24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #208281

Исходные данные.

Давление насыщенного водяного пара при $100^\circ \text{C}$: $p_{нас} = 100 \text{ кПа}.$
Общее давление влажного воздуха: $p = p_{возд} + p_{пар} = 100 \text{ кПа}.$
Относительная влажность: $\varphi = \frac{p_{пар}}{p_{нас}}.$

Изотермическое сжатие $($процесс $1-2).$

Объем уменьшается в $3$ раза: $V_2 = \frac{V_1}{3}.$
Для сухого воздуха (по закону Бойля-Мариотта):
$$p_{возд2} = 3p_{возд1}$$Для водяного пара возможны два случая:
$а)$ Пар остается ненасыщенным: $p_{пар2} = 3p_{пар1}.$
$б)$ Пар становится насыщенным: $p_{пар2} = p_{нас} = 100 \text{ кПа}.$

Анализ условий.

По условию, давление после сжатия равно давлению при изохорном нагреве:
$$p_2 = p_3$$При изохорном нагреве $($процесс $1-3)$:
$$p_3 = 1.6p_1 = 160 \text{ кПа}$$

Рассмотрим случай, когда пар становится насыщенным.

Общее давление после сжатия:
$$p_2 = p_{возд2} + p_{пар2} = 3p_{возд1} + p_{нас}$$Выразим $p_{возд1}$ через $\varphi$:
$$p_{возд1} = p- p_{пар1} = p- \varphi p_{нас} = 100- 100\varphi$$Подставим в уравнение для $p_2$:
$$p_2 = 3(100- 100\varphi) + 100 = 400- 300\varphi$$По условию $p_2 = p_3 = 160 \text{ кПа}$:
$$400- 300\varphi = 160$$ $$300\varphi = 240$$ $$\varphi = 0.8 = 80\%$$

Проверка условия насыщения.

Начальное парциальное давление пара:
$$p_{пар1} = \varphi p_{нас} = 80 \text{ кПа}$$После сжатия: $$p_{пар2} = 3 \cdot 80 = 240 \text{ кПа} > p_{нас}$$ Следовательно, пар действительно конденсируется, и его давление становится равным $p_{нас}.$

Ответ: $80\%.$