Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333302
Спасатель стоит на берегу в точке $A$. Лодка находится в $3$ км от берега, а ближайшая к ней точка берега $B$ удалена от $A$ на $5$ км. Спасатель идёт по берегу со скоростью $5$ км/ч до некоторой точки $C$, а затем плывёт на лодке по прямой со скоростью $4$ км/ч. Если $x$ — расстояние от $C$ до $B$ (в км), то общее время пути (в часах) равно $t(x)=\frac{5-x}{5}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{4}$, $0 \leq x \leq 5$. Найдите наименьшее время, за которое спасатель доберётся до лодки. Ответ дайте в минутах.
Найдём производную и приравняем её к нулю. Полученное иррациональное уравнение решаем возведением в квадрат при условии $x \geq 0$. $$t'(x)=-\frac{1}{5}+\frac{x}{4\sqrt{x^2+9}}$$ $$t'(x)=0 \Rightarrow 5x=4\sqrt{x^2+9} \Rightarrow 25x^2=16x^2+144 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4.$$
$$t(4)=\frac{5-4}{5}+\frac{\sqrt{16+9}}{4}=0{,}2+1{,}25=1{,}45$$ $$1{,}45 \cdot 60=87 мин.$$
20
