КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах
Закон всемирного тяготения говорит нам о том, что два любых тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален массе каждого из них и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ (рисунок 1). Для нас, людей, живущих на планете Земля, наибольшее значение имеет притяжение именно к нашей планете. Мы знаем, что на всех нас действует сила тяжести: $F_{тяж} = mg$.
Притяжение тел к Земле является всего лишь одним из случаев всемирного тяготения. Логично предположить, что для всех тел на нашей планете сила тяжести и сила гравитационного взаимодействия — это одно и то же. Но в действительности это не совсем так.
На данном уроке мы рассмотрим, как закон всемирного тяготения связан с силой тяжести и ускорением свободного падения, узнаем от чего зависят эти величины и получим формулы их расчета для тел, находящихся на любых других планетах и небесных телах.
Сила тяжести и закон всемирного тяготения
Когда мы говорим о силе тяжести, мы говорим о той силе, которая действует на любое тело со стороны Земли и сообщает ему ускорение свободного падения:
$\vec F_{тяж} = m \vec g$.
Но эта формула справедлива лишь в инерциальной системе отсчета, которую мы можем выбрать, когда говорим о силе тяжести. А когда мы начинаем говорить о силе тяготения (гравитационной силе) и предмете на нашей планете, то такая система уже не будет инерциальной (рисунок 2). Земля вращается вокруг своей оси вместе со всеми телами, которые находятся на ней, и двигается вокруг Солнца криволинейно — это уже неинерциальная система отсчета. Значит, строго говоря, сила тяжести не будет равной силе тяготения.
Но, как показывают реальные вычисления и измерения, разница между этими силами оказывается уж очень несущественной. С небольшим допущением можно говорить, что сила тяжести, действующая на тело вблизи поверхности Земли, примерно равна силе тяготения:
$F_{тяж} \approx F$.
Подставим в это равенство определение силы тяжести через закон всемирного тяготения:
$F_{тяж} \approx G \frac{m_1 M_з}{{R_з}^2}$,
где $M_з$ — это масса Земли, а $R_з$ — ее радиус.
Если же тело находится не на поверхности Земли, а на каком-то расстоянии от нее, то наша формула примет следующий вид:
$F_{тяж} \approx G \frac{m_1 M_з}{{(R_з \space + \space h)}^2}$,
где $h$ — высота над поверхностью Земли, на которой находится тело.
Эти формулы будут справедливы и для других планет, и для их спутников. Зная массу и радиус небесного тела, мы сможем рассчитать силу тяжести (рисунок 3).
Ускорение свободного падения и закон всемирного тяготения
Продолжим использовать допущение, что $F_{тяж} \approx F$. Подставим сюда определение силы тяжести и закон всемирного тяготения:
$mg \approx G \frac{m_1 M_з}{{R_з}^2}$.
Выразим отсюда ускорение свободного падения:
$g \approx G \frac{M_з}{{R_з}^2}$.
Если тело будет находиться на какой-то высоте $h$ над поверхностью Земли, то формула примет вид:
$g \approx G \frac{M_з}{{(R_з \space + \space h)}^2}$.
Из этих формул ясно видно, что ускорение свободного падения тела, которое находится на поверхности Земли или вблизи нее, зависит от радиуса Земли и высоты, на которую поднято тело. Получается, что чем выше находится тело, тем меньше ускорение свободного падения и сила тяжести, действующая на это тело.
С увеличением высоты тела над поверхностью Земли действующая на него сила тяжести уменьшается.
Но так как высота подъема тела обычно пренебрежительно мала по сравнению с радиусом нашей планеты, уменьшение это будет крайне невелико.
Если $h \ll R_з$, то ускорение свободного падения $g$ считают постоянным.
Если $h \approx R_з$ или $h > R_з$, то уменьшением ускорения свободного падения $g$ пренебрегать нельзя.
Например, если альпинист весом $80 \space кг$ покоряет вершину высотой в $3 \space км$, то сила тяжести, действующая на него, уменьшится всего на $0.5 \space Н$ (рисунок 4). Это составит около $0.06 \%$ от величины силы тяжести у подножия горы. Поэтому при расчете силы тяжести на относительно небольших высотах мы считаем ускорение свободного падения равным $9.8 \frac{м}{с^2}$.
Также мы знаем, что Земля — не идеальный шар. Она немного сплюснута у полюсов. Ее радиус на экваторе будет больше, чем на Южном или Северном полюсах (рисунок 5). По этой причине ускорение свободного падения на полюсах ($g \approx 9.83 \frac{м}{с^2}$) больше, чем на экваторе ($g \approx 9.78 \frac{м}{с^2}$).
Гравиметрическая разведка
Но порой измерения показывают разные значения ускорения свободного падения на одной и той же широте при прочих равных условиях. По таким отклонениям от нормального значения $g$ мы можем судить о наличии полезных ископаемых.
Например, нормальное значение ускорения свободного падения на какой-то широте составляет $9.80 \frac{м}{с^2}$. Но при смещении на запад или восток измерения дают нам результат в $9.81 \frac{м}{с^2}$. Это означает, что мы наткнулись на место с залежами тяжелых ископаемых. А если бы значение $g$ уменьшилось, то это бы сказало нам о наличии пустот или залежей легких солей. Обычно с залежами таких солей рядом находятся залежи нефти. Данный способ исследований называют гравиметрической разведкой.
Ускорение свободного падения на разных небесных телах
Ускорение свободного падения на других небесных телах будет иметь другое значение, а не привычное нам $9.8 \frac{м}{с^2}$. Мы можем рассчитать его, используя формулы $g \approx G \frac{M}{{R}^2}$ и $g \approx G \frac{M}{{R \space + \space h}^2}$, где $M$ и $R$ — масса и радиус небесного тела соответственно.
Для наглядного примера рассчитаем ускорение свободного падения для тела, находящегося на поверхности Луны, по формуле: $g_л \approx G \frac{M_л}{{R_л}^2}$.
Масса Луны $M_л$ составляет $7.35 \cdot 10^{22} \space кг$, а ее радиус $R_л$ — $1.74 \cdot 10^6 \space м$. Подставим эти значения в формулу:
$g_л \approx 6.67 \cdot 10^{−11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{7.35 \cdot 10^{22} \space кг}{{1.74 \cdot 10^6 \space м}^2} \approx 16.19 \cdot 10^{−1} \frac{Н}{кг} \approx 1.62 \frac{м}{с^2}$.
Сравним это значение с ускорением свободного падения на Земле:
$\frac{g_з}{g_л} = \frac{9.81 \frac{м}{с^2}}{1.62 \frac{м}{с^2}} \approx 6$.
Получается, что ускорение свободного падения на Земле приблизительно в 6 раз больше ускорения свободного падения на Луне. Значит, сила тяжести на Земле (или сила притяжения к Земле) также будет в 6 раз больше. Например, человек массой $70 \space кг$ будет притягиваться к Земле с силой в $686 \space Н$, а к Луне — с силой в $114 \space Н$.
В таблице 1 для ознакомления представлены значения ускорения свободного падения на поверхностях некоторых небесных тел.
| Небесное тело | $g$, $\frac{м}{с^2}$ | Небесное тело | $g$, $\frac{м}{с^2}$ |
| Земля | 9.81 | Уран | 8.86 |
| Плутон | 0.62 | Венера | 8.88 |
| Эрида | 0.82 | Сатурн | 10.44 |
| Луна | 1.62 | Нептун | 11.09 |
| Меркурий | 3.70 | Юпитер | 24.79 |
| Марс | 3.86 | Солнце | 273.1 |
Упражнения
Упражнение № 1
Чему равна сила тяжести, действующая на тело массой $2.5 \space кг$; $600 \space г$; $1.2 \space т$; $50 \space т$? Принять $g = 10 \frac{м}{с^2}$.
Дано:
$m_1 = 2.5 \space кг$
$m_2 = 600 \space г$
$m_3 = 1.2 \space т$
$m_4 = 50 \space т$
$g = 10 \frac{м}{с^2}$
СИ:
$m_2 = 0.6 \space кг$
$m_3 = 1200 \space кг$
$m_4 = 5 \cdot 10^4 \space кг$
$F_{тяж1} — ?$
$F_{тяж2} — ?$
$F_{тяж3} — ?$
$F_{тяж4} — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Используя значения масс, переведенных в единицы измерения СИ, рассчитаем сиду тяжести, действующую на каждое тело.
$F_{тяж1} = m_1 g$,
$F_{тяж1} = 2.5 \space кг \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 25 \space Н$.
$F_{тяж2} = m_2 g$,
$F_{тяж2} = 0.6 \space кг \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 6 \space Н$.
$F_{тяж3} = m_3 g$,
$F_{тяж3} = 1200 \space кг \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 12 \space 000 \space Н = 12 \space кН$.
$F_{тяж4} = m_4 g$,
$F_{тяж4} = 5 \cdot 10^4 \space кг \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 5 \cdot 10^5 \space Н = 500 \space кН$.
Ответ: $F_{тяж1} = 25 \space Н$, $F_{тяж2} = 6 \space Н$, $F_{тяж3} = 12 \space кН$, $F_{тяж4} = 500 \space кН$.
Упражнение № 2
Определите приблизительно силу тяжести, действующую на человека массой $64 \space кг$ при $g = 10 \frac{м}{с^2}$. Притягивается ли земной шар к этому человеку? Если да, то чему приблизительно равна эта сила?
Дано:
$m = 64 \space кг$
$g = 10 \frac{м}{с^2}$
$F_{тяж} — ?$
$F_з — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем силу тяжести, действующую на человека:
$F_{тяж} = mg$,
$F_{тяж} = 64 \space кг \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 640 \space Н$.
Сила тяжести приблизительно равна силе тяготения, с которой Земля притягивает человека: $F \approx F_{тяж}$. По третьему закону Ньютона Земля будет притягиваться к этому человеку с такой же по модулю силой: $F_з = F_{тяж} = 640 \space Н$.
Ответ: $F_{тяж} = 640 \space Н$, $F_з = 640 \space Н$.
Упражнение № 3
Первый советский искусственный спутник Земли был запущен 4 октября 1957 года. Определите массу этого спутника, если известно, что на Земле на него действовала сила тяжести, равная $819.3 \space Н$.
Дано:
$F_{тяж} = 819.3 \space Н$
$g = 9.8 \frac {Н}{кг}$
$m — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Обратите внимание на единицы измерения ускорения свободного падения. Запомните, что $\frac{м}{с^2}$ и $\frac{Н}{кг}$ эквивалентны друг другу.
Выразим массу спутника из формулы для силы тяжести и рассчитаем ее:
$F_{тяж} = mg$,
$m = \frac{F_{тяж}}{g}$,
$m = \frac{819.3 \space Н}{9.8 \frac {Н}{кг}} \approx 83.6 \space кг$.
Ответ: $m \approx 83.6 \space кг$.
Упражнение № 4
Ракета пролетает на расстоянии $5000 \space км$ от поверхности Земли. Можно ли рассчитывать действующую на космическую ракету силу тяжести, принимая $g = 9.8 \frac{м}{с^2}$? Известно, что радиус Земли приблизительно равен $6400 \space км$. Ответ поясните.
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Нельзя, так как расстояние от ракеты до поверхности Земли сравнимо с радиусом Земли. В этом случае мы не можем пренебрегать изменением ускорения свободного падения, которое на такой высоте будет меньше, чем вблизи поверхности Земли.
Упражнение № 5
Ястреб в течение некоторого времени может парить на одной и той же высоте над Землей. Значит ли это, что на него не действует сила тяжести? Что произойдет с ястребом, если он сложит крылья?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Сила тяжести действует на ястреба всегда.
Когда ястреб парит на одной и той же высоте, сила тяжести уравновешивается силой восходящих потоков воздуха, которые удерживают птицу в таком состоянии. Если ястреб сложит крылья, то силу тяжести перестанет что-либо уравновешивать, и птица под ее действием начнет пикировать вниз.
Упражнение № 6
С Земли стартует космическая ракета. На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести ракеты будет в 4 раза меньше, чем перед стартом; в 9 раз меньше, чем перед стартом?
Дано:
$\frac{F_{тяж1}}{F_{тяж2}} = 4$
$\frac{F_{тяж1}}{F_{тяж3}} = 9$
$h_1 — ?$
$h_2 — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Используем приближение, что сила тяжести равна силе тяготения: $F_{тяж} = F$.
По закону всемирного тяготения на ракету перед стартом будет действовать сила:
$F_{тяж1} = F_1 = G \frac{m M_з}{{R_з}^2}$.
Сила, которая будет действовать на ракету на высоте $h_1$ от поверхности Земли:
$F_{тяж2} = F_2 = G \frac{m M_з}{{(R_з \space + \space h_1)}^2}$.
Подставим данные формулы в соотношение $\frac{F_{тяж1}}{F_{тяж2}} = 4$:
$\frac{F_{тяж1}}{F_{тяж2}} = \frac{G \frac{m M_з}{{R_з}^2}}{G \frac{m M_з}{{(R_з \space + \space h_1)}^2}} = \frac{{(R_з \space + \space h_1)}^2}{{R_з}^2} = 4$.
Выразим отсюда ${(R_з \space + \space h_1)}^2$, а затем и $h_1$:
${(R_з \space + \space h_1)}^2 = 4{R_з}^2$,
$R_з \space + \space h_1 = \sqrt{4{R_з}^2}$,
$R_з \space + \space h_1 = 2R_з$,
$h_1 = 2R_з \space − \space R_з$,
$h_1 = R_з$.
Сила тяжести ракеты будет в 4 раза меньше, чем перед стартом на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу: $h_1 = R_з$.
Теперь проведем такие же вычисления для второй ситуации. Сила, которая будет действовать на ракету на высоте $h_2$ от поверхности Земли:
$F_{тяж3} = F_3 = G \frac{m M_з}{{(R_з \space + \space h_2)}^2}$.
На этой высоте будет выполняться равенство: $\frac{F_{тяж1}}{F_{тяж3}} = 9$. Подставим в него формулы силы тяжести (силы тяготения):
$\frac{F_{тяж1}}{F_{тяж3}} = \frac{G \frac{m M_з}{{R_з}^2}}{G \frac{m M_з}{{(R_з \space + \space h_2)}^2}} = \frac{{(R_з \space + \space h_2)}^2}{{R_з}^2} = 9$.
Выразим отсюда ${(R_з \space + \space h_2)}^2$, а затем и $h_2$:
${(R_з \space + \space h_2)}^2 = 9{R_з}^2$,
$R_з \space + \space h_2 = \sqrt{9{R_з}^2}$,
$R_з \space + \space h_2 = 3R_з$,
$h_2 = 3R_з \space − \space R_з$,
$h_2 = 2R_з$.
Сила тяжести ракеты будет в 9 раза меньше, чем перед стартом на расстоянии от поверхности Земли, равном ее двойному радиусу: $h_2 = 2R_з$.
Ответ: $h_1 = R_з$, $h_2 = 2R_з$.
Часто задаваемые вопросы
Да, верно. Притяжение тел к Земле — один из случаев всемирного тяготения.
При удалении тела от поверхности Земли сила тяжести, действующая на него, будет уменьшаться за счет уменьшения ускорения свободного падения: $g = G \frac{M_з}{{R_з \space + \space h}^2}$.
Если тело находится на небольшой высоте над Землей (когда изменение ускорения свободного падения незначительно), то силу тяжести, действующую на него, можно рассчитать по формуле: $F_{тяж} = mg$.
Сила тяжести, действующая на тело, которое находится на экваторе, будет меньше силы тяжести, действующей на это же тело на одном из полюсов. Объясняется это тем, что Земля — не идеальный шар, она немного сплюснута у полюсов. Соответственно, расстояние от центра Земли на полюсах будет меньше, чем на экваторе. Сила тяжести (или сила тяготения) в свою очередь обратно пропорциональна этому расстоянию.
Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше ускорения свободного падения на Земле.
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
Войти