Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333395
Над центром круглого стола радиусом $r=0{,}6\sqrt{2}$ м висит лампа. Освещённость края стола вычисляется по формуле $E(h)=\frac{Ih}{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$, где $I$ — сила света лампы, $h$ — высота лампы над столом (в метрах). На какой высоте нужно повесить лампу, чтобы освещённость края стола была наибольшей? Ответ дайте в метрах.
Найдём производную по правилу частного, используя $\left((h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}\right)’=3h(h^2+r^2)^{\frac{1}{2}}$, и вынесем общий множитель. Знаменатель положителен, знак производной определяется выражением $r^2-2h^2$, где $r^2=0{,}72$. $$E'(h)=I \cdot \frac{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}-3h^2(h^2+r^2)^{\frac{1}{2}}}{(h^2+r^2)^3}=\frac{I(r^2-2h^2)}{(h^2+r^2)^{\frac{5}{2}}}$$ $$E'(h)=0 \Rightarrow 2h^2=0{,}72 \Rightarrow h^2=0{,}36 \Rightarrow h=0{,}6.$$
20
