphi p_{нас} = 100- 100\varphi$$Подставим в уравнение для $p_2$:
$$p_2 = 3(100- 100\varphi) + 100 = 400- 300\varphi$$По условию $p_2 = p_3 = 160 \text{ кПа}$:
$$400- 300\varphi = 160$$ $$300\varphi = 240$$ $$\varphi = 0.8 = 80\%$$

Проверка условия насыщения.

Начальное парциальное давление пара:
$$p_{пар1} = \varphi p_{нас} = 80 \text{ кПа}$$После сжатия: $$p_{пар2} = 3 \cdot 80 = 240 \text{ кПа} > p_{нас}$$ Следовательно, пар действительно конденсируется, и его давление становится равным $p_{нас}.$

Ответ: $80\%.$

Первое начало термодинамики.

$$Q = \Delta U + A$$где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа пара.

Работа расширения пара.

При изобарном процессе:
$$A = p\Delta V$$ Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для испарившейся массы $\Delta m$:
$$p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT$$ где $T = 329 \, \text{K}$ $(56°C$ в кельвинах$),$ $R = 8.314 \, Дж/(моль·К).$

Теплота парообразования:
$$Q = \Delta m L$$

Доля теплоты на изменение внутренней энергии:
$$\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{A}{Q} = 1- \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m L} = 1- \frac{RT}{ML}$$

Численный расчет:
$$\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{8.314 \cdot 329}{58 \cdot 10^{-3} \cdot 524 \cdot 10^3}$$$$\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{2\ 734.706}{30\ 392} \approx 1- 0.09 = 0.91$$
Ответ: $\frac{\Delta U}{Q} = 0.91.$

Первое начало термодинамики:
$$Q = \Delta U + A$$где $A$ — работа пара, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии.

Работа расширения пара.

При изобарном процессе:
$$A = p\Delta V$$Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для испарившейся массы $\Delta m$:
$$p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT$$где $T = 351 \, \text{K}$ (78°C в кельвинах), $R = 8.31 \, Дж/(моль·К).$

Теплота парообразования:
$$Q = \Delta m L$$

$КПД$ преобразования теплоты в работу:
$$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m L} = \frac{RT}{ML}$$

Численный расчет:
$$\eta = \frac{8.31 \cdot 351}{46 \cdot 10^{-3} \cdot 846 \cdot 10^3}$$ $$\eta = \frac{2\ 916.81}{38\ 916} \approx 0.075$$
Ответ: $\eta \approx 0.075.$

Условие выскакивания пробки.

Пробка выскакивает, когда сила давления газа на пробку превышает сумму силы атмосферного давления и максимальной силы трения покоя:
$$p_1 S \geq p_0 S + F$$ где $p_1$ — давление газа в момент выскакивания пробки.
Отсюда минимальное давление $p_1,$ при котором пробка выскакивает:
$$p_1 \geq p_0 + \frac{F}{S}$$

Первое начало термодинамики.

Сосуд имеет жесткие стенки ($\Delta V = 0$), поэтому работа газа $A = 0.$
Переданное тепло $Q$ идет на изменение внутренней энергии:
$$Q = \Delta U$$

Изменение внутренней энергии.

Для идеального одноатомного газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная.
Используем уравнение Клапейрона—Менделеева для начального и конечного состояний:
$$p_0 V = \nu R T_0, \quad p_1 V = \nu R T_1$$Выразим разность температур:
$$\Delta T = T_1- T_0 = \frac{V}{\nu R}(p_1- p_0)$$Подставим в выражение для $\Delta U$:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \cdot \frac{V}{\nu R}(p_1- p_0) = \frac{3}{2} V (p_1- p_0)$$
Из условия выскакивания пробки:
$$p_1- p_0 = \frac{F}{S}$$Тогда:
$$\Delta U = \frac{3}{2} V \cdot \frac{F}{S}$$
Так как $Q = \Delta U,$ получаем:
$$Q = \frac{3}{2} V \cdot \frac{F}{S}$$Отсюда объем сосуда:
$$V = \frac{2 Q S}{3 F}$$
Подставляем значения:
$$V = \frac{2 \cdot 15000 \cdot 2 \cdot 10^{-4}}{3 \cdot 100} = \frac{2 \cdot 15000 \cdot 0.0002}{300} = \frac{6}{300} = 0.02\,\text{м}^3$$

Ответ: $V = 0.02\,\text{м}^3.$