Гармонические колебания
Гармонические колебания
Мы начали рассматривать колебательное движение со свободных колебаний. В этом случае тело движется только за счет начального запаса энергии, никаких посторонних сил на систему не действует. Если бы эти силы были, тогда речь бы пошла о вынужденных колебаниях.
Для того, чтобы охарактеризовать любые колебания, мы используем такие величины, как амплитуда, частота, период и фаза колебаний (рисунок 1).
Среди всего разнообразия колебательного движения в окружающем нас мире очень часто встречаются гармонические колебания. По своей природе они могут быть как свободными, так и вынужденными. В курсе 9 класса мы рассматриваем только свободные гармонические колебания, поэтому на данном уроке мы познакомимся с примерами такого движения, получим график колебательного движения и проанализируем его.
Пример гармонических колебаний — пружинный маятник
При гармонических колебаниях на тело действует сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия. Чем дальше находится тело от положения равновесия, тем больше по модулю эта сила. И наоборот, при приближении к положению равновесия эта сила постепенно уменьшается. Направление этой силы всегда обратно направлению скорости колеблющегося тела.
Это описание идеально подходит для колебаний пружинного маятника, которые мы рассматривали в одном из прошлых уроков. На шарик действует сила упругости пружины, стремясь вернуть его в положение равновесия (рисунок 2).
Колебания пружинного маятника могут быть примером гармонических колебаний, но при определенных условиях. Так, в системе должна отсутствовать или не оказывать заметного влияния сила трения.
Гармонические колебания всегда происходят под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно скорости этой точки.
График зависимости координаты пружинного маятника от времени
Теперь давайте рассмотрим простой опыт, чтобы понять как выглядит график гармонических колебаний. Нас будет интересовать как изменяется координата колеблющегося пружинного маятника с течением времени и по какому закону происходят эти изменения.
Получение графика
Для опыта будем использовать пружинный маятник с грузом, закрепленным между двумя пружинами (рисунок 3). Равнодействующая сил упругости, возникающих в пружинах, всегда будет стремиться вернуть маятник в положение равновесия. Чем больше будет отклонение от положения равновесия, тем больше будет эта сила. Так как груз будет колебаться в воздухе, силами сопротивления мы можем пренебречь.
В качестве груза возьмем маленькую металлическую воронку с очень узким отверстием снизу. Под воронкой разместим длинную бумажную ленту (рисунок 4).
Засыпаем в воронку песок (или наливаем краску). Теперь засекаем время и приводим наш груз (воронку с песком/краской) в колебательное движение, отклонив от положения равновесия. Ленту стараемся тянуть равномерно на себя — в плоскости, перпендикулярной плоскости колебаний (рисунок 5). При этом на ленте у нас останется волнообразная дорожка из песка (или краски). Каждая точка этой дорожки будет соответствовать положению груза в тот момент, когда он находился над ней.
Прорисовываем линию дорожки из песка. Добавляем координатные прямые:
- ось времени Ot проводим горизонтально через точки, соответствующие положению равновесия маятника;
- ось координаты груза (или смещения) Ox проводим перпендикулярно оси времени Ot.
В итоге мы получаем кривую, изображенную на рисунке 6.
Такая кривая называется косинусоидой — графиком функции типа $y = \cos x$. То есть координата колеблющегося тела изменяется по закону косинуса (рисунок 7).
Точно такой же опыт мы можем провести и для нитяного маятника (рисунок 8). Он так же покажет, что график зависимости координаты от времени представляет собой косинусоиду.
Если бы мы начали отсчет времени эксперимента с момента, когда груз проходит через положение равновесия, то получили бы синусоиду — график функции типа $y = \sin x$ (рисунок 9).
Описание графика
Из графика на рисунке 6 мы видим, что маятник начал движение из крайней точки с координатой $x = x_1$. Далее он проходит положение равновесия и достигает другой крайней точки с координатой $x = −x_1$. После этого груз меняет направление, второй раз проходит через положение равновесия и оказывается снова в точке с координатой $x = x_1$. То есть он вернулся в то же самое положение, из которого начиналось движение. Это означает, что маятник совершил одно полное колебание.
Опустив перпендикуляр на ось времени Ot, мы получаем период колебаний $T$. Таким образом мы можем нанести на ось времени Ot отметки, соответствующие одному периоду колебаний, двум, трем и т. д. (рисунок 10)
Амплитуда
Из графика мы видим, что в точках с координатами $x_1$ и $−x_1$ груз — в крайних положениях. Эти максимальные отклонения от положения равновесия одинаковы по модулю и равны амплитуде колебаний $A$ (рисунок 11).
Период и частота
В ходе опыта мы засекали время, в течение которого маятник совершал колебания, отображенные на графике. Чтобы определить период колебаний, нам нужно это время разделить на число колебаний:
$T = \frac{t}{n}$,
где $T$ — период колебаний, $t$ — время колебаний маятника во время опыта, $n$ — число колебаний, совершенных за время опыта.
Зная период колебаний, мы всегда может рассчитать их частоту: $\nu = \frac{1}{T}$.
Координата груза
По графику можно приблизительно определить координату груза в любой момент времени. Например, через время, равное $\frac{1}{3}T$ груз находился в точке с координатой $x_1$ (рисунок 12).
Или, используя другую формулировку, мы можем сказать, что в этот момент времени смещение груза от положения равновесия было равно $x_1$.
Определение гармонических колебаний
Теперь мы готовы дать определение гармоническим колебаниям.
Гармонические колебания — это периодические изменения во времени физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса.
В нашем случае такой физической величиной была координата груза. Поэтому мы говорим о том, что сам груз совершает гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний
По графику мы можем лишь приблизительно определить координату тела в определенный момент времени. В курсах физике старшей школы мы сможем ее точно рассчитать, используя уравнения гармонических колебаний.
$x = A \cos(\omega t \space + \space \phi_0)$
или
$x = A \sin(\omega t \space + \space \phi_0)$.
В этих уравнениях $x$ — координата тела, $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.
Циклическую частоту $\omega$ часто называют круговой частотой. Эта величина показывает, сколько колебаний совершает тело за время, равное $2 \pi$ секунд.
Круговая частота связана с периодом и частотой колебаний следующим образом:
$\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}$.
Математический маятник
Мы должны понимать, что наши опыты имеют определенную погрешность, ведь силы трения никто не отменял. Мы смогли получить всего лишь несколько гармонических колебаний, следующие колебания уже имели бы другой вид. Строго гармоническими мы могли бы считать колебания нитяного маятника с определенными условиями:
- колеблющийся груз представляет собой материальную точку;
- отсутствие сил трения (сопротивления воздуха);
- колебания происходят с малой амплитудой;
- расстояние между материальной точкой и точкой подвеса не изменяется.
Нитяной маятник, удовлетворяющий таким условиям, называется математическим маятником. Амплитуда его колебаний должна быть настолько мала, чтобы мы могли считать траекторию движения маятника прямолинейной. В большинстве практических задач амплитуда считается малой, если угол отклонения не превышает $8 \degree$ (рисунок 13).
Математический маятник — это материальная точка, колеблющаяся на не меняющемся со временем расстоянии от точки подвеса.
Обратите внимание, что математический маятник является абстрактной моделью, в реальности таких маятников не бывает.
Колебания, очень близкие к гармоническим, на практике мы можем получить, подвесив на легкой и малорастяжимой нити тяжелый (например, стальной) шарик. При этом длина этой нити должна быть намного больше диаметра шарика, колебания должны совершаться с малой амплитудой и при малом трении.
Изменение силы, ускорения и скорости гармонических колебаний
Когда тело совершает гармонические колебания, оказывается, что не только его координата изменяется по закону косинуса или синуса. Сила, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия, ускорение и скорость тоже будут изменяться по этим законам. Это связано с уже известными нам формулами и законами, в которых величины связаны попарно с прямо пропорциональной зависимостью.
Например, закон Гука: $F_x = −kx$. Сила $F_x$ прямо пропорционально связана с координатой (смещением) тела $x$. Координата изменяется по закону косинуса, значит, сила будет изменяться по такому же закону (рисунок 14).
Сила будет достигать максимальных значений по модулю, когда тело оказывается в крайних положениях, и равна нулю при прохождении положения равновесия.
Второй закон Ньютона связывает силу и ускорение: $a_x = \frac{F_x}{m}$. Здесь мы тоже видим прямую пропорциональность. Значит, и ускорение будет изменяться по закону косинуса (рисунок 15).
Скорость маятника прямо пропорционально связана с его циклической частотой и координатой. Если координата тела изменяется по закону косинуса, то скорость будет изменяться по закону синуса (рисунок 16).
В крайних положениях тела скорость равна нулю, а при прохождении положения равновесия достигает максимального значения.
Динамика колебаний математического маятника
Суммируя знания об изменении силы, ускорения и скорости, мы можем применить их к идеальной модели математического маятника (рисунок 17).
Часто задаваемые вопросы
Цель опыта: определить, по какому закону меняется координата колеблющегося пружинного маятника с течением времени и как выглядит график этой зависимости.
Порядок выполнения: в качестве груза пружинного маятника используем маленькую воронку с узким нижним отверстием. Под воронкой размещаем длинную бумажную ленту. Наполняем воронку песком, приводим маятник в движение. Равномерно перемещая ленту в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, получаем оставшуюся на ней волнообразную дорожку из песка. Каждая точка этой песочной линии соответствует положению груза в тот момент, когда он проходил над ней.
Результат опыта: на бумаге получаем кривую линию — косинусоиду. Проводим ось времени и ось координаты — получаем график зависимости координаты от времени.
Отрезок OA соответствует амплитуде колебаний маятника, отрезок OT — периоду колебаний.
Гармонические колебания — это периодические изменения во времени физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса.
С помощью этого опыта можно показать, что график зависимости координаты от времени для нитяного маятника представляет собой косинусоиду — его колебания являются гармоническими.
Математический маятник — это материальная точка, колеблющаяся на не меняющемся со временем расстоянии от точки подвеса.
Нитяной маятник должен представлять собой тяжелый шарик, подвешенный на легкой и малорастяжимой нити, длина которой значительно больше диаметра шарика. Колебания должны быть с малой амплитудой, трение должно быть мало.
Сила и ускорение достигают максимальных значений, когда тело находится в крайних положениях, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, равна нулю в крайних положениях и достигает максимального значение, когда тело проходит через положение равновесия.
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
Войти