8. Алгебраические выражения и вычисления: степени и корни

$1)$ Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}$ в числителе:
$$3^{-5} \cdot 3^{15} = 3^{-5+15} = 3^{10}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{3^{10}}{3^{7}}$$
$2)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}{:}$
$$\dfrac{3^{10}}{3^{7}} = 3^{10-7} = 3^{3}$$
$3)$ Вычислим получившуюся степень:
$$3^{3} = 27$$

$1)$ Представим знаменатель $16$ в виде степени с основанием $2{:}$
$$16 = 2^{4}$$
$2)$ Подставим полученное представление в исходное выражение:
$$\dfrac{2^{9}}{16} = \dfrac{2^{9}}{2^{4}}$$
$3)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}{:}$
$$\dfrac{2^{9}}{2^{4}} = 2^{9-4} = 2^{5}$$
$4)$ Вычислим получившуюся степень:
$$2^{5} = 32$$

$1)$ Запишем произведение двух дробей как одну дробь:
$$\dfrac{1}{2^{-19}} \cdot \dfrac{1}{2^{16}} = \dfrac{1}{2^{-19} \cdot 2^{16}}$$
$2)$ Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}$ в знаменателе:
$$2^{-19} \cdot 2^{16} = 2^{-19+16} = 2^{-3}$$
Таким образом, выражение принимает вид:
$$\dfrac{1}{2^{-3}}$$
$3)$ Воспользуемся свойством отрицательной степени $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}},$ из которого следует, что $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^{n}{:}$
$$\dfrac{1}{2^{-3}} = 2^{3}$$
$4)$ Вычислим получившуюся степень:
$$2^{3} = 8$$

$1)$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ к числителю:
$$(2^{9})^{-3} = 2^{9 \cdot (-3)} = 2^{-27}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{2^{-27}}{2^{-29}}$$
$2)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{2^{-27}}{2^{-29}} = 2^{-27- (-29)} = 2^{-27 + 29} = 2^{2}$$
$3)$ Вычислим получившуюся степень:
$$2^{2} = 4$$

$1)$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ ко второму множителю:
$$(13^{3})^{2} = 13^{3 \cdot 2} = 13^{6}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$13^{-5} \cdot 13^{6}$$
$2)$ Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}{:}$
$$13^{-5} \cdot 13^{6} = 13^{-5 + 6} = 13^{1}$$
$3)$ Вычислим получившуюся степень:
$$13^{1} = 13$$

$1)$ Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ к числителю:
$$(3 \cdot 8)^{7} = 3^{7} \cdot 8^{7}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{3^{7} \cdot 8^{7}}{3^{7} \cdot 8^{5}}$$
$2)$ Перегруппируем сомножители, представив дробь как произведение двух дробей:
$$\dfrac{3^{7} \cdot 8^{7}}{3^{7} \cdot 8^{5}} = \dfrac{3^{7}}{3^{7}} \cdot \dfrac{8^{7}}{8^{5}}$$
$3)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ к каждой дроби:
$$\dfrac{3^{7}}{3^{7}} = 3^{7-7} = 3^{0},\quad \dfrac{8^{7}}{8^{5}} = 8^{7-5} = 8^{2}$$
$4)$ Вычислим полученные степени, учитывая, что $a^{0} = 1$ для любого $a \neq 0{:}$
$$3^{0} = 1,\quad 8^{2} = 64$$
$5)$ Найдем произведение результатов:
$$1 \cdot 64 = 64$$

$1)$ Представим знаменатель $66^{10}$ как степень произведения, разложив $66$ на множители $6$ и $11{:}$
$$66 = 6 \cdot 11,\quad 66^{10} = (6 \cdot 11)^{10}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{(6 \cdot 11)^{10}}$$
$2)$ Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ к знаменателю:
$$(6 \cdot 11)^{10} = 6^{10} \cdot 11^{10}$$
Получаем:
$$\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{6^{10} \cdot 11^{10}}$$
$3)$ Перегруппируем сомножители, представив дробь как произведение двух дробей:
$$\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{6^{10} \cdot 11^{10}} = \dfrac{6^{12}}{6^{10}} \cdot \dfrac{11^{10}}{11^{10}}$$
$4)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ к каждой дроби:
$$\dfrac{6^{12}}{6^{10}} = 6^{12-10} = 6^{2},\quad \dfrac{11^{10}}{11^{10}} = 11^{10-10} = 11^{0}$$
$5)$ Вычислим полученные степени, учитывая, что $a^{0} = 1$ для любого $a \neq 0{:}$
$$6^{2} = 36,\quad 11^{0} = 1$$
$6)$ Найдем произведение результатов:
$$36 \cdot 1 = 36$$

$1)$ Представим числитель $24^{4}$ как степень произведения, разложив $24$ на множители $3$ и $8{:}$
$$24 = 3 \cdot 8,\quad 24^{4} = (3 \cdot 8)^{4}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{(3 \cdot 8)^{4}}{3^{2} \cdot 8^{3}}$$
$2)$ Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ к числителю:
$$(3 \cdot 8)^{4} = 3^{4} \cdot 8^{4}$$
Получаем:
$$\dfrac{3^{4} \cdot 8^{4}}{3^{2} \cdot 8^{3}}$$
$3)$ Перегруппируем сомножители, представив дробь как произведение двух дробей:
$$\dfrac{3^{4} \cdot 8^{4}}{3^{2} \cdot 8^{3}} = \dfrac{3^{4}}{3^{2}} \cdot \dfrac{8^{4}}{8^{3}}$$
$4)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ к каждой дроби:
$$\dfrac{3^{4}}{3^{2}} = 3^{4-2} = 3^{2},\quad \dfrac{8^{4}}{8^{3}} = 8^{4-3} = 8^{1} = 8$$
$5)$ Вычислим полученные степени и найдем их произведение:
$$3^{2} = 9,\quad 8 = 8$$ $$9 \cdot 8 = 72$$

$1)$ Представим степень $5^{6}$ в виде произведения множителей:
$$5^{6} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$
$2)$ Сгруппируем множители попарно, так как извлекается квадратный корень:
$$5^{6} = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) = 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2}$$
$3)$ Применим свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}{:}$
$$\sqrt{5^{6}} = \sqrt{5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2}} = \sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{5^{2}}$$
$4)$ По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{a^{2}} = |a|,$ и для положительного числа $5{:}$
$$\sqrt{5^{2}} = 5$$
Таким образом:
$$\sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{5^{2}} = 5 \cdot 5 \cdot 5$$
$5)$ Вычислим произведение:
$$5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$$

$1)$ Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ к числителю:
$$(4\sqrt{3})^{2} = 4^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2}$$
$2)$ Вычислим каждую степень:
$$4^{2} = 16,\quad (\sqrt{3})^{2} = 3$$
Таким образом, числитель равен:
$$16 \cdot 3 = 48$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{48}{60}$$
$3)$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель $12{:}$
$$\dfrac{48}{60} = \dfrac{48 : 12}{60 : 12} = \dfrac{4}{5}$$
$4)$ Преобразуем обыкновенную дробь $\dfrac{4}{5}$ в десятичную:
$$\dfrac{4}{5} = 0.8$$

$1)$ Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ к знаменателю:
$$(2\sqrt{3})^{2} = 2^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2}$$
$2)$ Вычислим каждую степень:
$$2^{2} = 4,\quad (\sqrt{3})^{2} = 3$$
Таким образом, знаменатель равен:
$$4 \cdot 3 = 12$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{72}{12}$$
$3)$ Выполним деление:
$$72 : 12 = 6$$

$1)$ Перемножим числовые множители и корни отдельно:
$$(9 \cdot 2) \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{14}) = 18 \cdot \sqrt{7 \cdot 2 \cdot 14}$$
$2)$ Упростим подкоренное выражение:
$$7 \cdot 2 \cdot 14 = 7 \cdot 2 \cdot (7 \cdot 2) = (7 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2) = 7^2 \cdot 2^2$$
$3)$ Извлечем корень:
$$\sqrt{7^2 \cdot 2^2} = 7 \cdot 2 = 14$$
$4)$ Получим:
$$18 \cdot 14 = 252$$

$1)$ Объединим оба корня в один, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}{:}$
$$\sqrt{13 \cdot 18} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{(13 \cdot 18) \cdot 26} = \sqrt{13 \cdot 18 \cdot 26}$$
$2)$ Перемножим числа под корнем:
$$13 \cdot 18 = 234,\quad 234 \cdot 26 = 6\ 084$$
Таким образом, выражение равно:
$$\sqrt{6\ 084}$$
$3)$ Разложим число $6\ 084$ на множители, чтобы найти полные квадраты:
$$6\ 084 : 4 = 1\ 521,\quad 4 = 2^{2}$$ $$1\ 521 = 39^{2}$$
Проверим: $39^{2} = 39 \cdot 39 = 1\ 521.$ Следовательно:
$$6\ 084 = 4 \cdot 1\ 521 = 2^{2} \cdot 39^{2}$$
$4)$ Извлечем квадратный корень:
$$\sqrt{6\ 084} = \sqrt{2^{2} \cdot 39^{2}} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{39^{2}} = 2 \cdot 39 = 78$$

$1)$ Объединим корни в числителе по свойству $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}{:}$
$$\sqrt{65} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65 \cdot 13} = \sqrt{845}$$
Таким образом, выражение принимает вид:
$$\dfrac{\sqrt{845}}{\sqrt{5}}$$
$2)$ Объединим корни в одну дробь по свойству $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}{:}$
$$\dfrac{\sqrt{845}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{845}{5}}$$
$3)$ Сократим дробь под корнем, разделив $845$ на $5{:}$
$$845 : 5 = 169$$
Получаем:
$$\sqrt{169}$$
$4)$ Извлечем квадратный корень:
$$\sqrt{169} = 13$$

$1)$ Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на $\sqrt{2}{:}$
$$(\sqrt{18} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$$
$2)$ Применим свойство умножения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ к каждому произведению:
$$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36}$$$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4}$$
Таким образом, выражение равно:
$$\sqrt{36} + \sqrt{4}$$
$3)$ Извлечем квадратные корни:
$$\sqrt{36} = 6,\quad \sqrt{4} = 2$$
$4)$ Выполним сложение:
$$6 + 2 = 8$$

$1)$ Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на $\sqrt{2}{:}$
$$(\sqrt{8}- \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2}- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$$
$2)$ Применим свойство умножения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ к каждому произведению:
$$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16}$$$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4}$$
Таким образом, выражение равно:
$$\sqrt{16}- \sqrt{4}$$
$3)$ Извлечем квадратные корни:
$$\sqrt{16} = 4,\quad \sqrt{4} = 2$$
$4)$ Выполним вычитание:
$$4- 2 = 2$$

$1)$ Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^{2}- b^{2},$ где $a = \sqrt{11}$ и $b = 3{:}$
$$(\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11}- 3) = (\sqrt{11})^{2}- 3^{2}$$
$2)$ Вычислим квадраты, учитывая, что $(\sqrt{a})^{2} = a{:}$
$$(\sqrt{11})^{2} = 11,\quad 3^{2} = 9$$
$3)$ Найдем разность полученных чисел:
$$11- 9 = 2$$

$1)$ Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^{2}- b^{2},$ где $a = \sqrt{13}$ и $b = \sqrt{2}{:}$
$$(\sqrt{13}- \sqrt{2})(\sqrt{13} + \sqrt{2}) = (\sqrt{13})^{2}- (\sqrt{2})^{2}$$
$2)$ Вычислим квадраты, учитывая, что $(\sqrt{a})^{2} = a{:}$
$$(\sqrt{13})^{2} = 13,\quad (\sqrt{2})^{2} = 2$$
$3)$ Найдем разность полученных чисел:
$$13- 2 = 11$$

$1)$ Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2},$ где $a = \sqrt{11}$ и $b = 3{:}$
$$(\sqrt{11} + 3)^{2} = (\sqrt{11})^{2} + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot 3 + 3^{2}$$
$2)$ Вычислим каждое слагаемое:
$$(\sqrt{11})^{2} = 11,\quad 2 \cdot \sqrt{11} \cdot 3 = 6\sqrt{11},\quad 3^{2} = 9$$
Таким образом:
$$(\sqrt{11} + 3)^{2} = 11 + 6\sqrt{11} + 9$$
$3)$ Подставим это разложение в исходное выражение:
$$(\sqrt{11} + 3)^{2}- 6\sqrt{11} = (11 + 6\sqrt{11} + 9)- 6\sqrt{11}$$
$4)$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$11 + 9 + 6\sqrt{11}- 6\sqrt{11} = (11 + 9) + (6\sqrt{11}- 6\sqrt{11})$$
$5)$ Выполним сложение чисел и сократим слагаемые с $\sqrt{11}{:}$
$$11 + 9 = 20,\quad 6\sqrt{11}- 6\sqrt{11} = 0$$
$6)$ Получаем результат:
$$20 + 0 = 20$$