ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 17. Математические модели: все задания

Подставим закон Ома в формулу мощности, чтобы получить зависимость $P$ только от одной переменной $R$. По смыслу задачи $R>0$. $$P(R)=\left(\frac{\varepsilon}{r+R}\right)^2 \cdot R=\frac{\varepsilon^2 R}{(r+R)^2}=\frac{3600R}{(2+R)^2}.$$

Способ 1 (через производную).

Шаг $1$. Найдём производную. Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$, где $u=3600R$, $v=(2+R)^2$, $v’=2(2+R)$. $$P'(R)=\frac{3600 \cdot (2+R)^2-3600R \cdot 2(2+R)}{(2+R)^4}.$$

Вынесем общий множитель $3600(2+R)$ в числителе и сократим на $(2+R)$: $$P'(R)=\frac{3600(2+R)(2+R-2R)}{(2+R)^4}=\frac{3600(2-R)}{(2+R)^3}.$$

Шаг $2$. Найдём критические точки. Знаменатель $(2+R)^3>0$ при $R>0$, поэтому производная обращается в ноль только когда равен нулю числитель. $$3600(2-R)=0 \Rightarrow R=2.$$

Шаг $3$. Определим знак производной. Знак $P'(R)$ совпадает со знаком $2-R$: при $0<R<2$ имеем $P'(R)>0$ (мощность растёт), при $R>2$ имеем $P'(R)<0$ (мощность убывает). Значит, $R=2$ — точка максимума, и на промежутке $(0;+\infty)$ это наибольшее значение функции.

Шаг $4$. Вычислим наибольшую мощность. $$P(2)=\frac{3600 \cdot 2}{(2+2)^2}=\frac{7200}{16}=450.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Неравенство о средних даёт решение в $2$–$3$ строки, но работает только тогда, когда функцию удаётся привести к виду «сумма двух положительных слагаемых с постоянным произведением».

Шаг $1$. Преобразуем функцию. Разделим числитель и знаменатель на $R>0$, чтобы переменная осталась только в знаменателе. Тогда $P$ максимальна, когда знаменатель минимален. $$P(R)=\frac{3600R}{(2+R)^2}=\frac{3600R}{4+4R+R^2}=\frac{3600}{\frac{4}{R}+4+R}.$$

Шаг $2$. Оценим знаменатель. Для положительных чисел $a$ и $b$ верно неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом $a+b \geq 2\sqrt{ab}$, причём равенство достигается только при $a=b$. Применим его к числам $R$ и $\frac{4}{R}$: их произведение постоянно, поэтому сумма ограничена снизу. $$R+\frac{4}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{4}{R}}=2\sqrt{4}=4.$$

Значит, знаменатель не меньше $4+4=8$: $R+4+\frac{4}{R} \geq 8$.

Шаг $3$. Оценим мощность. Чем меньше знаменатель, тем больше дробь, поэтому: $$P(R)=\frac{3600}{R+4+\frac{4}{R}} \leq \frac{3600}{8}=450.$$

Шаг $4$. Найдём, когда достигается равенство. Равенство в неравенстве о средних достигается при $R=\frac{4}{R}$, то есть при $R^2=4$. С учётом $R>0$ получаем:
$R=2$. $$P(2)=\frac{3600 \cdot 2}{(2+2)^2}=\frac{7200}{16}=450$$ $$P_{\max}=450 Вт.$$

Физический смысл результата: мощность на внешней нагрузке максимальна, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ($R=r$).

Подставим закон Ома в формулу мощности, по смыслу задачи $R>0$. $$P(R)=\frac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}=\frac{576R}{(3+R)^2}.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и выносим общий множитель $(3+R)$ в числителе. $$P'(R)=\frac{576(3+R)^2-576R \cdot 2(3+R)}{(3+R)^4}=\frac{576(3-R)}{(3+R)^3}.$$

Знаменатель положителен, знак $P'(R)$ совпадает со знаком $3-R$: при $0<R<3$ функция возрастает, при $R>3$ убывает, значит $R=3$ — точка максимума. $$P(3)=\frac{576 \cdot 3}{36}=48.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$, тогда мощность максимальна, когда знаменатель минимален. Слагаемые $R$ и $\frac{9}{R}$ положительны, а их произведение постоянно. $$P(R)=\frac{576}{R+6+\frac{9}{R}}$$ $$R+\frac{9}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{9}{R}}=6 \Rightarrow R+6+\frac{9}{R} \geq 12$$ $$P(R) \leq \frac{576}{12}=48.$$ Равенство достигается при $R=\frac{9}{R}$, то есть $R=3$..

Сопротивления $r$ и $R_0$ соединены последовательно с реостатом, поэтому они складываются: $r+R_0=5$. $$P(R)=\frac{10,000R}{(5+R)^2}, R>0.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и упрощаем. $$P'(R)=\frac{10,000(5+R)^2-10,000R \cdot 2(5+R)}{(5+R)^4}=\frac{10,000(5-R)}{(5+R)^3}.$$ При $0<R<5$ имеем $P'(R)>0$, при $R>5$ имеем $P'(R)<0$, значит $R=5$ — точка максимума.

Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$ и оценим сумму $R+\frac{25}{R}$, у которой произведение слагаемых постоянно. $$P(R)=\frac{10,000}{R+10+\frac{25}{R}}$$ $$R+\frac{25}{R} \geq 2\sqrt{25}=10.$$

Знаменатель минимален, а мощность максимальна, когда достигается равенство: $R=\frac{25}{R}$, то есть $R=5$.

Найдём напряжение на параллельном участке, а затем выразим мощность через $R$. $$R_{\text{п}}=\frac{6R}{6+R}$$ $$U=\frac{\varepsilon R_{\text{п}}}{r+R_{\text{п}}}=\frac{36 \cdot \frac{6R}{6+R}}{2+\frac{6R}{6+R}}=\frac{216R}{2(6+R)+6R}=\frac{216R}{12+8R}=\frac{54R}{3+2R}$$ $$P(R)=\frac{U^2}{R}=\frac{2916R}{(3+2R)^2}, R>0.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного, учитывая, что $((3+2R)^2)’=4(3+2R)$. $$P'(R)=\frac{2916(3+2R)^2-2916R \cdot 4(3+2R)}{(3+2R)^4}=\frac{2916(3-2R)}{(3+2R)^3}.$$

При $0<R<1{,}5$ имеем $P'(R)>0$, при $R>1{,}5$ имеем $P'(R)<0$, значит $R=1{,}5$ — точка максимума. $$P(1{,}5)=\frac{2916 \cdot 1{,}5}{(3+3)^2}=\frac{4374}{36}=121{,}5.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Раскроем квадрат в знаменателе и разделим на $R$. Произведение слагаемых $4R$ и $\frac{9}{R}$ постоянно. $$P(R)=\frac{2916R}{9+12R+4R^2}=\frac{2916}{4R+12+\frac{9}{R}}$$ $$4R+\frac{9}{R} \geq 2\sqrt{4R \cdot \frac{9}{R}}=2\sqrt{36}=12 \Rightarrow 4R+12+\frac{9}{R} \geq 24$$ $$P(R) \leq \frac{2916}{24}=121{,}5.$$

Равенство при $4R=\frac{9}{R}$, то есть $R=1{,}5$.

Подставим закон Ома в формулу мощности, $R>0$. $$P(R)=\frac{900R}{(5+R)^2}.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и исследуем её знак. $$P'(R)=\frac{900(5+R)^2-900R \cdot 2(5+R)}{(5+R)^4}=\frac{900(5-R)}{(5+R)^3}.$$

При $0<R<5$ функция возрастает, при $R>5$ убывает, значит $R=5$ — точка максимума. Найдём силу тока при этом сопротивлении. $$I=\frac{30}{5+5}=3.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$ и применим неравенство о средних к слагаемым $R$ и $\frac{25}{R}$. $$P(R)=\frac{900}{R+10+\frac{25}{R}}$$ $$R+\frac{25}{R} \geq 2\sqrt{25}=10.$$

Равенство при $R=\frac{25}{R}$, то есть $R=5$, тогда $I=\frac{30}{10}=3$.

$R$ меняется на отрезке $[4;10]$. Неравенство о средних даёт $R=r=2$, но эта точка не входит в отрезок, поэтому исследуем функцию на отрезке с помощью производной. $$P(R)=\frac{144R}{(2+R)^2}$$ $$P'(R)=\frac{144(2+R)^2-144R \cdot 2(2+R)}{(2+R)^4}=\frac{144(2-R)}{(2+R)^3}.$$

На отрезке $[4;10]$ имеем $2-R<0$, поэтому $P'(R)<0$ и функция убывает. Наибольшее значение достигается на левом конце отрезка. $$P(4)=\frac{144 \cdot 4}{(2+4)^2}=\frac{576}{36}=16.$$

Запишем мощность как функцию времени и найдём её производную по правилу производной сложной функции. Точки, в которых производная равна нулю, исследуем на отрезке $[0;6]$. $$P(t)=2(6t-t^2)^2$$ $$P'(t)=2 \cdot 2(6t-t^2) \cdot (6-2t)=4(6t-t^2)(6-2t).$$

На интервале $(0;6)$ множитель $6t-t^2=t(6-t)>0$, поэтому знак $P'(t)$ совпадает со знаком $6-2t$. При $0<t<3$ функция возрастает, при $3<t<6$ убывает, значит $t=3$ — точка максимума. $$I(3)=6 \cdot 3-3^2=9$$ $$P(3)=2 \cdot 9^2=162.$$

Выразим мощность как функцию силы тока. Получится квадратичная функция, её максимум найдём с помощью производной; по смыслу задачи $0<I<\frac{\varepsilon}{r}=24$. $$P(I)=(\varepsilon-Ir)I=12I-0{,}5I^2$$ $$P'(I)=12-I$$ $$P'(I)=0 \Rightarrow I=12.$$

При $I<12$ имеем $P'(I)>0$, при $I>12$ имеем $P'(I)<0$, значит $I=12$ — точка максимума. $$P(12)=12 \cdot 12-0{,}5 \cdot 144=144-72=72.$$

Подставим $a^2=2$ и найдём производную по правилу частного, используя $$\left((x^2+2)^{\frac{3}{2}}\right)’=\frac{3}{2}(x^2+2)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x=3x(x^2+2)^{\frac{1}{2}}.$$ По смыслу задачи $x>0$. $$E(x)=\frac{54\sqrt{3},x}{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}}.$$ $$E'(x)=54\sqrt{3} \cdot \frac{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}-x \cdot 3x(x^2+2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+2)^3}=54\sqrt{3} \cdot \frac{(x^2+2)^{\frac{1}{2}}(x^2+2-3x^2)}{(x^2+2)^3}=\frac{54\sqrt{3}(2-2x^2)}{(x^2+2)^{\frac{5}{2}}}.$$ Знак $E'(x)$ совпадает со знаком $2-2x^2$: при $0<x<1$ функция возрастает, при $x>1$ убывает, значит $x=1$ — точка максимума. $$E(1)=\frac{54\sqrt{3} \cdot 1}{(1+2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{54\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=18.$$

Сначала найдём закон изменения силы тока как производную заряда. Затем исследуем функцию $I(t)$ на максимум с помощью её производной. $$I(t)=q'(t)=18t-3t^2$$ $$I'(t)=18-6t$$ $$I'(t)=0 \Rightarrow t=3.$$

При $0<t<3$ имеем $I'(t)>0$, при $3<t<9$ имеем $I'(t)<0$, значит $t=3$ — точка максимума. $$I(3)=18 \cdot 3-3 \cdot 3^2=54-27=27.$$

Разделим числитель и знаменатель на $\tau^2>0$. Амплитуда максимальна, когда подкоренное выражение $h(\tau)$ минимально. $A(\tau)=\frac{k}{\sqrt{h(\tau)}}$, где $$h(\tau)=\frac{(T^2-\tau^2)^2+nT^2\tau^2}{\tau^4}=\frac{T^4}{\tau^4}-\frac{(2-n)T^2}{\tau^2}+1.$$ $$(2-n)T^2=1{,}125 \cdot 144=162, T^4=20,736$$ $$h(\tau)=\frac{20,736}{\tau^4}-\frac{162}{\tau^2}+1.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную $h(\tau)$ и приведём её к общему знаменателю. Знаменатель $\tau^5>0$, поэтому знак производной определяется числителем. $$h'(\tau)=-\frac{4 \cdot 20,736}{\tau^5}+\frac{2 \cdot 162}{\tau^3}=\frac{324\tau^2-82,944}{\tau^5}=\frac{324(\tau^2-256)}{\tau^5}$$

В точке $\tau=16$ функция $h$ имеет минимум, значит амплитуда $A$ — максимум.

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Сделаем замену $u=\frac{T^2}{\tau^2}=\frac{144}{\tau^2}$, $u>0$. Тогда $h$ становится квадратичной функцией от $u$, и её минимум достигается в вершине параболы. $$h=(u-1)^2+nu=u^2-(2-n)u+1=u^2-1{,}125u+1$$ $$u_0=\frac{1{,}125}{2}=0{,}5625$$ $$\frac{144}{\tau^2}=0{,}5625 \Rightarrow \tau^2=\frac{144}{0{,}5625}=256 \Rightarrow \tau=16.$$

Разделим числитель и знаменатель на $\tau^2$: амплитуда максимальна, когда минимально выражение $h(\tau)$. $$(2-n)T^2=0{,}5 \cdot 36=18$, $T^4=1296$$ $$h(\tau)=\frac{1296}{\tau^4}-\frac{18}{\tau^2}+1.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную и определим её знак; знаменатель $\tau^5>0$. $$h'(\tau)=-\frac{4 \cdot 1296}{\tau^5}+\frac{2 \cdot 18}{\tau^3}=\frac{36\tau^2-5184}{\tau^5}=\frac{36(\tau^2-144)}{\tau^5}$$ $$h'(\tau)=0 \Rightarrow \tau^2=144 \Rightarrow \tau=12.$$

Минимум $h$ в точке $\tau=12$ означает максимум амплитуды.

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Замена $u=\frac{36}{\tau^2}$, $u>0$, превращает $h$ в квадратичную функцию. Её минимум — в вершине параболы. $$h=(u-1)^2+1{,}5u=u^2-0{,}5u+1$$ $$u_0=\frac{0{,}5}{2}=0{,}25$$ $$\frac{36}{\tau^2}=0{,}25 \Rightarrow \tau^2=144 \Rightarrow \tau=12.$$

Подставим данные и исследуем функцию на интервале $0^\circ<\alpha<90^\circ$ с помощью производной. $$R(\alpha)=\frac{64\sin 2\alpha}{1{,}6}=40\sin 2\alpha$$ $$R'(\alpha)=80\cos 2\alpha$$ $$R'(\alpha)=0 \Rightarrow 2\alpha=90^\circ \Rightarrow \alpha=45^\circ.$$

$$R(45^\circ)=40\sin 90^\circ=40.$$

Подставим данные в формулу. $$y(\alpha)=20,\mathrm{tg},\alpha-\frac{10 \cdot 400}{2 \cdot 400\cos^2\alpha}=20,\mathrm{tg},\alpha-\frac{5}{\cos^2\alpha}.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную, используя $$(\mathrm{tg},\alpha)’=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$ $$\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}\right)’=\frac{2\sin\alpha}{\cos^3\alpha}.$$ На интервале $0^\circ<\alpha<90^\circ$ множитель $\frac{10}{\cos^3\alpha}>0$ $$y'(\alpha)=\frac{20}{\cos^2\alpha}-\frac{10\sin\alpha}{\cos^3\alpha}=\frac{10}{\cos^3\alpha}(2\cos\alpha-\sin\alpha)=\frac{10}{\cos^2\alpha}(2-\mathrm{tg},\alpha)$$ $y'(\alpha)=0 \Rightarrow \mathrm{tg},\alpha=2,$ обозначим $\alpha_0=\mathrm{arctg},2$

Используя $\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\mathrm{tg}^2\alpha$: $$y(\alpha_0)=20 \cdot 2-5(1+2^2)=40-25=15.$$

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Заменим $\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\mathrm{tg}^2\alpha$ и введём $p=\mathrm{tg},\alpha$, $p>0$. Получим квадратичную функцию с отрицательным старшим коэффициентом, её максимум — в вершине. $$y=20p-5(1+p^2)=-5p^2+20p-5$$ $$p_0=-\frac{20}{2 \cdot (-5)}=2$$ $$y(2)=-5 \cdot 4+20 \cdot 2-5=15.$$

Раскроем скобки под корнем, затем найдём производную как производную сложной функции. Знаменатель производной положителен, поэтому её знак определяется числителем. $$d(t)=\sqrt{2500-3000t+900t^2+1600t^2}=\sqrt{2500t^2-3000t+2500}$$ $$d'(t)=\frac{5000t-3000}{2\sqrt{2500t^2-3000t+2500}}$$ $$d'(t)=0 \Rightarrow t=0{,}6$$

$$d(0{,}6)=\sqrt{2500 \cdot 0{,}36-3000 \cdot 0{,}6+2500}=\sqrt{900-1800+2500}=\sqrt{1600}=40.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную и разложим её на множители. Знаки определим методом интервалов на всей числовой прямой. $$U'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$$ $$U'(x)=0 \Rightarrow x=-2, x=0, x=2.$$

Точки минимума $x=\pm 2$, значения в них одинаковые: $U(\pm 2)=16-32+20=4$.

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Функция зависит только от $x^2$, поэтому сделаем замену $u=x^2$, $u \geq 0$. Минимум квадратичной функции достигается в вершине, если она попадает в область $u \geq 0$. $$U=u^2-8u+20$$ $$u_0=\frac{8}{2}=4 \geq 0$$ $$U(4)=16-32+20=4.$$

Скорость — это производная координаты по времени. Чтобы найти наибольшую скорость, исследуем функцию $v(t)$ с помощью её производной (ускорения). $$v(t)=x'(t)=-3t^2+12t+15$$ $$v'(t)=-6t+12$$ $$v'(t)=0 \Rightarrow t=2.$$

$v(2)=-3 \cdot 4+12 \cdot 2+15=-12+24+15=27$.

Числитель постоянен, поэтому сила минимальна, когда знаменатель $f(\alpha)=\cos\alpha+0{,}75\sin\alpha$ максимален. Исследуем $f(\alpha)$ с помощью производной; на интервале $\cos\alpha>0$. $$f'(\alpha)=-\sin\alpha+0{,}75\cos\alpha=\cos\alpha(0{,}75-\mathrm{tg},\alpha)$$ $f'(\alpha)=0 \Rightarrow \mathrm{tg},\alpha=0{,}75$, обозначим $\alpha_0=\mathrm{arctg},0{,}75.$

При $\mathrm{tg},\alpha_0=0{,}75=\frac{3}{4}$ имеем $\cos\alpha_0=0{,}8$, $\sin\alpha_0=0{,}6$: $$f(\alpha_0)=0{,}8+0{,}75 \cdot 0{,}6=0{,}8+0{,}45=1{,}25$$ $$F_{\min}=\frac{0{,}75 \cdot 100}{1{,}25}=\frac{75}{1{,}25}=60.$$

Угол $45^\circ$, дающий максимум без ограничений, не входит в промежуток $[0^\circ;15^\circ]$, поэтому ищем наибольшее значение на этом отрезке. Производная на нём положительна, функция возрастает, значит максимум — на правом конце. $$R(\alpha)=\frac{900\sin 2\alpha}{10}=90\sin 2\alpha$$ $R'(\alpha)=180\cos 2\alpha>0$ при $0^\circ \leq \alpha \leq 15^\circ$, так как $2\alpha \leq 30^\circ$. $$R(15^\circ)=90\sin 30^\circ=90 \cdot 0{,}5=45.$$

Выразим мощность как функцию скорости и найдём её производную. Точку максимума определим по смене знака производной. $$P(v)=(3000-50v)v=3000v-50v^2$$ $$P'(v)=3000-100v$$ $$P'(v)=0 \Rightarrow v=30.$$

$P(30)=3000 \cdot 30-50 \cdot 900=90,000-45,000=45,000$ Вт $=45$ кВт.