Резонанс
Мы можем разделить все механические колебания на два основных вида: свободные и вынужденные (рисунок 1). Свободные колебания происходят за счет начального запаса энергии. А при вынужденных колебаниях система периодически получает дополнительное количество энергии. За счет этой дополнительной энергии восполняются потери на преодоление сил трения. Так, свободные колебания всегда являются затухающими — прекращаются через какое-то время. Вынужденные же колебания являются незатухающими. Они будут происходить до тех пор, пока на систему действует вынуждающая сила. И свободные, и вынужденные колебания могут быть гармоническими. В этом случае координата маятника, его скорость, ускорение и сила, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия, будут изменяться по закону синуса или косинуса.
Обладая этими знаниями, теперь мы можем познакомиться с важным и довольно распространенным явлением, напрямую связанным с колебательным движением, — резонансом.
Египетский мост
Начнем с интересного исторического примера.
В 1825–1826 годах в Петербурге под руководством инженеров Вильгельма фон Треттера и Василия Андреевича Христиановича был сооружен цепной висячий мост через реку Фонтанку. Мост назывался цепным, так как висел на тройных нитях металлических цепей. Его украшали фигуры четырех сфинксов и орнамент из иероглифов. Из-за этого и возникло название моста — Египетский.
Но в 1905 году произошла катастрофа — мост обрушился. 20 января по Египетскому мосту проходил маршевым шагом кавалерийский эскадрон. Когда часть полка находилась уже на противоположном берегу, рухнули пролеты и два взвода оказались в ледяной воде. В итоге люди и лошади были спасены, а мост через какое-то время восстановлен.
В чем физики увидели возможную причину обрушения? Строй солдат и лошадей, шагающих «в ногу», раскачал мост так, что колебания самого моста достигли невероятно большой амплитуды, что и привело к обрушению.
Амплитуда вынужденных колебаний и частота изменения вынуждающей силы
Почему же вынужденные колебания Египетского моста достигли такой большой амплитуды? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно разобраться, как зависит амплитуда вынужденных колебаний от вынуждающей силы.
Очевидно, что чем сильнее мы будем воздействовать на колебательную систему, тем больше будет амплитуда колебаний. Но амплитуда колебаний будет постепенно возрастать до тех пор, пока колебания не установятся. В этот момент частота собственных колебаний системы станет равна частоте изменений вынуждающей силы. Люди физически не могли так сильно воздействовать на мост, тем более учитывая, что обрушение произошло внезапно. Значит, дело может быть в другом — в частоте этой вынуждающей силы.
Опыт № 1
Оборудование
Исследуем наше предположение. Проведем простой опыт. Подвесим на нитях к закрепленному на штативах шнуру два маятника (рисунок 2). При этом маятник 1 у нас обладает большей массой, чем маятник 2. Также длина нити маятника 2 всегда будет оставаться неизменной. Длину нити маятника 1 мы можем менять, подтягивая за свободный конец.
Для чего нам изменять длину нитей? Как вы уже знаете, период и частота нитяного маятника не зависят ни от массы колеблющегося тела, ни от амплитуды колебаний. Частота будет зависеть от длины нити и ускорения свободного падения: $T = \frac{1}{\nu} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. Ускорение свободного падения будет оставаться постоянным, а изменяя длину нити, мы можем менять частоту колебаний.
То есть в ходе опыта частоту $\nu$ маятника 1 мы будем изменять, регулируя длину нитей. Частота маятника 2 тоже будет изменяться до определенного момента, но мы должны помнить, что он обладает собственной частотой $\nu_0$. То есть с этой частотой происходили бы его свободные колебания.
В ходе опыта маятники будут совершать колебания в плоскости, перпендикулярной изображению установки на рисунке 2, — от нас и к нам.
Ход выполнения
Отклоним маятник 1 от положения равновесия, чтобы он начал колебаться. Его свободные колебания вызовут колебания шнура. В результате этого на маятник 2 через точки подвеса будет действовать вынуждающая сила. Эта сила будет периодически меняться по модулю и направлению. Частота изменений этой вынуждающей силы будет совпадать с частотой маятника 1.
Под действием этой силы начинает колебаться маятник 2. Теперь он совершает вынужденные колебания (рисунок 3).
Теперь начнем уменьшать длину нити маятника 1. Мы увидим, что частота его колебаний увеличивается. При этом увеличивается и частота вынуждающей силы, которая действует на маятник 2. Мы будем наблюдать, как с уменьшением длины нити увеличивается амплитуда установившихся вынужденных колебаний маятника 2 (рисунок 4).
В момент, когда длины нитей маятников станут одинаковы, амплитуда колебаний маятника 2 достигает максимального значения (рисунок 5). В этот момент частота вынуждающей силы $\nu$ (частота колебаний маятника 1) совпадет с собственной частотой колебаний $\nu_0$ маятника 2. То есть она совпадет с частотой, с которой маятник 2 совершал бы свободные колебания. При этом маятники будут колебаться в одинаковых фазах.
Если продолжить уменьшать длину нити маятника 1, то частота вынуждающей силы станет больше собственной частоты маятника 2. Амплитуда колебаний маятника 2 будет уменьшаться (рисунок 6).
Опыт № 2
Рассмотрим еще один похожий опыт. Теперь мы подвесим на шнур 4 маятника одинаковой массы (рисунок 7). При этом длина нити маятника 1 и длина нити маятника 3 будут одинаковы.
Если мы выведем маятник 3 из положения равновесия, он начинает совершать свободные колебания. Перекладина тоже начинает колебаться. При этом на остальные маятники начинает действовать вынуждающая сила. В итоге все три маятника приходят в движение, совершая вынужденные колебания.
Мы увидим, что маятник 1 будет колебаться с амплитудой значительно большей, чем амплитуды маятников 2 и 4 (рисунок 8).
И снова мы видим, что максимальную амплитуду имеет маятник, длина нити которого совпадает с длиной нити задающего колебания маятника 3. То есть частота вынужденных колебаний маятника 1 совпадает с частотой свободных колебаний маятника 3.
Определение резонанса
На основании рассмотренных опытов мы можем сделать вывод, который и будет являться определением такого явления, как резонанс.
Резонанс — это явление, при котором амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает максимального значения в момент, когда частота $\nu$ вынуждающей силы становится равной собственной частоте $\nu_0$ колебательной системы.
Обратите внимание, что понятие резонанса применимо только к вынужденным колебаниям.
Причина достижения максимальной амплитуды
Почему же амплитуда установившихся колебаний достигает своего максимального значения именно при совпадении частот собственных колебаний и вынуждающей силы?
Дело в том, что если эти величины совпадают ($\nu = \nu_0$), то направление вынуждающей силы и направление движения колеблющегося маятника тоже совпадают друг с другом в любой момент времени. Это является лучшим условием для пополнения энергии системы за счет работы вынуждающей силы.
Например, чтобы хорошо раскачать качели, мы толкаем их таким образом, чтобы направление силы совпадало с направлением движения качелей (рисунок 9). Согласитесь, если бы их толкали в каком-то другом направлении, нормально их раскачать точно бы не получилось.
Резонанс и Египетский мост
Теперь, используя понятие резонанса, мы можем выдвинуть версию о причине обрушения Египетского моста.
Мост раскачался до такой большой амплитуды, потому что частота ударов копыт идущих «в ногу» лошадей случайно совпала с собственной частотой колебаний этого моста. То есть частота идущих и была в этом случае той самой частотой периодически действующей на мост вынуждающей силы. Если бы перед входом на мост была отдана команда идти «не в ногу», то авария, скорее всего, не произошла бы.
График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы
На рисунке 10 представлен график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Из графика видно, что резкое увеличение амплитуды приходится на момент, когда частота вынуждающей силы совпадает по значению с собственной частотой $\nu_0$ колебательной системы.
Роль резонанса в окружающем мире
На примере Египетского моста мы увидели, что резонанс может сыграть негативную роль. Но это не единственная сторона его проявления. Резонанс порой может быть и полезным.
Полезная роль
Использование резонанса отлично решает практическую задачу, когда нам нужно с помощью малой силы получить большое увеличение амплитуды колебаний.
Например, если нужно раскачать тяжелый язык колокола (рисунок 11). Если мы будет действовать на него с частотой, равной собственной частоте языка, то раскачаем его до максимальной амплитуды достаточно быстро и просто. Если не использовать явление резонанса, то до такой амплитуды вообще не получится его раскачать.
Явление резонанса встречается не только в механике, но и в электричестве, оптике, акустике и др. Его используют в устройстве измерительных приборов, в элементах настройки и электрических фильтрах. Также явление резонанса лежит в основе устройства большинства музыкальных инструментов (рояля, скрипки, флейты и т. д.), что позволяет получить более громкий звук (рисунок 12).
Явление резонанса используется в работе аппаратов МРТ, что позволяет получить изображения внутренних органов и тканей. Резонансно-частотная терапия используется для лечения — она приводит к разрушению нежелательных микроорганизмов на клеточном уровне.
Вредная роль
К негативным проявлениям резонанса относят те случаи, когда нам совсем не нужно резкое увеличение амплитуды колебаний тела, так как оно может привести к поломкам или разрушениям. Так и было в случае обрушения мостов. Но знания об этом явлении, помогают человечеству проектировать свои изобретения таким образом, чтобы избежать негативного проявления резонанса.
Например, при проектировании самолетов учитывают тот факт, что частота колебаний работающих двигателей не должна совпадать с собственной частотой колебаний корпуса самолета. В ином случае самолет бы просто рассыпался в воздухе.
Если частота колебаний корабля совпадает с частотой морских волн, то качка становится очень сильной. В этом случае капитан корабля меняет курс или скорость судна.
Железнодорожный вагон может начать очень сильно раскачиваться, если частота его собственных колебаний на рессорах случайно совпадает с частотой ударов колес на стыках рельсов (рисунок 13). В этом случае опять же помогает изменение скорости движения.
Упражнения
Упражнение № 1
Маятник 3 (рисунок 14) совершает свободные колебания.
а) Какие колебания — свободные или вынужденные — будут совершать при этом маятники 1, 2 и 4?
б) Каковы собственные частоты маятников 1, 2 и 4 по сравнению с частотой колебаний маятника 3?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Частота колебаний нитяного маятника связана с длиной нити формулой $\frac{1}{\nu} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. Чем длиннее нить, тем меньше частота колебаний. И, наоборот, чем короче нить, тем больше частота колебаний.
а) Маятники 1, 2 и 4 будут совершать вынужденные колебания. Вследствие свободных колебаний маятника 1 раскачивается перекладина, и на маятники 1, 2 и 4 начинает действовать вынуждающая сила.
б) Собственная частота маятника 1 равна частоте маятника 3, так как их нити имеют одинаковую длину.
Частота маятника 2 больше частоты маятника 3, так как длина нити маятника 2 меньше длины нити маятника 3.
Длина нити маятника 4 больше длины нити маятника 3. Поэтому частота собственных колебаний маятника 4 будет меньше частоты колебаний маятника 3.
Упражнение № 2
Вода, которую мальчик несет в ведре, начинает сильно расплескиваться. Мальчик меняет темп ходьбы (или просто «сбивает ногу»), и расплескивание прекращается. Почему так происходит?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Вода начинает расплескиваться, когда частота колебаний мальчика при ходьбе совпадает с собственной частотой колебания ведра (и воды вместе с ним). Мы наблюдаем явление резонанса: амплитуда колебаний воды в ведре резко увеличивается и она начинает проливаться.
Когда мальчик меняет темп ходьбы, меняется частота его колебаний. Теперь она не совпадает с собственной частотой колебаний ведра. Явление резонанса при этом исчезает, амплитуда колебаний ведра и воды в нем уменьшается, вода больше не расплескивается.
Упражнение № 3
Собственная частота качелей равна $0.5 \space Гц$. Через какие промежутки времени нужно подталкивать их, чтобы раскачать как можно сильнее, действуя относительно небольшой силой?
Чтобы достигнуть резонанса, нужно чтобы частота вынуждающей силы (толкания качелей) совпала с собственной частотой качелей. Значит, частота воздействия будет также равна $0.5 \space Гц$. Воздействовать на качели нужно каждое колебание. Колебания повторяются через период. Значит, нам нужно найти значение этого периода.
Дано:
$\nu = 0.5 \space Гц$
$t — ?$
Посмотреть решение ответ
Скрыть
Решение:
По определению $T = \frac{1}{\nu}$.
Рассчитаем этот период:
$t = T = \frac{1}{0.5 \space Гц} = 2 \space с$.
Ответ: $t = 2 \space с$.
Часто задаваемые вопросы
Цель опыта: выяснить, как зависит амплитуда вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Ход проведения: маятник 2 имеет фиксированную длину нити, а длину нити маятника 1 мы можем изменять. Маятник 1 начинает совершать свободные колебания. Это вызывает колебания перекладины, на маятник 2 начинает действовать вынуждающая сила, и он начинает совершать вынужденные колебания. Уменьшая длину нити маятника, мы изменяем частоту его колебаний и, соответственно, частоту вынуждающей силы. В момент, когда длины нитей маятников станут одинаковы, частота колебаний маятника 1 совпадает с собственной частотой колебаний маятника 2. Маятники будут колебаться в одинаковых фазах. Маятник 2 будет колебаться с максимальной амплитудой. Если продолжить уменьшать длину нити маятника 1, то амплитуда колебаний маятника 2 будет уменьшаться.
Резонанс — это явление, при котором амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает максимального значения в момент, когда частота $\nu$ вынуждающей силы становится равной собственной частоте $\nu_0$ колебательной системы.
Маятник 1 колеблется в резонанс с маятником 3, потому что их нити имеют одинаковую длину.
Понятие резонанса применимо только к вынужденным колебаниям.
Резонанс может быть полезным в случаях раскачивания качелей или тяжелого языка большого колокола, при использовании в устройстве музыкальных инструментов.
Вредное проявление резонанса наблюдается в чрезмерном раскачивании железнодорожных вагонов, обрушении мостов, обрыве проводов, сильной качке судна на морских волнах.
Хотите оставить комментарий?
Войти