Величины, характеризующие колебательное движение
На прошлом уроке мы познакомились с новым видом неравномерного движения — колебательным движением. Одно из его главных свойств — это периодичность. То есть механические колебания повторяются через равные промежутки времени, тело многократно и в разных направлениях проходит положение равновесия.
Частным случаем такого движения являются свободные колебания, которые происходят за счет первоначального запаса энергии. При этом в колебательной системе всегда будет возникать сила, возвращающая эту систему в положение устойчивого равновесия (рисунок 1).
Чтобы рассматривать колебательное движение более детально, нам с вами понадобятся новые величины, характеризующие его: амплитуда, частота, период и фаза колебаний. На данном уроке мы дадим определения этим физическим величинам и научимся их рассчитывать.
Амплитуда колебаний
Начнем со сравнения колебаний двух одинаковых маятников (рисунок 2). Мы видим, что один из них (рисунок 2, а) колеблется с большим размахом, чем второй (рисунок 2, б). То есть шарик первого маятника отклоняется в сторону больше.
В этом случае мы говорим, что амплитуда (рисунок 3) колебания первого маятника больше амплитуды колебаний второго.
Амплитуда колебаний — это наибольшее по модулю отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Обозначается амплитуда буквой $A$. Единицей ее измерения в СИ является метр.
Часто амплитуду колебаний путают с размахом или смещением (рисунок 4).
- Размахом обычно называют расстояние, которое колеблющееся тело совершает, проходя из одного крайнего положения в другое. То есть размах будет являться двойной амплитудой.
- Смещение колеблющегося тела — это его текущее отклонение от положения равновесия в определенный момент времени. Смещение может быть равным амплитуде, а может и не быть равным. Это зависит от того, в какой момент времени мы его рассматриваем.
Амплитуда малых колебаний
В курсе физики 9 класса мы с вами будем рассматривать колебания, происходящие с малыми амплитудами. Это позволит нам значительно упростить расчеты.
Дело в том, что при малых амплитудах (рисунок 5) мы можем считать длину дуги AB равной длине отрезка AB. Что еще лучше, мы можем считать длину дуги AB равной даже длине полухорды CB. Это приближение дает нам возможность принимать за амплитуду колебаний нитяного маятника как саму дугу, так и любой из названных нами выше отрезков.
Например, мы можем смело говорить, что амплитуда колебаний нитяного маятника, изображенного на рисунке 6, равна длине отрезка OA или длине отрезка OB.
С амплитудой колебаний пружинных маятников дело обстоит проще, ведь траекторией их движения и так является прямая линия. Поэтому амплитуда колебаний маятника, изображенного на рисунке 7, будет равна длине отрезка OA или OB.
Амплитуда и полное колебание
На прошлом уроке мы говорили о том, что за одно полное колебание тело проходит дважды через положение равновесия (рисунок 8).
Теперь мы можем сказать, что тело совершает одно полное колебание, когда проходит путь, равный четырем амплитудам, от начала колебаний (рисунок 9).
Полное колебание шарика:
начинает двигаться из точки B, проходит через точку O, достигает точки C. Начинает двигаться в обратном направлении, проходит снова через точку O и оказывается в точке B.
Строго говоря, мы можем рассматривать полное колебание, начиная вообще из любой точки траектории колеблющегося тела, но для удобства рассмотрения за начало мы берем точку максимального отклонения.
Период колебаний
Колебательное движение периодично, оно повторяется. Это его свойство описывает физическая величина, называемая периодом колебаний.
Период колебаний — это промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание.
Обозначается период колебаний буквой $T$ и в СИ измеряется в секундах.
Рассчитать период колебаний можно по формуле:
$T = \frac{t}{n}$,
где $n$ — число полных колебаний, $t$ — время, за которые эти колебания совершены.
Например, если нитяной маятник за время, равное $10 \space с$, совершил 5 полных колебаний, то период будет равен $2 \space с$ ($T = \frac{10 \space с}{5} = 2 \space с$). То есть маятник совершает одно полное колебание за $2 \space с$.
Частота колебаний
Следующая физическая величина — частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний в единицу времени.
Обозначается частота колебаний буквой $\nu$ (читается как «ню»).
Рассчитать частоту колебаний можно по формуле:
$\nu = \frac{n}{t}$,
где $n$ — число полных колебаний, $t$ — время, за которое эти колебания совершены.
Из формулы мы видим, что единицей измерения частоты будет $\frac{1}{с}$ или $с^{−1}$ (одно колебание в секунду). Эта единица названа в честь известного немецкого ученого Генриха Герца и называется герцем ($Гц$).
$1 \space Гц = 1 \frac{1}{с} = 1 \space с^{−1}$.
Например, если маятник совершает 5 полных колебаний за время, равное $10 \space с$, то его частота будет равна $0.2 \space Гц$ ($\nu = \frac{5}{10 \space с} = 0.2 \space Гц$).
Связь периода и частоты колебаний
Период колебаний и их частота тесно связаны между собой.
$T = \frac{1}{\nu}$ или $\nu = \frac{1}{T}$.
Например, маятник за одну секунду совершает два полных колебания. Значит, частота его колебаний будет составлять $2 \space Гц$. Теперь период этих колебаний можно рассчитать, используя определение ($T = \frac{t}{n}$), но проще это сделать через частоту:
$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{2 \space Гц} = \frac{1}{2 \frac{1}{с}} = 0.5 \space с$.
Связь периода и частоты с другими величинами
Для нитяного маятника
Опыты показывают, что период и частота колебаний нитяного маятника не зависят от массы колеблющегося тела.
Так же период и частота не зависят от амплитуды колебаний.
Зависят эти величины от длины нити (рисунок 10) и ускорения свободного падения (рисунок 11).
$T = \frac{1}{\nu} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,
где $l$ — длина нити, $g$ — ускорение свободного падения.
Чем больше длина нити маятника, тем больше период колебаний и меньше частота.
Ускорение свободного падения на полюсах нашей планеты больше, чем на экваторе. Один и тот же нитяной маятник в разных точках Земли может иметь разные значения периода и частоты колебаний.
Для пружинного маятника
По аналогии с нитяным маятником можно предположить, что период и частота его колебаний будут зависеть от длины пружины. Но опыты показывают, что это совсем не так. Здесь для нас будет иметь значение масса колеблющегося тела, прикрепленного к пружине (рисунок 12), и жесткость самой пружины.
$T = \frac{1}{\nu} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$,
где $m$ — масса колеблющегося тела, $k$ — жесткость пружины.
Чем больше масса колеблющегося тела пружинного маятника, тем больше период колебаний и меньше частота.
Собственные колебания и собственная частота
Также вы можете встретить такие понятия, как собственные колебания и собственная частота.
Собственные колебания — это свободные колебания, происходящие при отсутствии трения и сопротивления воздуха.
Частота таких колебаний называется собственной частотой колебательной системы.
Любая колебательная система имеет собственную частоту, которая будет зависеть от параметров именно этой системы. Так, для нитяного маятника собственная частота зависит от длины нити и ускорения свободного падения, а для пружинного — от массы груза и жесткости пружины.
Фазы колебаний
Возьмем два одинаковых нитяных маятника и рассмотрим их колебания в определенный момент времени (рисунок 13).
Мы видим, что в один и тот же момент времени первый маятник у нас двигается из крайнего левого положения вправо, а правый маятник, наоборот, двигается из крайнего правого положения влево.
Длины нитей маятников равны, поэтому маятники двигаются с одинаковой частотой (или периодом). Амплитуда тоже одинаковая. Но различие в их движении очевидно: в любой момент времени их скорости направлены в противоположные стороны. В этом случае мы говорим, что колебания маятников происходят в противоположных фазах.
Теперь взглянем на маятники, изображенные на рисунке 14. Они колеблются с одинаковыми частотами.
Но в этом случае их скорости в любой момент времени направлены одинаково. Мы говорим, что они колеблются в одинаковых фазах.
И еще два маятника представлены на рисунке 15. В момент времени, показанный слева, скорости обоих маятников направлены вправо. Но через какое-то время скорости уже будут направлены в разные стороны. В этом случае мы говорим, что маятники колеблются с определенной разностью фаз.
Фаза колебаний используется не только для сравнения разных колебательных систем, но и для описания колебаний в одной системе. Более подробно мы познакомимся с этой величиной в курсах физики старших классов.
Упражнения
Упражнение № 1
На рисунке 16 изображены пары колеблющихся маятников. В каких случаях два маятника колеблются: в одинаковых фазах по отношению друг к другу; в противоположных фазах?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Два маятника колеблются в одинаковых фазах по отношению друг к другу в случае б. В противоположных фазах — в случаях а, в и г.
В случаях д и е маятники колеблются с разностью фаз.
Упражнение № 2
Частота колебаний стометрового железнодорожного моста равна $2 \space Гц$. Определите период этих колебаний.
Дано:
$\nu = 2 \space Гц$
$T — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Частота и период колебаний связаны между собой формулой:
$T = \frac{1}{\nu}$.
Рассчитаем период колебаний моста:
$T = \frac{1}{2 \space Гц} = \frac{1}{2 \frac{1}{с}} = 0.5 \space с$.
Ответ: $T = 0.5 \space с$.
Упражнение № 3
Период вертикальных колебаний железнодорожного вагона равен $0.5 \space с$. Определите частоту колебаний вагона.
Дано:
$T = 0.5 \space с$
$\nu — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Частота и период колебаний связаны между собой формулой:
$\nu = \frac{1}{T}$.
Рассчитаем частоту колебаний вагона:
$\nu = \frac{1}{0.5 \space с} = 2 \space Гц$.
Ответ: $\nu = 2 \space Гц$.
Упражнение № 4
Игла швейной машины делает 600 полных колебаний в минуту. Какова частота колебаний иглы?
Дано:
$t = 1 \space мин$
$n = 600$
СИ:
$t = 60 \space с$
$\nu — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Частота колебаний по определению:
$\nu = \frac{n}{t}$.
Рассчитаем частоту колебаний иглы:
$\nu = \frac{600}{60 \space с} = 10 \space Гц$.
Ответ: $\nu = 10 \space Гц$.
Упражнение № 5
Амплитуда колебаний груза на пружине равна $3 \space см$. Какой путь от положения равновесия пройдет груз за время, равное $\frac{1}{4} T$, $\frac{1}{2} T$,$\frac{3}{4} T$, $T$?
Дано:
$A = 3 \space см$
$t_1 = \frac{1}{4} T$
$t_2 = \frac{1}{2} T$
$t_3 = \frac{3}{4} T$
$t_4 = T$
$s_1-?$, $s_2-?$, $s_3 -?$, $s_4-?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Период — это время одного полного колебания. При этом за одно полное колебание груз проходит путь, равный четырем амплитудам. То есть за период $T$ груз проходит путь, равный $4 \cdot A$. Задачу можно решить, сравнивая заданное время и период, а можно использовать вычисления. Используем второй способ, чтобы получить формулу, которая будет полезна в дальнейшем.
Итак, путь, который пройдет груз, совершивший $n$ колебаний, будет равен:
$s = 4An$.
Выразим число колебаний из определения периода:
$T = \frac{t}{n}$,
$n = \frac{t}{T}$.
Тогда путь, пройденный грузом за какой-то промежуток времени:
$s = \frac{4At}{T}$.
$s_1 = \frac{4At_1}{T}$,
$s_1 = \frac{4 \cdot 3 \space см \cdot \frac{T}{4}}{T} = 3 \space см$.
$s_2 = \frac{4At_2}{T}$,
$s_2 = \frac{4 \cdot 3 \space см \cdot \frac{T}{2}}{T} = 6 \space см$.
$s_3 = \frac{4At_3}{T}$,
$s_3 = \frac{4 \cdot 3 \space см \cdot \frac{3T}{4}}{T} = 9 \space см$.
$s_4 = \frac{4At_4}{T}$,
$s_4 = \frac{4 \cdot 3 \space см \cdot T}{T} = 12 \space см$.
Ответ: $s_1 = 3 \space см$, $s_2 = 6 \space см$, $s_3 = 9 \space см$, $s_4 = 12 \space см$.
Упражнение № 6
Амплитуда колебаний груза на пружине равна $10 \space см$, частота $0.5 \space Гц$. Какой путь пройдет груз за $2 \space с$?
Дано:
$A = 10 \space см$
$\nu = 0.5 \space Гц$
$t = 2 \space с$
СИ:
$A = 0.1 \space м$
$s — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Используем формулу для пройденного грузом пути из предыдущей задачи:
$s = \frac{4At}{T}$.
Период выразим через частоту:
$T = \frac{1}{\nu}$,
$s = \frac{4At}{\frac{1}{\nu}} = 4At \nu$.
Рассчитаем путь, пройденный грузом:
$s = 4 \cdot 0.1 \space м \cdot 2 \space с \cdot 0.5 \space Гц = 0.4 \space м$.
Ответ: $s = 0.4 \space м$.
Задание
Спланируйте эксперимент с участием магнитных сил, имитирующих увеличение ускорения свободного падения и действующих на колеблющийся нитяной маятник. Проведите этот эксперимент и сделайте вывод о качественной зависимости периода колебаний от ускорения свободного падения.
Посмотреть пример эксперимента
Скрыть
Для эксперимента нам понадобится нитяной маятник с железным шариком и магнит (рисунок 17).
Сначала без магнита отклоним шарик в сторону от положения равновесия на величину $A$ и отпустим его (рисунок 17, а). Определим период его колебаний.
Вернем маятник в состояние равновесия. Подложим магнит под железный шарик. Снова отклоняем шарик в сторону от положения равновесия на расстояние $A$ и отпускаем его (рисунок 17, б). Измеряем период колебаний в этом случае.
Если сравнить полученные периоды, то будет очевидна разница. Во втором случае с магнитом период колебаний будет меньше, чем в первом случае без магнита.
Магнитные силы создают дополнительное притяжение шарика к магниту, появляется добавочное ускорение. Таким образом мы имитировали увеличение ускорения свободного падения. Значит, чем больше ускорение свободного падения, тем меньше период колебаний нитяного маятника.
Часто задаваемые вопросы
Амплитуда колебаний — это максимальное по модулю отклонение колеблющегося тела от положения равновесия; измеряется в метрах ($м$).
Период колебаний — это промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание; измеряется в секундах ($с$).
Частота колебаний — это число колебаний в единицу времени; измеряется в герцах ($Гц$).
$T = \frac{1}{\nu}$ или $\nu = \frac{1}{T}$.
Чем больше длина нити маятника, тем больше период колебаний и меньше частота: $T = \frac{1}{\nu} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
Собственные колебания — это свободные колебания, происходящие при отсутствии трения и сопротивления воздуха.
Собственная частота колебательной системы — это частота свободных колебаний, происходящих в отсутствии трения и сопротивления воздуха.
Хотите оставить комментарий?
Войти