Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333251
Координата тела, совершающего гармонические колебания, меняется по закону $x(t)=0{,}5\sin 4t$, где $x$ — в метрах, $t$ — в секундах. Скорость тела равна производной координаты по времени: $v(t)=x'(t)$. Найдите наибольшее значение скорости тела. Ответ дайте в м/с.
Найдём закон изменения скорости как производную сложной функции. $$v(t)=x'(t)=0{,}5 \cdot 4\cos 4t=2\cos 4t.$$
Способ 1 (через производную). Найдём производную скорости и точки, где она обращается в ноль. В этих точках $\cos 4t$ принимает значения $1$ или $-1$, выбираем наибольшее значение $v$. $$v'(t)=-8\sin 4t$$ $$v'(t)=0 \Rightarrow \sin 4t=0 \Rightarrow 4t=\pi k$, $k \in \mathbb{Z}.$$ $v=2\cos \pi k=\pm 2$, наибольшее значение $v=2$ (при чётных $k$, например $t=0$).
Способ 2 (через свойства косинуса). Косинус любого аргумента не превосходит $1$, поэтому скорость не больше $2$. Равенство достигается, например, при $t=0$. $$\cos 4t \leq 1 \Rightarrow v(t)=2\cos 4t \leq 2$$ $$v(0)=2\cos 0=2.$$
20
