Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333252
Координата тела, совершающего колебания, меняется по закону $x(t)=3\sin 2t+4\cos 2t$, где $x$ — в сантиметрах, $t$ — в секундах. Найдите наибольшее отклонение тела от положения равновесия в положительном направлении, то есть наибольшее значение $x(t)$. Ответ дайте в сантиметрах.
Способ 1 (через производную). Найдём производную и приравняем её к нулю. Из условия $\mathrm{tg},2t=0{,}75$ находим значения синуса и косинуса и выбираем тот случай, где $x$ наибольшее. $$x'(t)=6\cos 2t-8\sin 2t$$ $$x'(t)=0 \Rightarrow 6\cos 2t=8\sin 2t \Rightarrow \mathrm{tg},2t=0{,}75.$$ При $\sin 2t=0{,}6$, $\cos 2t=0{,}8$: $x=3 \cdot 0{,}6+4 \cdot 0{,}8=1{,}8+3{,}2=5$.
При $\sin 2t=-0{,}6$, $\cos 2t=-0{,}8$: $x=-1{,}8-3{,}2=-5$.
Наибольшее значение $x=5$.
Способ 2 (через свойства синуса). Приведём выражение к виду $A\sin(2t+\varphi)$ с помощью вспомогательного угла. Так как $\sin(2t+\varphi) \leq 1$, наибольшее значение равно амплитуде $A$. $$A=\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$x(t)=5\left(\frac{3}{5}\sin 2t+\frac{4}{5}\cos 2t\right)=5\sin(2t+\varphi)$, где $\cos\varphi=\frac{3}{5}$, $\sin\varphi=\frac{4}{5}$$ $$x(t)=5\sin(2t+\varphi) \leq 5.$$
20
