ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 17. Математические модели: кинематика

Подставим данные в формулу. $$R(\alpha)=\frac{400\sin 2\alpha}{10}=40\sin 2\alpha.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную и её нули на интервале $0^\circ<\alpha<90^\circ$, то есть при $0^\circ<2\alpha<180^\circ$. $$R'(\alpha)=80\cos 2\alpha$$ $$R'(\alpha)=0 \Rightarrow 2\alpha=90^\circ \Rightarrow \alpha=45^\circ.$$

$R(45^\circ)=40\sin 90^\circ=40$

Способ 2 (через свойства синуса). Синус любого угла не превосходит $1$, поэтому дальность не больше $40$. Значение $\sin 2\alpha=1$ достигается при $2\alpha=90^\circ$, то есть при $\alpha=45^\circ$, который входит в допустимый промежуток. $$\sin 2\alpha \leq 1 \Rightarrow R(\alpha)=40\sin 2\alpha \leq 40$$ $$R(45^\circ)=40.$$

Подставим данные в формулу. $$R(\alpha)=\frac{36\sin 2\alpha}{1{,}6}=22{,}5\sin 2\alpha.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную и её нули при $0^\circ<2\alpha<180^\circ$. $$R'(\alpha)=45\cos 2\alpha$$ $$R'(\alpha)=0 \Rightarrow \alpha=45^\circ.$$

$$R(45^\circ)=22{,}5\sin 90^\circ=22{,}5$$

Способ 2 (через свойства синуса). Так как $\sin 2\alpha \leq 1$, дальность не превосходит $22{,}5$. Равенство достигается при $2\alpha=90^\circ$. $$R(\alpha)=22{,}5\sin 2\alpha \leq 22{,}5$$ $$R(45^\circ)=22{,}5.$$

Найдём закон изменения скорости как производную сложной функции. $$v(t)=x'(t)=0{,}5 \cdot 4\cos 4t=2\cos 4t.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную скорости и точки, где она обращается в ноль. В этих точках $\cos 4t$ принимает значения $1$ или $-1$, выбираем наибольшее значение $v$. $$v'(t)=-8\sin 4t$$ $$v'(t)=0 \Rightarrow \sin 4t=0 \Rightarrow 4t=\pi k$, $k \in \mathbb{Z}.$$ $v=2\cos \pi k=\pm 2$, наибольшее значение $v=2$ (при чётных $k$, например $t=0$).

Способ 2 (через свойства косинуса). Косинус любого аргумента не превосходит $1$, поэтому скорость не больше $2$. Равенство достигается, например, при $t=0$. $$\cos 4t \leq 1 \Rightarrow v(t)=2\cos 4t \leq 2$$ $$v(0)=2\cos 0=2.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную и приравняем её к нулю. Из условия $\mathrm{tg},2t=0{,}75$ находим значения синуса и косинуса и выбираем тот случай, где $x$ наибольшее. $$x'(t)=6\cos 2t-8\sin 2t$$ $$x'(t)=0 \Rightarrow 6\cos 2t=8\sin 2t \Rightarrow \mathrm{tg},2t=0{,}75.$$ При $\sin 2t=0{,}6$, $\cos 2t=0{,}8$: $x=3 \cdot 0{,}6+4 \cdot 0{,}8=1{,}8+3{,}2=5$.

При $\sin 2t=-0{,}6$, $\cos 2t=-0{,}8$: $x=-1{,}8-3{,}2=-5$.

Наибольшее значение $x=5$.

Способ 2 (через свойства синуса). Приведём выражение к виду $A\sin(2t+\varphi)$ с помощью вспомогательного угла. Так как $\sin(2t+\varphi) \leq 1$, наибольшее значение равно амплитуде $A$. $$A=\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$x(t)=5\left(\frac{3}{5}\sin 2t+\frac{4}{5}\cos 2t\right)=5\sin(2t+\varphi)$, где $\cos\varphi=\frac{3}{5}$, $\sin\varphi=\frac{4}{5}$$ $$x(t)=5\sin(2t+\varphi) \leq 5.$$

Скорость — производная координаты, а производная скорости — ускорение. Наибольшую скорость найдём, исследуя $v(t)$ с помощью её производной. $$v(t)=x'(t)=-6t^2+36t$$ $$v'(t)=-12t+36$$ $$v'(t)=0 \Rightarrow t=3.$$

$v(3)=-6 \cdot 9+36 \cdot 3=-54+108=54$.

Найдём производную высоты — это вертикальная скорость камня. В высшей точке она обращается в ноль и меняет знак с плюса на минус. $$h'(t)=20-10t$$ $$h'(t)=0 \Rightarrow t=2.$$

$h(2)=45+20 \cdot 2-5 \cdot 4=45+40-20=65$.

Угол $45^\circ$, дающий максимум без ограничений, не входит в допустимый промежуток. Найдём знак производной на нём: при $150^\circ \leq 2\alpha<180^\circ$ косинус отрицателен, функция убывает, и наибольшее значение достигается на левом конце.

$R(\alpha)=40\sin 2\alpha$

$R'(\alpha)=80\cos 2\alpha<0$ при $75^\circ \leq \alpha<90^\circ$

$R(75^\circ)=40\sin 150^\circ=40 \cdot 0{,}5=20.$

Раскроем скобки под корнем и найдём производную как производную сложной функции. Знаменатель производной положителен, поэтому знак определяется числителем. $$d(t)=\sqrt{400-2400t+3600t^2+6400t^2}=\sqrt{10,000t^2-2400t+400}$$ $$d'(t)=\frac{20,000t-2400}{2\sqrt{10,000t^2-2400t+400}}$$ $$d'(t)=0 \Rightarrow t=0{,}12.$$

$$d(0{,}12)=\sqrt{10,000 \cdot 0{,}0144-2400 \cdot 0{,}12+400}=\sqrt{144-288+400}=\sqrt{256}=16.$$

Найдём производную и приравняем её к нулю. Полученное иррациональное уравнение решаем возведением в квадрат при условии $x \geq 0$. $$t'(x)=-\frac{1}{5}+\frac{x}{4\sqrt{x^2+9}}$$ $$t'(x)=0 \Rightarrow 5x=4\sqrt{x^2+9} \Rightarrow 25x^2=16x^2+144 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4.$$

$$t(4)=\frac{5-4}{5}+\frac{\sqrt{16+9}}{4}=0{,}2+1{,}25=1{,}45$$ $$1{,}45 \cdot 60=87 мин.$$

Найдём производную координаты (скорость) и её нули на отрезке $[0;4]$. В точке, где скорость меняет знак с минуса на плюс, координата минимальна: точка останавливается и начинает двигаться обратно.

$x'(t)=3t^2-12=3(t-2)(t+2)$

$x'(t)=0 \Rightarrow t=2$ (корень $t=-2$ не входит в отрезок)

$x(2)=8-24=-16$.