Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333428
Точечный источник света $A$ находится на высоте $3$ м над горизонтальным плоским зеркалом, а точка наблюдения $B$ — на высоте $5$ м. Расстояние между проекциями точек $A$ и $B$ на зеркало равно $8$ м. Луч от $A$ отражается от зеркала в точке, удалённой на $x$ метров от проекции точки $A$, и попадает в $B$. Длина пути луча равна $L(x)=\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(8-x)^2+25}$, $0 \leq x \leq 8$. По принципу Ферма свет распространяется по пути наименьшей длины. Найдите $x$ для этого пути. Ответ дайте в метрах.
Найдём производную как сумму производных корней. Приравняв её к нулю, перейдём к пропорции и возведём в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны. $$L'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}-\frac{8-x}{\sqrt{(8-x)^2+25}}$$ $$L'(x)=0 \Rightarrow x\sqrt{(8-x)^2+25}=(8-x)\sqrt{x^2+9}$$ $$x^2(8-x)^2+25x^2=(8-x)^2x^2+9(8-x)^2 \Rightarrow 25x^2=9(8-x)^2 \Rightarrow 5x=3(8-x) \Rightarrow x=3.$$
Проверим знаки на концах: $L'(0)=-\frac{8}{\sqrt{89}}<0$, $L'(8)=\frac{8}{\sqrt{73}}>0$.
20
