Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333286
Автомобиль $A$ находится в $20$ км от перекрёстка и едет к нему со скоростью $60$ км/ч. Одновременно автомобиль $B$ выезжает с перекрёстка по перпендикулярной дороге со скоростью $80$ км/ч. Расстояние между автомобилями через $t$ часов равно $d(t)=\sqrt{(20-60t)^2+(80t)^2}$. Найдите наименьшее расстояние между автомобилями. Ответ дайте в километрах.
Раскроем скобки под корнем и найдём производную как производную сложной функции. Знаменатель производной положителен, поэтому знак определяется числителем. $$d(t)=\sqrt{400-2400t+3600t^2+6400t^2}=\sqrt{10,000t^2-2400t+400}$$ $$d'(t)=\frac{20,000t-2400}{2\sqrt{10,000t^2-2400t+400}}$$ $$d'(t)=0 \Rightarrow t=0{,}12.$$
$$d(0{,}12)=\sqrt{10,000 \cdot 0{,}0144-2400 \cdot 0{,}12+400}=\sqrt{144-288+400}=\sqrt{256}=16.$$
20
