Задание 4. Статика. Колебания и волны

{"questions":[{"content":"В сосуд высотой $20\\,\\text{см}$ налита вода, уровень которой находится на $2\\,\\text{см}$ ниже края. Площадь дна сосуда составляет $0.01\\,\\text{м}^2$. <br />Определите силу давления воды на дно сосуда. Атмосферное давление не учитывать. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$22$","$21$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Определение высоты воды:<br />   $$h = 20\\,\\text{см}- 2\\,\\text{см} = 18\\,\\text{см} = 0.18\\,\\text{м}$$<br />2. Формула гидростатического давления:<br />   $$P = \\rho g h$$<br />   где $\\rho = 1000\\,\\text{кг/м}^3$ — плотность воды.<br /><br />3. Вычисление давления:<br />   $$P = 1000\\,\\text{кг/м}^3 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 0.18\\,\\text{м} = 1800\\,\\text{Па}$$<br />4. Расчет силы давления:<br />   $$F = P \\cdot S = 1800\\,\\text{Па} \\cdot 0.01\\,\\text{м}^2 = 18\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $18$"]},{"content":"Открытый сосуд с керосином находится при нормальном атмосферном давлении $p_0 = 10^5\\,\\text{Па}$. Определите давление на глубине $h = 2\\,\\text{м}$ в сосуде. Плотность керосина $\\rho = 800\\,\\text{кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ выразите в килопаскалях (кПа).[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$116$","$125$","$110$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула полного давления:<br />   $$p = p_0 + \\rho g h$$<br />2. Вычисление гидростатического давления:<br />   $$\\rho g h = 800\\,\\text{кг/м}^3 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 2\\,\\text{м} = 16\\ 000\\,\\text{Па}$$<br />3. Суммарное давление:<br />   $$p = 100\\ 000\\,\\text{Па} + 16\\ 000\\,\\text{Па} = 116\\ 000\\,\\text{Па}$$<br />4. Перевод в килопаскали:<br />   $$116\\ 000\\,\\text{Па} = 116\\,\\text{кПа}$$<br />Ответ: $116$"]},{"content":"При нормальном атмосферном давлении $p_0 = 10^5\\,\\text{Па}$ максимальное давление на дно озера составляет $4 \\cdot 10^5\\,\\text{Па}$. <br />Определите глубину озера. Плотность воды $\\rho = 1000\\,\\text{кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$55$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула полного давления:<br />   $$p = p_0 + \\rho g h$$<br />2. Вычисление гидростатического давления:<br />   $$\\rho g h = p- p_0 = 4 \\cdot 10^5\\,\\text{Па}- 10^5\\,\\text{Па} = 3 \\cdot 10^5\\,\\text{Pa}$$<br />3. Определение глубины:<br />   $$h = \\frac{3 \\cdot 10^5\\,\\text{Pa}}{1000\\,\\text{кг/м}^3 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2} = 30\\,\\text{м}$$<br />Ответ: $30$"]},{"content":"В сосуд высотой $2\\,\\text{м}$ налита жидкость, уровень которой находится на $20\\,\\text{см}$ ниже края. Давление жидкости на дно сосуда составляет $14\\,\\text{кПа}.$ <br />Определите плотность жидкости. Атмосферное давление не учитывать. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в $\\text{кг/м}^3$ и округлите до целых.[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$778$","$852$","$252$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Определение высоты столба жидкости:<br />   $$h = 2\\,\\text{м}- 0.2\\,\\text{м} = 1.8\\,\\text{м}$$<br />2. Формула гидростатического давления:<br />   $$p = \\rho g h$$<br />3. Вывод формулы для плотности:<br />   $$\\rho = \\frac{p}{g h}$$<br />4. Подстановка значений:<br />  — Переводим давление в паскали:<br />     $$14\\,\\text{кПа} = 14 \\cdot 10^3\\,\\text{Па}$$- Вычисляем плотность:<br />     $$\\rho = \\frac{14 \\cdot 10^3\\,\\text{Па}}{10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 1.8\\,\\text{м}} \\approx 777.78\\,\\text{кг/м}^3$$<br />5. Округление результата:<br />   $$\\rho \\approx 778\\,\\text{кг/м}^3$$<br />Ответ: $778$"]},{"content":"На алюминиевый брусок массой $0.54\\,\\text{кг}$ при полном погружении в воду действует выталкивающая сила $2\\,\\text{Н}.$ <br />Определите массу вытесненной воды. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.5$","$0.3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон Архимеда:<br />   $$F_A = m_{\\text{ж}} g$$где $m_{\\text{ж}}$ — масса вытесненной жидкости.<br /><br />2. Вычисление массы воды:<br />   $$m_{\\text{ж}} = \\frac{F_A}{g} = \\frac{2\\,\\text{Н}}{10\\,\\text{м/с}^2} = 0.2\\,\\text{кг}$$<br />Ответ: $0.2$"]},{"content":"Два одинаковых бруска толщиной по $10\\,\\text{см}$ каждый, связанные вместе, плавают в воде так, что уровень воды находится точно на границе между ними. На сколько сантиметров увеличится глубина погружения, если к стопке добавить третий такой же брусок?[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$7$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Анализ начального состояния:<br />  — Общая толщина двух брусков: $2 \\cdot 10\\,\\text{см} = 20\\,\\text{см}$<br />  — По условию система погружена наполовину: $h_{\\text{погр1}} = 10\\,\\text{см}$<br /><br />2. Добавление третьего бруска:<br />  — Новая общая толщина: $3 \\cdot 10\\,\\text{см} = 30\\,\\text{см}$<br />  — Так как плотность системы не изменилась, погружение остается наполовину: $h_{\\text{погр2}} = 15\\,\\text{см}$<br /><br />3. Расчет изменения глубины:<br />   $$\\Delta h = h_{\\text{погр2}}- h_{\\text{погр1}} = 15\\,\\text{см}- 10\\,\\text{см} = 5\\,\\text{см}$$<br />Ответ: $5$"]},{"content":"Медный шар объемом $160\\,\\text{см}^3$ полностью погружают в подсолнечное масло так, что он не касается стенок и дна сосуда. <br />Определите силу Архимеда, действующую на шар. Плотность масла $\\rho_{\\text{м}} = 900\\,\\text{кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.44$","$1.12$","$1.69$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц объема:<br />   $$V = 160\\,\\text{см}^3 = 160 \\cdot 10^{-6}\\,\\text{м}^3 = 1.6 \\cdot 10^{-4}\\,\\text{м}^3$$<br />2. Формула силы Архимеда:<br />   $$F_A = \\rho_{\\text{ж}} g V$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$F_A = 900\\,\\text{кг/м}^3 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 1.6 \\cdot 10^{-4}\\,\\text{м}^3$$<br />4. Вычисление:<br />   $$F_A = 1.44\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $1.44$"]},{"content":"Тело объемом $3\\,\\text{см}^3$ полностью погружают в подсолнечное масло, не касаясь стенок и дна сосуда. Определите силу Архимеда, действующую на тело. Плотность подсолнечного масла $\\rho = 900\\,\\text{кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.027$","$0.9$","$0.27$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц объема:<br />   $$V = 3\\,\\text{см}^3 = 3 \\cdot 10^{-6}\\,\\text{м}^3$$<br />2. Формула силы Архимеда:<br />   $$F_A = \\rho g V$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$F_A = 900\\,\\text{кг/м}^3 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 3 \\cdot 10^{-6}\\,\\text{м}^3$$<br />4. Вычисление:<br />   $$F_A = 0.027\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $0.027$"]},{"content":"Лодка плавает в воде, испытывая действие силы Архимеда $F_A = 2\\ 150\\,\\text{Н}$. Определите массу лодки. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$215$","$115$","$65$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Условие плавания тела:<br />   При равновесии сила Архимеда равна весу тела:<br />   $$F_A = m g$$<br />2. Вывод формулы для массы:<br />   $$m = \\frac{F_A}{g}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$m = \\frac{2\\ 150\\,\\text{Н}}{10\\,\\text{м/с}^2} = 215\\,\\text{кг}$$<br />Ответ: $215$"]},{"content":"Железный кубик с длиной ребра $10\\,\\text{см}$ плавает в ртути. Определите силу Архимеда, действующую на кубик. Ответ дайте в ньютонах. Плотность железа $\\rho_{\\text{Fe}} = 7800\\,\\text{кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$.[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$78$","$65$","$32$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц длины:<br />   $$a = 10\\,\\text{см} = 0.1\\,\\text{м}$$<br />2. Расчет объема кубика:<br />   $$V = a^3 = (0.1\\,\\text{м})^3 = 0.001\\,\\text{м}^3$$<br />3. Определение массы кубика:<br />   $$m = \\rho_{\\text{Fe}} V = 7800\\,\\text{кг/м}^3 \\cdot 0.001\\,\\text{м}^3 = 7.8\\,\\text{кг}$$<br />4. Расчет силы Архимеда (равна весу кубика при плавании):<br />   $$F_A = m g = 7.8\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 = 78\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $78$"]}]}

{"questions":[{"content":"Скорость звука в воде составляет $1.5\\,\\text{км/с}$. Определите длину звуковой волны при частоте $3\\,\\text{кГц}$. Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$2$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц:<br />  — Скорость звука: $c = 1.5\\,\\text{км/с} = 1\\ 500\\,\\text{м/с}$<br />  — Частота: $\\nu = 3\\,\\text{кГц} = 3\\ 000\\,\\text{Гц}$<br /><br />2. Формула связи длины волны, скорости и частоты:<br />   $$\\lambda = \\frac{c}{\\nu}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$\\lambda = \\frac{1\\ 500\\,\\text{м/с}}{3\\ 000\\,\\text{Гц}} = 0.5\\,\\text{м}$$<br />4. Проверка единиц измерения:<br />   $$\\frac{\\text{м/с}}{\\text{Гц}} = \\frac{\\text{м/с}}{1/\\text{с}} = \\text{м}$$<br />Ответ: $0.5$"]},{"content":"Учитель продемонстрировал волну на длинном шнуре. В определенный момент форма шнура показала, что длина волны составляет $0.5\\,\\text{м}$. При скорости распространения волны $2\\,\\text{м/с}$ определите частоту колебаний. Ответ дайте в герцах.[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула связи скорости, длины волны и частоты:<br />   $$v = \\lambda \\nu$$где:<br />  — $v = 2\\,\\text{м/с}$ — скорость волны,<br />  — $\\lambda = 0.5\\,\\text{м}$ — длина волны,<br />  — $\\nu$ — искомая частота.<br /><br />2. Вывод формулы для частоты:<br />   $$\\nu = \\frac{v}{\\lambda}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$\\nu = \\frac{2\\,\\text{м/с}}{0.5\\,\\text{м}} = 4\\,\\text{Гц}$$<br />4. Проверка единиц измерения:<br />   $$\\frac{\\text{м/с}}{\\text{м}} = \\text{Гц}$$<br />Ответ: $4$"]},{"content":"Саксофон (бас) издает звуки в частотном диапазоне от $v_1 = 80\\,\\text{Гц}$ до $v_2 = 8\\ 000\\,\\text{Гц}$. Определите отношение максимальной длины звуковой волны к минимальной в этом диапазоне. Скорость звука в воздухе считать постоянной.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$100$","$200$","$300$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула связи длины волны, скорости и частоты:<br />   $$\\lambda = \\frac{c}{v}$$где $c$ — скорость звука (постоянная величина).<br /><br />2. Расчет граничных длин волн:<br />  — Максимальная длина волны (при минимальной частоте):<br />     $$\\lambda_1 = \\frac{c}{80\\,\\text{Гц}}$$- Минимальная длина волны (при максимальной частоте):<br />     $$\\lambda_2 = \\frac{c}{8\\ 000\\,\\text{Гц}}$$<br />3. Вычисление отношения длин волн:<br />   $$\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = \\frac{c/80}{c/8\\ 000} = \\frac{8\\ 000}{80} = 100$$<br />Ответ: $100$"]},{"content":"Наблюдатель находится на расстоянии $510\\,\\text{м}$ от места, где рабочие забивают сваи копром. Определите время между моментом, когда наблюдатель видит удар копра, и моментом, когда он слышит звук удара. Скорость звука в воздухе $v = 340\\,\\text{м/с}$. Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$2$","$4.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Особенности восприятия:<br />  — Свет распространяется практически мгновенно ($t_{\\text{свет}} \\approx 0$)<br />  — Звук распространяется с конечной скоростью<br /><br />2. Формула времени распространения звука:<br />   $$t = \\frac{S}{v}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$t = \\frac{510\\,\\text{м}}{340\\,\\text{м/с}} = 1.5\\,\\text{с}$$<br />Ответ: $1.5$"]},{"content":"Колеблющаяся струна издает звук с длиной волны $\\lambda = 0.17\\,\\text{м}$. Определите частоту колебаний струны, если скорость звука в воздухе $v = 340\\,\\text{м/с}$. Ответ дайте в герцах.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\ 000$","$4\\ 000$","$1\\ 000$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула связи скорости, длины волны и частоты:<br />   $$v = \\lambda \\cdot \\nu$$<br />   где: — $v = 340\\,\\text{м/с}$ — скорость звука,<br />  — $\\lambda = 0.17\\,\\text{м}$ — длина волны,<br />  — $\\nu$ — искомая частота.<br /><br />2. Вывод формулы для частоты:<br />   $$\\nu = \\frac{v}{\\lambda}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$\\nu = \\frac{340\\,\\text{м/с}}{0.17\\,\\text{м}} = 2000\\,\\text{Гц}$$<br />Ответ: $2\\ 000$"]},{"content":"Наблюдатель слышит гром через $20\\,\\text{с}$ после вспышки молнии. Определите расстояние до места удара молнии, если скорость звука в воздухе составляет $340\\,\\text{м/с}$. Ответ дайте в километрах.[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$6.8$","$7.5$","$13.4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула расстояния:<br />   $$S = v \\cdot t$$ где:<br />  — $v = 340\\,\\text{м/с}$ — скорость звука,<br />  — $t = 20\\,\\text{с}$ — время задержки звука.<br /><br />2. Вычисление расстояния:<br />   $$S = 340\\,\\text{м/с} \\cdot 20\\,\\text{с} = 6800\\,\\text{м}$$<br />3. Перевод в километры:<br />   $$6800\\,\\text{м} = 6.8\\,\\text{км}$$<br />Ответ: $6.8$"]},{"content":"Определите скорость звуковых волн в стали, если при частоте $\\nu = 5\\ 000\\,\\text{Гц}$ длина волны составляет $\\lambda = 1.25\\,\\text{м}$. Ответ дайте в метрах в секунду.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$6\\ 250$","$7\\ 000$","$1\\ 350$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула связи скорости, длины волны и частоты:<br />   $$v = \\lambda \\cdot \\nu$$<br />2. Подстановка значений:<br />   $$v = 1.25\\,\\text{м} \\cdot 5\\ 000\\,\\text{Гц} = 6\\ 250\\,\\text{м/с}$$<br />Ответ: $6\\ 250$"]},{"content":"Стрелок услышал эхо своего выстрела через $0.7\\,\\text{с}$. Определите расстояние до стены, от которой отразился звук. Скорость звука в воздухе $v = 340\\,\\text{м/с}$. Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$119$","$225$","$78$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Особенность эха:<br />   Звук проходит расстояние до стены и обратно, поэтому общий путь равен $2S$.<br /><br />2. Формула расстояния:<br />   $$2S = v \\cdot t \\Rightarrow S = \\frac{v \\cdot t}{2}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$S = \\frac{340\\,\\text{м/с} \\cdot 0.7\\,\\text{с}}{2} = 119\\,\\text{м}$$<br />Ответ:  $119$"]},{"content":"Охотник стреляет у края ущелья глубиной $85\\,\\text{м}$. Через какое время он услышит эхо отраженного звука? Скорость звука в воздухе $v = 340\\,\\text{м/с}$. Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$1.2$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Расчет полного пути звука:<br />   Звук проходит расстояние до дна ущелья и обратно:<br />   $$2S = 2 \\cdot 85\\,\\text{м} = 170\\,\\text{м}$$<br />2. Формула времени:<br />   $$t = \\frac{2S}{v}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$t = \\frac{170\\,\\text{м}}{340\\,\\text{м/с}} = 0.5\\,\\text{с}$$<br />Ответ: $0.5$"]},{"content":"Определите длину звуковой волны в воздухе, если скорость звука $v = 330\\,\\text{м/с}$, а период колебаний $T = 4\\,\\text{мс}$. Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.32$","$1.22$","$1.12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц времени:<br />   $$T = 4\\,\\text{мс} = 4 \\cdot 10^{-3}\\,\\text{с}$$<br />2. Формула длины волны:<br />   $$\\lambda = v \\cdot T$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$\\lambda = 330\\,\\text{м/с} \\cdot 4 \\cdot 10^{-3}\\,\\text{с} = 1.32\\,\\text{м}$$<br />Ответ: $1.32$"]}]}

{"questions":[{"content":"Груз массой $ m  ,$ подвешенный на пружине жесткостью $ k_1 = 400\\,\\text{Н/м}  ,$ совершает свободные гармонические колебания. Какой должна быть жесткость $ k_2 $ новой пружины, чтобы частота колебаний этого же груза уменьшилась в $2$ раза? Ответ дайте в ньютонах на метр.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$100$","$200$","$300$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула частоты колебаний:<br />   $$\\nu = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}} $$<br />2. Зависимость частоты от жесткости:<br />   Частота пропорциональна квадратному корню из жесткости:<br />   $$\\frac{\\nu_1}{\\nu_2} = \\sqrt{\\frac{k_1}{k_2}} $$<br />3. Условие изменения частоты:<br />   По условию $ \\nu_2 = \\frac{\\nu_1}{2}  ,$ следовательно:<br />   $$2 = \\sqrt{\\frac{k_1}{k_2}} \\Rightarrow 4 = \\frac{k_1}{k_2}$$<br />4. Расчет новой жесткости:<br />   $$k_2 = \\frac{k_1}{4} = \\frac{400\\,\\text{Н/м}}{4} = 100\\,\\text{Н/м}$$<br />Ответ: $100$"]},{"content":"Груз горизонтального пружинного маятника совершает колебания по закону $x = A \\cos\\left(\\frac{2\\pi}{T}t\\right)$, где $T = 1\\,\\text{с}$. Через какое минимальное время после начала движения ($t = 0$) потенциальная энергия маятника вновь станет равной начальному значению? Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$1.5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Потенциальная энергия пружинного маятника:<br />   $$W_p = \\frac{kx^2}{2} = \\frac{kA^2}{2}\\cos^2\\left(\\frac{2\\pi}{T}t\\right)$$<br />2. Начальное условие:<br />   При $t = 0$: $W_p(0) = \\frac{kA^2}{2}$<br />3. Условие равенства энергий:<br />   Требуется найти минимальное $t > 0$, при котором:<br />   $$\\cos^2\\left(\\frac{2\\pi}{T}t\\right) = 1$$<br />4. Решение уравнения:<br />   $$\\frac{2\\pi}{T}t = \\pi \\Rightarrow t = \\frac{T}{2} = 0.5\\,\\text{с}$$<br />5. Физическая интерпретация:<br />   Через половину периода груз оказывается в симметричном положении ($x = -A$), где потенциальная энергия такая же, как в начальный момент.<br /><br />Ответ: $0.5$"]},{"content":"Период свободных колебаний пружинного маятника составляет $T_1 = 0.5\\,\\text{с}$. Как изменится период колебаний, если массу груза увеличить в $2$ раза, а жесткость пружины уменьшить в $2$ раза? Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$0.2$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула периода колебаний:<br />   $$T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}$$<br />2. Исходные параметры:<br />   $$T_1 = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}} = 0.5\\,\\text{с}$$<br />3. Новые параметры:<br />  — Масса: $m_2 = 2m$<br />  — Жесткость: $k_2 = \\frac{k}{2}$<br /><br />4. Расчет нового периода:<br />   $$T_2 = 2\\pi\\sqrt{\\frac{2m}{k/2}} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{4m}{k}} = 2 \\cdot 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}} = 2T_1$$<br />5. Вычисление:<br />   $$T_2 = 2 \\cdot 0.5\\,\\text{с} = 1\\,\\text{с}$$<br />Ответ: $1$"]},{"content":"Шарик массой $m_1 = 0.4\\,\\text{кг}$, подвешенный на пружине, совершает свободные гармонические колебания. Какой должна быть масса $m_2$ нового шарика, чтобы период колебаний на той же пружине уменьшился в $2$ раза? Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.1$","$0.21$","$0.05$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула периода колебаний:<br />   $$T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}$$<br />2. Связь периодов:<br />   $$\\frac{T_1}{T_2} = \\sqrt{\\frac{m_1}{m_2}}$$<br />3. Условие изменения периода:<br />   $$\\frac{T_1}{T_1/2} = 2 = \\sqrt{\\frac{m_1}{m_2}}$$<br />4. Вывод соотношения масс:<br />   $$4 = \\frac{m_1}{m_2} \\Rightarrow m_2 = \\frac{m_1}{4}$$<br />5. Расчет новой массы:<br />   $$m_2 = \\frac{0.4\\,\\text{кг}}{4} = 0.1\\,\\text{кг}$$<br />Ответ: $0.1$"]},{"content":"Груз, подвешенный на пружине жесткостью $k_1 = 400\\,\\text{Н/м}$, совершает свободные гармонические колебания. Какую жесткость $k_2$ должна иметь новая пружина, чтобы период колебаний этого же груза уменьшился в $2$ раза? Ответ дайте в ньютонах на метр.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\ 600$","$1\\ 800$","$1\\ 500$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула периода колебаний:<br />   $$T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}$$<br />2. Связь периодов и жесткостей:<br />   $$\\frac{T_1}{T_2} = \\sqrt{\\frac{k_2}{k_1}}$$<br />3. Условие изменения периода:<br />   $$\\frac{T_1}{T_1/2} = 2 = \\sqrt{\\frac{k_2}{400}}$$<br />4. Вывод соотношения жесткостей:<br />   $$4 = \\frac{k_2}{400} \\Rightarrow k_2 = 4 \\cdot 400 = 1\\ 600\\,\\text{Н/м}$$<br />Ответ: $1\\ 600$"]},{"content":"Груз массой $m_1 = 0.16\\,\\text{кг}$, подвешенный на пружине, совершает свободные гармонические колебания. Какую массу $m_2$ должен иметь новый груз, чтобы частота колебаний уменьшилась в $2$ раза? Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.64$","$0.49$","$0.16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула частоты колебаний:<br />   $$\\nu = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}}$$<br />2. Связь частот и масс:<br />   $$\\frac{\\nu_1}{\\nu_2} = \\sqrt{\\frac{m_2}{m_1}}$$<br />3. Условие изменения частоты:<br />   $$\\frac{\\nu_1}{\\nu_1/2} = 2 = \\sqrt{\\frac{m_2}{0.16}}$$<br />4. Вывод соотношения масс:<br />   $$4 = \\frac{m_2}{0.16} \\Rightarrow m_2 = 4 \\cdot 0.16 = 0.64\\,\\text{кг}$$<br />Ответ: $0.64$"]},{"content":"Изменение координаты при движении маятника имеет вид $x = A \\sin \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right)$. Период колебаний маятника равен $T = 2 \\, \\text{с}$. Через какое время кинетическая энергия маятника впервые примет минимальное значение? Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.2$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Анализ уравнения движения:<br />   Уравнение координаты маятника задано как:<br />   $$ x = A \\sin \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right).$$Поскольку в начальный момент времени $(t = 0)$ синус равен нулю $(\\sin(0) = 0),$ маятник находится в положении равновесия $(x = 0).$<br /><br />2. Кинетическая энергия маятника:<br />   Кинетическая энергия минимальна в крайних точках траектории, где скорость маятника равна нулю. В этих точках смещение достигает амплитуды:<br />   $$x = A \\quad \\text{или} \\quad x = -A. $$<br />3. Нахождение времени:<br />   Для достижения первой крайней точки $(x = A)$ должно выполняться условие:<br />$$\\sin \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right) = 1. $$Решаем уравнение:<br />   $$\\frac{2\\pi}{T} t = \\frac{\\pi}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad t = \\frac{T}{4}.$$Подставляем значение периода $T = 2 \\, \\text{с}$: $$ t = \\frac{2}{4} = 0,5 \\, \\text{с}. $$<br />Ответ: $0.5$"]},{"content":"Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону:  <br />$$x = A \\sin \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right),$$  <br />где период колебаний $T = 1 \\, \\text{с}$. Через какое минимальное время, начиная с момента $t = 0$, кинетическая энергия маятника достигнет минимального значения? Ответ выразите в секундах.[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Анализ уравнения движения:<br />   Уравнение координаты маятника имеет вид:  <br />   $$x = A \\sin \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right).$$  При $t = 0$:  $$\\sin(0) = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 0.$$  Это означает, что в начальный момент времени груз находится в положении равновесия, где его скорость (и кинетическая энергия) максимальна.<br /><br />2. Кинетическая энергия маятника:<br />   Кинетическая энергия минимальна в крайних точках траектории, где скорость груза равна нулю. В этих точках смещение достигает амплитуды:  <br />   $$x = A \\quad \\text{или} \\quad x = -A.$$<br />3. Нахождение времени:<br />   Для достижения первой крайней точки $(x = A)$ должно выполняться условие:  <br />   $$\\sin \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right) = 1.$$   Решаем уравнение:  <br />   $$\\frac{2\\pi}{T} t = \\frac{\\pi}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad t = \\frac{T}{4}.$$  Подставляем значение периода $T = 1 \\, \\text{с}$:   $$t = \\frac{1}{4} = 0.25 \\, \\text{с}.$$<br />Ответ: $0.25$"]}]}

{"questions":[{"content":"Смещение груза пружинного маятника от положения равновесия изменяется со временем по закону:  <br />$$x = A \\cos \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right),$$  где период колебаний $T = 0.4 \\, \\text{с}$. Через какое минимальное время, начиная с момента $t = 0$, кинетическая энергия маятника достигнет максимального значения? Ответ запишите в секундах.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.1$","$0.2$","$0.4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Анализ уравнения движения:<br />   Уравнение координаты маятника имеет вид:  <br />   $$x = A \\cos \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right).$$   При $t = 0$:  <br />   $$\\cos(0) = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad x = A.$$  Это означает, что в начальный момент времени груз находится в крайней точке траектории, где его скорость (и кинетическая энергия) равна нулю.<br /><br />2. Кинетическая энергия маятника:<br />   Кинетическая энергия максимальна в положении равновесия $(x = 0),$ где скорость груза достигает наибольшего значения.<br /><br />3. Нахождение времени:<br />   Для достижения положения равновесия $(x = 0)$ должно выполняться условие:  <br />   $$\\cos \\left( \\frac{2\\pi}{T} t \\right) = 0.$$  Первое решение этого уравнения:  <br />   $$\\frac{2\\pi}{T} t = \\frac{\\pi}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad t = \\frac{T}{4}.$$  Подставляем значение периода $T = 0.4 \\, \\text{с}$:  <br />   $$t = \\frac{0.4}{4} = 0.1 \\, \\text{с}.$$<br />Ответ: $0.1$"]},{"content":"Смещение груза пружинного маятника от положения равновесия изменяется со временем по закону:<br />$$x = A \\cos\\left(\\frac{2\\pi t}{T}\\right),$$где период колебаний $T = 1\\,\\text{с}$. Через какое минимальное время, начиная с начального момента $t = 0$, потенциальная энергия пружины маятника достигнет минимального значения? Ответ запишите в секундах.[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Выражение для потенциальной энергии:<br />   Потенциальная энергия упругой деформации пружины определяется формулой:<br />   $$E_p = \\frac{kx^2}{2},$$<br />   где $k$- коэффициент жесткости пружины.<br /><br />2. Подстановка уравнения движения:<br />   Подставляя выражение для смещения $x$, получаем:<br />   $$E_p = \\frac{kA^2}{2}\\cos^2\\left(\\frac{2\\pi t}{T}\\right).$$<br />3. Преобразование тригонометрического выражения:<br />   Используя тригонометрическое тождество $\\cos^2\\alpha = \\frac{1 + \\cos2\\alpha}{2}$, преобразуем выражение для энергии:<br />   $$E_p = \\frac{kA^2}{4}\\left(1 + \\cos\\left(\\frac{4\\pi t}{T}\\right)\\right).$$<br />4. Анализ минимума потенциальной энергии:<br />   Минимальное значение потенциальной энергии достигается, когда $\\cos\\left(\\frac{4\\pi t}{T}\\right) = -1$. Это происходит при:<br />   $$\\frac{4\\pi t}{T} = \\pi + 2\\pi n, \\quad n \\in \\mathbb{Z}.$$<br />5. Нахождение минимального положительного времени:<br />   Для первого минимума $(n = 0)$:<br />   $$\\frac{4\\pi t}{T} = \\pi \\Rightarrow t = \\frac{T}{4}.$$<br />6. Подстановка численного значения:<br />   При $T = 1\\,\\text{с}$ получаем:<br />   $$t = \\frac{1}{4} = 0.25\\,\\text{с}.$$<br />Ответ: $0.25$"]},{"content":"Шарик, подвешенный на нити, совершает свободные незатухающие гармонические колебания. Во сколько раз увеличится период его колебаний, если:<br />1. Длину нити увеличить в $6.25$ раза;<br />2. Массу шарика уменьшить в $1.5$ раза?[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$2.5$","$5$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула периода математического маятника:<br />   Период колебаний математического маятника определяется выражением:<br />   $$T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}},$$где:<br />  — $l$ — длина нити,<br />  — $g$ — ускорение свободного падения.<br /><br />2. Анализ зависимости периода от параметров:<br />   Из формулы видно, что период колебаний:<br />  — Пропорционален квадратному корню из длины нити $(T \\sim \\sqrt{l}),$<br />  — Не зависит от массы шарика.<br /><br />3. Изменение длины нити:<br />   Исходная длина нити: $l_0$,<br />   Новая длина нити: $l_1 = 6.25l_0$.<br />   <br />   Отношение периодов:<br />   $$\\frac{T_1}{T_0} = \\sqrt{\\frac{l_1}{l_0}} = \\sqrt{6.25} = 2.5.$$<br />4. Влияние изменения массы:<br />   Поскольку период не зависит от массы, изменение массы в $1.5$ раза не влияет на результат.<br /><br />5. Итоговый ответ:<br />   Период колебаний увеличится в $2.5$ раза.<br /><br />Ответ: $2.5$"]},{"content":"Во сколько раз уменьшится период свободных гармонических колебаний математического маятника, если его длину уменьшить в $4$ раза?[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$0.5$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула периода колебаний:<br />   Период колебаний математического маятника определяется выражением:<br />   $$T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}},$$где:<br />  — $l$ — длина нити,<br />  — $g$ — ускорение свободного падения.<br /><br />2. Зависимость периода от длины:<br />   Из формулы видно, что период $T$ пропорционален квадратному корню из длины нити:<br />   $$T \\sim \\sqrt{l}.$$<br />3. Изменение длины нити:<br />   Исходная длина нити: $l_0$,<br />   Новая длина нити: $l_1 = \\frac{l_0}{4}$.<br /><br />4. Расчет изменения периода:<br />   Отношение периодов до и после изменения длины:<br />   $$\\frac{T_1}{T_0} = \\sqrt{\\frac{l_1}{l_0}} = \\sqrt{\\frac{1}{4}} = \\frac{1}{2}.$$<br />5. Итоговый вывод:<br />   Период колебаний уменьшится в $2$ раза.<br /><br />Ответ: $2$"]},{"content":"Период свободных колебаний пружинного маятника равен $0.8\\,\\text{с}$. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если массу груза увеличить в $4$ раза, не изменяя жесткости пружины? Ответ запишите в секундах.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.6$","$3.2$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула периода колебаний:<br />   Период колебаний пружинного маятника определяется выражением:<br />   $$T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}},$$ где:<br />  — $m$ — масса груза,<br />  — $k$ — жесткость пружины.<br /><br />2. Зависимость периода от массы:<br />   Из формулы видно, что период $T$ пропорционален квадратному корню из массы:<br />   $$T \\sim \\sqrt{m}.$$<br />3. Исходные данные:<br />   Исходный период: $T_0 = 0.8\\,\\text{с}$,<br />   Исходная масса: $m_0$,<br />   Новая масса: $m_1 = 4m_0$.<br /><br />4. Расчет нового периода:<br />   Отношение периодов до и после изменения массы:<br />   $$\\frac{T_1}{T_0} = \\sqrt{\\frac{m_1}{m_0}} = \\sqrt{4} = 2.$$   <br />   Новый период:<br />   $$T_1 = 2 \\cdot T_0 = 2 \\cdot 0.8\\,\\text{с} = 1.6\\,\\text{с}.$$<br />5. Итоговый ответ:<br />   Период колебаний увеличится до $1.6\\,\\text{с}$.<br /><br />Ответ: $1.6$"]},{"content":"Частота свободных гармонических колебаний пружинного маятника равна $4\\,\\text{Гц}$. Какой станет частота колебаний этого маятника, если массу груза уменьшить в $4$ раза, сохраняя прежнюю жесткость пружины? Ответ запишите в герцах.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$0.125$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Исходные данные:<br />  — Начальная частота колебаний: $ν_0 = 4\\,\\text{Гц}$<br />  — Начальная масса груза: $m_0$<br />  — Новая масса груза: $m_1 = \\frac{m_0}{4}$<br />  — Жесткость пружины: $k = \\text{const}$<br /><br />2. Формулы связи параметров:<br />  — Период колебаний: $T = 2π\\sqrt{\\frac{m}{k}}$<br />  — Частота и период связаны соотношением: $ν = \\frac{1}{T}$<br /><br />3. Зависимость частоты от массы:<br />   Выразим частоту через массу:<br />   $$ν = \\frac{1}{2π}\\sqrt{\\frac{k}{m}}$$<br />   Отсюда видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из массы:<br />   $$ν \\sim \\frac{1}{\\sqrt{m}}$$<br />4. Расчет изменения частоты:<br />   При уменьшении массы в 4 раза:<br />   $$\\frac{ν_1}{ν_0} = \\sqrt{\\frac{m_0}{m_1}} = \\sqrt{4} = 2$$<br />   Новая частота:<br />   $$ν_1 = 2ν_0 = 2×4\\,\\text{Гц} = 8\\,\\text{Гц}$$<br />Ответ: $8$"]},{"content":"На рычаг действуют две силы. Момент первой силы относительно оси вращения рычага равен $50\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}$. Определите величину второй силы, если ее плечо относительно этой же оси составляет $0.5\\,\\text{м}$, а рычаг находится в равновесии. Ответ запишите в ньютонах.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$100$","$200$","$300$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Условие равновесия рычага:<br />   Для рычага, находящегося в равновесии, сумма моментов сил равна нулю:<br />   $$M_1 + M_2 = 0$$или, учитывая направления моментов:<br />   $$|M_1| = |M_2|$$<br />2. Известные величины:<br />  — Момент первой силы: $M_1 = 50\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}$<br />  — Плечо второй силы: $d_2 = 0.5\\,\\text{м}$<br /><br />3. Вычисление момента второй силы:<br />   Из условия равновесия:<br />   $$M_2 = M_1 = 50\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}$$<br />4. Формула момента силы:<br />   Момент силы рассчитывается как:<br />   $$M = F \\cdot d$$где:<br />  — $F$ — величина силы,<br />  — $d$ — плечо силы.<br /><br />5. Расчет второй силы:<br />   Для второй силы:<br />   $$F_2 = \\frac{M_2}{d_2} = \\frac{50\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}}{0.5\\,\\text{м}} = 100\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $100$ <br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Каменный блок создает давление $p = 2\\ 500\\,\\text{Па}$ на горизонтальную поверхность кладки. Площадь соприкосновения блока с поверхностью составляет $S = 740\\,\\text{см}^2$. Определите массу блока. Ответ выразите в килограммах.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$18.5$","$25$","$32.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Основная формула давления:<br />   Давление определяется как отношение силы к площади:<br />   $$p = \\frac{F}{S}$$<br />2. Сила, действующая на поверхность:<br />   В данном случае сила равна весу блока:<br />   $$F = P = mg$$где:<br />  — $m$ — масса блока,<br />  — $g = 10\\,\\text{м/с}^2$- ускорение свободного падения.<br /><br />3. Выражаем массу:<br />   Объединяя формулы, получаем:<br />   $$m = \\frac{pS}{g}$$<br />4. Перевод единиц площади:<br />   $$740\\,\\text{см}^2 = 740 \\cdot 10^{-4}\\,\\text{м}^2 = 0.074\\,\\text{м}^2$$<br />5. Подставляем значения:<br />   $$m = \\frac{2500\\,\\text{Па} \\cdot 0.074\\,\\text{м}^2}{10\\,\\text{м/с}^2} = \\frac{185\\,\\text{Н}}{10\\,\\text{м/с}^2} = 18.5\\,\\text{кг}$$<br />Ответ: $18.5$"]},{"content":"Рычаг находится в равновесии под действием двух сил: $F_1 = 5\\,\\text{Н}$ и $F_2 = 8\\,\\text{Н}$. Плечо силы $F_2$ составляет $l_2 = 10\\,\\text{см}$. Определите плечо силы $F_1$. Ответ запишите в сантиметрах.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$32$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Условие равновесия рычага:<br />   Для рычага в равновесии выполняется равенство моментов сил:<br />   $$F_1 \\cdot l_1 = F_2 \\cdot l_2$$<br />2. Известные величины:<br />  — Сила $F_1 = 5\\,\\text{Н}$<br />  — Сила $F_2 = 8\\,\\text{Н}$<br />  — Плечо $l_2 = 10\\,\\text{см} = 0.1\\,\\text{м}$<br /><br />3. Вычисление плеча $l_1$:<br />   Выразим $l_1$ из условия равновесия:<br />   $$l_1 = \\frac{F_2 \\cdot l_2}{F_1} = \\frac{8\\,\\text{Н} \\cdot 0.1\\,\\text{м}}{5\\,\\text{Н}}$$<br />4. Расчет:<br />   $$l_1 = \\frac{0.8\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}}{5\\,\\text{Н}} = 0.16\\,\\text{м} = 16\\,\\text{см}$$<br />Ответ: $16$"]},{"content":"Кирпич массой $m = 4.5\\,\\text{кг}$ лежит на горизонтальной кладке стены. Площадь соприкосновения грани кирпича с поверхностью составляет $S = 300\\,\\text{см}^2$. Определите давление, оказываемое кирпичом на кладку. Ответ запишите в паскалях $(Па).$[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\ 500$","$10\\ 500$","$500$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула давления:<br />   Давление определяется как отношение силы к площади:<br />   $$p = \\frac{F}{S}$$<br />2. Сила давления (вес кирпича):<br />   $$F = P = mg$$ где:<br />  — $m = 4.5\\,\\text{кг}$- масса кирпича,<br />  — $g = 10\\,\\text{м/с}^2$- ускорение свободного падения.<br /><br />3. Перевод единиц площади:<br />   $$300\\,\\text{см}^2 = 300 \\cdot 10^{-4}\\,\\text{м}^2 = 0.03\\,\\text{м}^2$$<br />4. Расчет давления:<br />   $$p = \\frac{mg}{S} = \\frac{4.5\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2}{0.03\\,\\text{м}^2} = \\frac{45\\,\\text{Н}}{0.03\\,\\text{м}^2} = 1\\ 500\\,\\text{Па}$$<br />Ответ: $1\\ 500$"]},{"content":"Диапазон голоса мужского баса охватывает частоты от $v_1 = 80\\,\\text{Гц}$ до $v_2 = 400\\,\\text{Гц}$. Определите отношение граничных длин звуковых волн $\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2}$ этого диапазона.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$2$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула связи параметров волны:<br />   Длина звуковой волны связана с частотой и скоростью звука соотношением:<br />   $$\\lambda = \\frac{c}{v}$$где:<br />  — $c$ — скорость звука в воздухе (постоянная величина),<br />  — $v$ — частота звука.<br /><br />2. Выражение для граничных длин волн:<br />   Для крайних частот диапазона:<br />   $$\\lambda_1 = \\frac{c}{v_1}, \\quad \\lambda_2 = \\frac{c}{v_2}$$<br />3. Вычисление отношения длин волн:<br />   $$\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = \\frac{c/v_1}{c/v_2} = \\frac{v_2}{v_1}$$<br />4. Подстановка значений частот:<br />   $$\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = \\frac{400\\,\\text{Гц}}{80\\,\\text{Гц}} = 5$$<br />Ответ: $5$"]},{"content":"Определите отношение граничных длин звуковых волн $\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2}$ для диапазона частот скрипки от $v_1 = 200\\,\\text{Гц}$ до $v_2 = 2\\ 000\\,\\text{Гц}$.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$20$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Основное уравнение волны:<br />   Связь между длиной волны $\\lambda$, частотой $v$ и скоростью звука $c$:<br />   $$\\lambda = \\frac{c}{v}$$<br />2. Выражение для граничных длин волн:<br />  — Для нижней границы частот:<br />     $$\\lambda_1 = \\frac{c}{v_1} = \\frac{c}{200\\,\\text{Гц}}$$<br />  — Для верхней границы частот:<br />     $$\\lambda_2 = \\frac{c}{v_2} = \\frac{c}{2000\\,\\text{Гц}}$$<br />3. Расчет отношения длин волн:<br />   $$\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = \\frac{\\frac{c}{200\\,\\text{Гц}}}{\\frac{c}{2\\ 000\\,\\text{Гц}}} = \\frac{2\\ 000\\,\\text{Гц}}{200\\,\\text{Гц}} = 10$$<br />Ответ: $10$ <br />"]},{"content":"Ультразвуковые волны, используемые в физиотерапии, охватывают частотный диапазон от $v_1 = 0.8\\,\\text{МГц}$ до $v_2 = 3.2\\,\\text{МГц}$. Определите отношение граничных длин волн $\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2}$ этого диапазона.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула связи волновых параметров:<br />   Длина волны $\\lambda$ связана с частотой $v$ и скоростью распространения $c$ соотношением:<br />   $$\\lambda = \\frac{c}{v}$$<br />   где скорость звука $c$ в биологических тканях составляет примерно $1\\ 500\\,\\text{м/с}$.<br /><br />2. Выражение для граничных длин волн:<br />   Для крайних частот диапазона:<br />   $$\\lambda_1 = \\frac{c}{v_1} = \\frac{c}{0.8 \\cdot 10^6\\,\\text{Гц}}$$<br />   $$\\lambda_2 = \\frac{c}{v_2} = \\frac{c}{3.2 \\cdot 10^6\\,\\text{Гц}}$$<br />3. Расчет отношения длин волн:<br />   $$\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = \\frac{v_2}{v_1} = \\frac{3.2\\,\\text{МГц}}{0.8\\,\\text{МГц}} = 4$$<br />Ответ: $4$"]},{"content":"Сравните средние длины звуковых волн мужского ($v_1 = 200\\,\\text{Гц}$) и женского ($v_2 = 600\\,\\text{Гц}$) голосов, найдя отношение $\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2}$.[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Основное волновое уравнение:<br />   $$\\lambda = \\frac{c}{v}$$ где:<br />  — $\\lambda$ — длина звуковой волны,<br />  — $c \\approx 340\\,\\text{м/с}$ — скорость звука в воздухе,<br />  — $v$ — частота звука.<br /><br />2. Расчет для мужского голоса:<br />   $$\\lambda_1 = \\frac{c}{v_1} = \\frac{340\\,\\text{м/с}}{200\\,\\text{Гц}} = 1.7\\,\\text{м}$$<br />3. Расчет для женского голоса:<br />   $$\\lambda_2 = \\frac{c}{v_2} = \\frac{340\\,\\text{м/с}}{600\\,\\text{Гц}} \\approx 0.57\\,\\text{м}$$<br />4. Вычисление отношения:<br />   $$\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = \\frac{1.7\\,\\text{м}}{0.57\\,\\text{м}} \\approx 3$$<br />Ответ: $3$"]}]}

{"questions":[{"content":"По графику зависимости координаты $x$ (в $см$) материальной точки от времени $t$ (в $с$) определите частоту колебаний. Ответ запишите в герцах $(Гц).$[[fill_choice_big-98]][[image-581]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.125$","$0.8$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-581":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/46-01.svg","width":"400"}},"hints":["1. Определение периода:<br />   Из графика видно, что:<br />  — В момент $t_1 = 0$ с точка имеет максимальное отклонение $(x = 4\\ см)$<br />  — Следующее максимальное отклонение происходит в момент $t_2 = 8\\ с$<br />  — Следовательно, период колебаний равен:<br />     $$T = t_2- t_1 = 8- 0 = 8\\,\\text{с}$$<br />2. Расчет частоты:<br />   Частота $ν$ связана с периодом соотношением:<br />   $$ν = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{8} = 0.125\\,\\text{Гц}$$<br />Ответ: $0.125$"]},{"content":"Тело массой $m_1 = 0.2\\,\\text{кг}$ подвешено к правому плечу невесомого рычага. К какому делению левого плеча нужно подвесить груз массой $m_2$, чтобы рычаг находился в равновесии? Ответ запишите в килограммах.[[fill_choice_big-244]][[image-1110]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.3$","$0.6$","$0.15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1110":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/49-01.svg","width":"400"}},"hints":["1. Условие равновесия рычага:<br />   Для невесомого рычага в равновесии выполняется равенство моментов сил:<br />   $$m_1 g l_1 = m_2 g l_2$$где:<br />  — $m_1 = 0.2\\,\\text{кг}$- масса первого тела,<br />  — $l_1 = 3$ (условные единицы длины) — плечо первой силы,<br />  — $l_2 = 2$ (условные единицы длины) — плечо второй силы,<br />  — $g$ — ускорение свободного падения.<br /><br />2. Упрощение уравнения:<br />   Ускорение $g$ сокращается:<br />   $$m_1 l_1 = m_2 l_2$$<br />3. Вычисление массы $m_2$:<br />   $$m_2 = \\frac{m_1 l_1}{l_2} = \\frac{0.2\\,\\text{кг} \\cdot 3}{2} = 0.3\\,\\text{кг}$$<br />Ответ: $0.3$"]},{"content":"Человек удерживает груз весом $F_A = 80\\,\\text{Н}$ на легкой палке, прикладывая к концу $B$ палки вертикальную силу $F_B = 30\\,\\text{Н}$. Известно, что длина $OB = 80\\,\\text{см}$. Определите длину отрезка $OA$, при которой система находится в равновесии. Ответ дайте в сантиметрах.[[fill_choice_big-312]][[image-1183]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$60$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1183":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/410-01.svg","width":"300"}},"hints":["1. Условие равновесия рычага:<br />   Для легкой (невесомой) палки выполняется равенство моментов сил:<br />   $$F_A \\cdot OA = F_B \\cdot OB$$<br />2. Известные величины:<br />  — Сила в точке A (вес груза): $F_A = 80\\,\\text{Н}$<br />  — Сила в точке B: $F_B = 30\\,\\text{Н}$<br />  — Длина OB: $OB = 80\\,\\text{см} = 0.8\\,\\text{м}$<br /><br />3. Вычисление длины $OA$:<br />   Из условия равновесия выражаем $OA$:<br />   $$OA = \\frac{F_B \\cdot OB}{F_A} = \\frac{30\\,\\text{Н} \\cdot 0.8\\,\\text{м}}{80\\,\\text{Н}}$$<br />4. Расчет:<br />   $$OA = \\frac{24\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}}{80\\,\\text{Н}} = 0.3\\,\\text{м} = 30\\,\\text{см}$$<br />Ответ: $30$"]},{"content":"По данным таблицы определите амплитуду колебаний шарика, совершающего гармонические колебания вдоль оси $Ox$. Ответ дайте в миллиметрах.[[fill_choice_big-168]][[image-214]]","widgets":{"fill_choice_big-168":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$30$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-214":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/31-01.svg"}},"hints":["1. Определение амплитуды:<br />   Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение от положения равновесия ($x = 0$ $мм$).<br /><br />2. Анализ данных:<br />  — Максимальное положительное отклонение: $+15$ $мм$ (при $t = 1.0$ $ с$)<br />  — Максимальное отрицательное отклонение: $-15$ $мм$ (при $t = 3.0$ $с$)<br /><br />3. Вывод:<br />   Амплитуда $A = 15$ $мм,$ так как это наибольшее отклонение от положения равновесия.<br /><br />Ответ: $15$"]},{"content":"По резонансной кривой определите, во сколько раз изменилась амплитуда установившихся колебаний маятника при увеличении частоты вынуждающей силы с $0.5\\,\\text{Гц}$ до $1.0\\,\\text{Гц}$.[[fill_choice_big-263]][[image-323]]","widgets":{"fill_choice_big-263":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$10$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-323":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/32-01.svg","width":"300"}},"hints":["1. Анализ графика:<br />  — При частоте $0.5\\,\\text{Гц}$ амплитуда составляет $A_1 = 2\\,\\text{см}$ (согласно графику)<br />  — При частоте $1.0\\,\\text{Гц}$ амплитуда достигает максимума $A_2 = 10\\,\\text{см}$<br /><br />2. Расчет изменения амплитуды:<br />   $$\\frac{A_2}{A_1} = \\frac{10\\,\\text{см}}{2\\,\\text{см}} = 5$$<br />Ответ: амплитуда колебаний увеличилась в $5$ раз."]},{"content":"Коромысло весов с двумя подвешенными грузами находится в равновесии. После увеличения массы первого груза в $2$ раза определите, во сколько раз нужно уменьшить его плечо $d_1$, чтобы сохранить равновесие. Коромысло и нити считать невесомыми.[[fill_choice_big-394]][[image-468]]","widgets":{"fill_choice_big-394":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-468":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/52-01.svg","width":"300"}},"hints":["1. Условие равновесия рычага:<br />   Исходное равновесие описывается равенством моментов сил:<br />   $$m_1 g d_1 = m_2 g d_2$$ где:<br />  — $m_1$, $m_2$ — массы грузов,<br />  — $d_1$, $d_2$ — соответствующие плечи сил.<br /><br />2. Изменение параметров:<br />  — Новая масса первого груза: $m_1' = 2m_1$<br />  — Плечо $d_2$ и масса $m_2$ остаются неизменными<br /><br />3. Новое условие равновесия:<br />   $$2m_1 g d_1' = m_2 g d_2$$<br />4. Сравнение с исходным равновесием:<br />   Из исходного уравнения выражаем $m_2 g d_2$:<br />   $$m_2 g d_2 = m_1 g d_1$$Подставляем в новое уравнение:<br />   $$2m_1 g d_1' = m_1 g d_1$$<br />5. Находим новое плечо:<br />   $$d_1' = \\frac{d_1}{2}$$<br />6. Коэффициент изменения плеча:<br />   $$\\frac{d_1}{d_1'} = 2$$<br />Ответ: $2$"]},{"content":"Ученик исследовал условия равновесия легкого рычага с приложенными силами $F_1$ и $F_2$. Данные эксперимента представлены в таблице. Определите модуль силы $F_2$, при котором рычаг находится в равновесии. Ответ запишите в ньютонах $(Н).$[[fill_choice_big-553]][[image-641]]","widgets":{"fill_choice_big-553":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$100$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-641":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/55-01.svg","width":"300"}},"hints":["1. Условие равновесия рычага:<br />   Для рычага в равновесии выполняется равенство моментов сил:<br />   $$F_1 \\cdot l_1 = F_2 \\cdot l_2$$<br />2. Выражаем неизвестную силу:<br />   $$F_2 = \\frac{F_1 \\cdot l_1}{l_2}$$<br />3. Подставляем значения:<br />   $$F_2 = \\frac{40\\,\\text{Н} \\cdot 1.2\\,\\text{м}}{0.8\\,\\text{м}} = \\frac{48\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}}{0.8\\,\\text{м}}$$<br />4. Вычисляем результат:<br />   $$F_2 = 60\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $60$"]},{"content":"Ученик исследовал условия равновесия рычага. По данным таблицы определите плечо силы $l_1$, при котором рычаг находится в равновесии. Ответ запишите в метрах.[[fill_choice_big-740]][[image-842]]","widgets":{"fill_choice_big-740":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.4$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-842":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/56-01.svg","width":"300"}},"hints":["1. Условие равновесия рычага:<br />   Для равновесия рычага необходимо равенство моментов сил:<br />   $$F_1 \\cdot l_1 = F_2 \\cdot l_2$$<br />2. Выражаем искомое плечо:<br />   $$l_1 = \\frac{F_2 \\cdot l_2}{F_1}$$<br />3. Подставляем известные значения:<br />   $$l_1 = \\frac{15\\,\\text{Н} \\cdot 0.4\\,\\text{м}}{30\\,\\text{Н}}$$<br />4. Выполняем расчет:<br />   $$l_1 = \\frac{6\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}}{30\\,\\text{Н}} = 0.2\\,\\text{м}$$<br />Ответ: $0.2$<br />"]}]}