Закон всемирного тяготения

В курсе физики 7 класса мы уже познакомились с явлением всемирного тяготения. Суть этого явления заключается в том, что все тела, которые обладают массой, в нашей Вселенной притягиваются друг к другу.

Всемирное тяготение — это явление притяжения всех тел в нашей Вселенной друг к другу.

Вследствие этого притяжения все тела на нашей планете притягиваются к ней, искусственные спутники двигаются по орбите вокруг Земли и никуда не улетают с этой траектории, планеты в Солнечной системе движутся вокруг Солнца.

Притяжение между телами может быть сильнее, а может слабее. Мы говорим, что между ними возникают силы всемирного тяготения — гравитационные силы. На данном уроке мы познакомимся с более точной формулировкой закона всемирного тяготения и узнаем формулу, по которой можно рассчитать силу, с которой одно тело притягивает другое, узнаем границы ее применимости и другие интересные аспекты, касающиеся данной темы.

{"questions":[{"content":"Гравитационные силы — это силы [[fill_choice_big-4]].","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["всемирного тяготения","тяжести","отталкивания","трения"],"answer":0}}}]}

Закон всемирного тяготения

В XVII веке Исаак Ньютон активно изучал движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца. Результатом этих исследований стало открытие закона всемирного тяготения не только в словесной формулировке, но и в математической форме (рисунок 1).

Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален массе каждого из них и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.

В этой формуле у нас:
$F$ — модуль вектора силы гравитационного притяжения между телами с массами $m_1$ и $m_2$,
$r$ — расстояние между телами (их центрами),
$G$ — гравитационная постоянная.

{"questions":[{"content":"Как математически выражается закон всемирного тяготения?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$F = G \\frac{m_1 m_2}{r^2}$","$F = mg$","$F = \\frac{m_1 m_2}{r^2}$","$F = G \\frac{mg}{r^2}$"],"answer":[0]}}}]}

Гравитационная постоянная

Разберемся, что это за новый для нас коэффициент $G$. Выразим его из закона всемирного тяготения:
$G = F \frac{r^2}{m_1 m_2}$.

Теперь представим, что между собой взаимодействуют два тела, каждое массой по килограмму, а расстояние между ними равно одному метру (рисунок 2):
$m_1 = m_2 = 1 \space кг$,
$r = 1 \space кг$.
Подставим в формулу закона всемирного тяготения:
$F = G \frac{1 \space кг \cdot 1 \space кг}{1 \space м^2}$.
В этом случае гравитационная постоянная $G$ будет численно равна силе $F$.

Гравитационная постоянная $G$  — это коэффициент пропорциональности, численно равный гравитационной силе, с которой взаимодействуют два тела массой по $1 \space кг$, находящиеся на расстоянии $1 \space м$ друг от друга.

Было проведено множество измерений, которые дали нам численное значение гравитационной постоянной.

$G = 6.67 \cdot 10^{−11} \space Н \cdot \frac{м^2}{кг^2}$.

Вы видите, что эта величина очень маленькая — ее порядок составляет $10^{−11}$. Так, если два человека будут стоять очень близко к друг другу, они все равно не почувствуют никакого гравитационного взаимодействия. Порядок силы $10^{−11}$ просто не позволит ничего ощутить. А вот если масса тел будет огромной (или хотя бы одного из них), тогда и гравитационная сила будет проявляться более явно.

{"questions":[{"content":"Чему равна гравитационная постоянная $G$?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$6.67 \\cdot 10^{−11} \\space Н \\cdot \\frac{м^2}{кг^2}$","$7.87 \\cdot 10^{−11} \\space Н \\cdot \\frac{м^2}{кг^2}$","$9.8 \\frac{м}{с^2}$","$6.67 \\cdot 10^{11} \\space Н \\cdot \\frac{м^2}{кг^2}$"],"explanations":["","","Это величина ускорения свободного падения $g$ на Земле.",""],"answer":[0]}}}]}

Область применения закона всемирного тяготения

Для получения при расчетах более точных результатов мы будем применять закон всемирного тяготения только в определенных случаях:

1. Размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними (рисунок 3). То есть мы рассматриваем тела как материальные точки;

2. Оба тела однородны и имеют шарообразную форму (рисунок 4). Расстояние между телами определяется как расстояние между их центрами;

3. Одно из взаимодействующих тел — шар, а второе — материальная точка (рисунок 5). При этом размеры и масса шарообразного тела должны быть значительно больше, чем у второго (поэтому мы и можем принять его за материальную точку). Материальная точка может находиться на поверхности этого шара или вблизи нее.

Третий пункт как раз позволяет нам использовать формулу закона всемирного тяготения для расчетов силы притяжения к Земле любого из находящихся на ней тел. Так как мы пренебрегаем размерами тела (любого предмета или живого существа), расстоянием между взаимодействующими телами и будет радиус Земли.

{"questions":[{"content":"В каких случаях мы получим достаточно точные результаты при расчетах, используя закон всемирного тяготения?[[choice-20]]","widgets":{"choice-20":{"type":"choice","options":["Тела можно принять за материальные точки.","Тела имеют форму шара.","Одно тело представляет собой шар, а второе мы можем принять за материальную точку, находящуюся на поверхности шара или вблизи нее.","тела находятся на небольшом расстоянии друг от друга.","размеры тел соизмеримы с расстоянием между ними."],"answer":[0,1,2]}}}]}

Третий закон Ньютона и закон всемирного тяготения

Третий закон Ньютона гласит, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Получается, что яблоко, висящее на ветке или находящееся в состоянии свободного падения, будет притягивать Землю к себе так же, как и Земля притягивает это яблоко к себе (рисунок 6). И делать оно это будет с такой же по модулю силой $F$, которая будет равна $G \frac{m_1 M_з}{{R_з \space + \space h}^2}$.

По второму закону Ньютона эта сила будет равна произведению массы Земли на ускорение, которое она получит в результате этого взаимодействия:
$F = G \frac{m_1 M_з}{{R_з \space + \space h}^2} = M_з a$.

Отсюда это ускорение будет равно:
$a = \frac{F}{M_з} \approx 0 \frac{м}{с^2}$.

Получается, что ускорение Земли, вызванное силой ее притяжения к яблоку, близко к нулю. Это объясняется тем фактом, что масса Земли несоизмеримо больше массы яблока.

{"questions":[{"content":"Выберите правильный вариант гравитационного взаимодействия между Луной и Землей.[[choice-34]]","widgets":{"choice-34":{"type":"choice","options":["Земля и Луна притягиваются друг к другу с равными по модулю силами.","Сила, с которой Земля притягивает Луну, больше силы, с которой Луна притягивает Землю.","Сила, с которой Луна притягивает Землю, больше силы, с которой Земля притягивает Луну."],"answer":[0]}}}]}

Упражнения

Посмотреть ответ

Скрыть

Упражнение № 2

Космическая станция летит от Земли к Луне (рисунок 7). Как меняется при этом модуль вектора силы ее притяжения к Земле; к Луне? С одинаковыми или различными по модулю силами притягивается станция к Земле и Луне, когда она находится посередине между ними? Если силы различны, то какая больше и во сколько раз? Все ответы обоснуйте. Известно, что масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны.

Дано:
$\frac{m_з}{m_л} = 81$
$r = r_1 = r_2$

$\frac{F_1}{F_2} — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Упражнение № 3

Известно, что масса Солнца в 330 000 раз больше массы Земли. Верно ли, что Солнце притягивает Землю в 330 000 раз сильней, чем Земля притягивает Солнце? Ответ поясните.

Посмотреть ответ

Скрыть

Упражнение № 4

Мяч, подброшенный мальчиком, в течение некоторого времени двигался вверх. При этом его скорость все время уменьшалась, пока не стала равной нулю. Затем мяч стал падать вниз с возрастающей скоростью.
Объясните:
а) действовала ли на мяч сила притяжения к Земле во время его движения вверх; вниз;
б) что послужило причиной уменьшения скорости мяча при его движении вверх; увеличения его скорости при движении вниз;
в) почему при движении мяча вверх его скорость уменьшалась, а при движении вниз — увеличивалась.

Посмотреть ответ

Скрыть

Упражнение № 5

Притягивается ли к Луне человек, стоящий на Земле? Если да, то к чему он притягивается сильнее — к Луне или к Земле? Притягивается ли Луна к этому человеку? Ответы обоснуйте.

Посмотреть ответ

Скрыть

Часто задаваемые вопросы