Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333222
Тело бросают с начальной скоростью $v_0=20$ м/с под углом $\alpha$ к горизонту ($0^\circ<\alpha<90^\circ$). Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения $g=10$ м/с². Дальность полёта тела вычисляется по формуле $R(\alpha)=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$. Найдите наибольшую дальность полёта тела. Ответ дайте в метрах.
Подставим данные в формулу. $$R(\alpha)=\frac{400\sin 2\alpha}{10}=40\sin 2\alpha.$$
Способ 1 (через производную). Найдём производную и её нули на интервале $0^\circ<\alpha<90^\circ$, то есть при $0^\circ<2\alpha<180^\circ$. $$R'(\alpha)=80\cos 2\alpha$$ $$R'(\alpha)=0 \Rightarrow 2\alpha=90^\circ \Rightarrow \alpha=45^\circ.$$
$R(45^\circ)=40\sin 90^\circ=40$
Способ 2 (через свойства синуса). Синус любого угла не превосходит $1$, поэтому дальность не больше $40$. Значение $\sin 2\alpha=1$ достигается при $2\alpha=90^\circ$, то есть при $\alpha=45^\circ$, который входит в допустимый промежуток. $$\sin 2\alpha \leq 1 \Rightarrow R(\alpha)=40\sin 2\alpha \leq 40$$ $$R(45^\circ)=40.$$
20
