ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 17. Математические модели: оптика

Два точечных источника света с силами света $I_1=100$ кд и $I_2=800$ кд расположены на прямой на расстоянии $L=6$ м друг от друга. Суммарная освещённость точки, находящейся между источниками на расстоянии $x$ от первого источника, вычисляется по формуле $E(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x)^2}$, $0<x<L$. На каком расстоянии от первого источника освещённость будет наименьшей? Ответ дайте в метрах.

Подставим данные и найдём производную. Приравняв её к нулю, получим равенство кубов, из которого извлекаем кубический корень. $$E(x)=\frac{100}{x^2}+\frac{800}{(6-x)^2}.$$ $$E'(x)=-\frac{200}{x^3}+\frac{1600}{(6-x)^3}$$ $$E'(x)=0 \Rightarrow \frac{1600}{(6-x)^3}=\frac{200}{x^3} \Rightarrow (6-x)^3=8x^3 \Rightarrow 6-x=2x \Rightarrow x=2.$$ Оба слагаемых производной возрастают на $(0;6)$, поэтому $E'(x)$ возрастает и меняет знак с минуса на плюс.

Два источника света с силами света $I_1=50$ кд и $I_2=400$ кд расположены на расстоянии $L=9$ м друг от друга. Суммарная освещённость точки между ними на расстоянии $x$ от первого источника вычисляется по формуле $E(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x)^2}$. На каком расстоянии $x$ от первого источника освещённость будет наименьшей? Ответ дайте в метрах.

Подставим данные, найдём производную и приравняем её к нулю. $$E(x)=\frac{50}{x^2}+\frac{400}{(9-x)^2}, 0<x<9$$ $$E'(x)=-\frac{100}{x^3}+\frac{800}{(9-x)^3}$$ $$E'(x)=0 \Rightarrow (9-x)^3=8x^3 \Rightarrow 9-x=2x \Rightarrow x=3.$$

Два прожектора с силами света $I_1=640$ кд и $I_2=80$ кд расположены на расстоянии $L=9$ м друг от друга. Освещённость точки между ними на расстоянии $x$ от первого прожектора равна $E(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x)^2}$. На каком расстоянии от первого прожектора освещённость будет наименьшей? Ответ дайте в метрах.

Здесь более яркий источник первый, поэтому точка минимума окажется ближе ко второму. Найдём её с помощью производной. $$E(x)=\frac{640}{x^2}+\frac{80}{(9-x)^2}, 0<x<9$$ $$E'(x)=-\frac{1280}{x^3}+\frac{160}{(9-x)^3}$$ $$E'(x)=0 \Rightarrow 1280(9-x)^3=160x^3 \Rightarrow x^3=8(9-x)^3 \Rightarrow x=2(9-x) \Rightarrow x=6.$$

Два фонаря с силами света $I_1=10$ кд и $I_2=270$ кд расположены на расстоянии $L=8$ м друг от друга. Освещённость точки между ними на расстоянии $x$ метров от первого фонаря (в люксах) равна $E(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x)^2}$. Найдите наименьшую освещённость точки на отрезке между фонарями. Ответ дайте в люксах.

Найдём точку минимума с помощью производной, а затем вычислим значение освещённости в ней. $$E(x)=\frac{10}{x^2}+\frac{270}{(8-x)^2}, 0<x<8$$ $$E'(x)=-\frac{20}{x^3}+\frac{540}{(8-x)^3}$$ $$E'(x)=0 \Rightarrow (8-x)^3=27x^3 \Rightarrow 8-x=3x \Rightarrow x=2.$$

$$E(2)=\frac{10}{4}+\frac{270}{36}=2{,}5+7{,}5=10.$$

Над центром круглого стола радиусом $r=0{,}6\sqrt{2}$ м висит лампа. Освещённость края стола вычисляется по формуле $E(h)=\frac{Ih}{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$, где $I$ — сила света лампы, $h$ — высота лампы над столом (в метрах). На какой высоте нужно повесить лампу, чтобы освещённость края стола была наибольшей? Ответ дайте в метрах.

Найдём производную по правилу частного, используя $\left((h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}\right)’=3h(h^2+r^2)^{\frac{1}{2}}$, и вынесем общий множитель. Знаменатель положителен, знак производной определяется выражением $r^2-2h^2$, где $r^2=0{,}72$. $$E'(h)=I \cdot \frac{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}-3h^2(h^2+r^2)^{\frac{1}{2}}}{(h^2+r^2)^3}=\frac{I(r^2-2h^2)}{(h^2+r^2)^{\frac{5}{2}}}$$ $$E'(h)=0 \Rightarrow 2h^2=0{,}72 \Rightarrow h^2=0{,}36 \Rightarrow h=0{,}6.$$

Над центром круглой площадки радиусом $r=\sqrt{2}$ м висит лампа силой света $I=27\sqrt{3}$ кд. Освещённость (в люксах) края площадки вычисляется по формуле $E(h)=\frac{Ih}{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$, где $h$ — высота лампы над площадкой (в метрах). Найдите наибольшую возможную освещённость края площадки. Ответ дайте в люксах.

Знак производной определяется выражением $r^2-2h^2$, где $r^2=2$. Найдём точку максимума и значение освещённости в ней. $$E'(h)=\frac{27\sqrt{3}(2-2h^2)}{(h^2+2)^{\frac{5}{2}}}$$ $$E'(h)=0 \Rightarrow h^2=1 \Rightarrow h=1.$$

$$E(1)=\frac{27\sqrt{3} \cdot 1}{(1+2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{27\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=9.$$

С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=10$ см получают действительное изображение предмета на экране. Расстояние от предмета до экрана выражается через расстояние $d$ от предмета до линзы формулой $L(d)=\frac{d^2}{d-F}$, где $d>F$. Найдите наименьшее возможное расстояние между предметом и экраном. Ответ дайте в сантиметрах.

Формула получена из формулы тонкой линзы: $L=d+f$, где $f=\frac{dF}{d-F}$. Найдём производную по правилу частного; знаменатель $(d-10)^2>0$. $$L(d)=\frac{d^2}{d-10}$$ $$L'(d)=\frac{2d(d-10)-d^2}{(d-10)^2}=\frac{d^2-20d}{(d-10)^2}=\frac{d(d-20)}{(d-10)^2}$$

$L'(d)=0 \Rightarrow d=20$ (корень $d=0$ не входит в область $d>10$).

$$L(20)=\frac{400}{10}=40.$$

Собирающая линза с фокусным расстоянием $F=12$ см даёт действительное изображение предмета на экране. Расстояние между предметом и экраном равно $L(d)=\frac{d^2}{d-F}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы (в сантиметрах), $d>F$. На каком расстоянии от линзы нужно поместить предмет, чтобы расстояние между предметом и экраном было наименьшим? Ответ дайте в сантиметрах.

Точечный источник света $A$ находится на высоте $3$ м над горизонтальным плоским зеркалом, а точка наблюдения $B$ — на высоте $5$ м. Расстояние между проекциями точек $A$ и $B$ на зеркало равно $8$ м. Луч от $A$ отражается от зеркала в точке, удалённой на $x$ метров от проекции точки $A$, и попадает в $B$. Длина пути луча равна $L(x)=\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(8-x)^2+25}$, $0 \leq x \leq 8$. По принципу Ферма свет распространяется по пути наименьшей длины. Найдите $x$ для этого пути. Ответ дайте в метрах.

Найдём производную как сумму производных корней. Приравняв её к нулю, перейдём к пропорции и возведём в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны. $$L'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}-\frac{8-x}{\sqrt{(8-x)^2+25}}$$ $$L'(x)=0 \Rightarrow x\sqrt{(8-x)^2+25}=(8-x)\sqrt{x^2+9}$$ $$x^2(8-x)^2+25x^2=(8-x)^2x^2+9(8-x)^2 \Rightarrow 25x^2=9(8-x)^2 \Rightarrow 5x=3(8-x) \Rightarrow x=3.$$

Проверим знаки на концах: $L'(0)=-\frac{8}{\sqrt{89}}<0$, $L'(8)=\frac{8}{\sqrt{73}}>0$.

Два уличных фонаря с силами света $I_1=432$ кд и $I_2=16$ кд расположены на расстоянии $L=8$ м друг от друга. Освещённость точки между ними на расстоянии $x$ метров от первого фонаря (в люксах) равна $E(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x)^2}$. Найдите наименьшую освещённость точки на отрезке между фонарями. Ответ дайте в люксах.

Найдём точку минимума с помощью производной, затем вычислим освещённость в этой точке. $$E(x)=\frac{432}{x^2}+\frac{16}{(8-x)^2}, 0<x<8$$ $$E'(x)=-\frac{864}{x^3}+\frac{32}{(8-x)^3}$$ $$E'(x)=0 \Rightarrow 864(8-x)^3=32x^3 \Rightarrow x^3=27(8-x)^3 \Rightarrow x=3(8-x) \Rightarrow x=6.$$

$$E(6)=\frac{432}{36}+\frac{16}{4}=12+4=16.$$