12. Планиметрия: Треугольники и их элементы

Поскольку треугольник равнобедренный, высота $CH$ делит основание $AB$ пополам:
$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$$Используем тригонометрическое тождество:
$$\cos A = \sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 A}}$$Подставляем значение $\tg A{:}$ $$\tg^2 A = \left(\frac{33}{4\sqrt{33}}\right)^2 = \frac{1\space089}{528} = \frac{33}{16}$$Тогда:$$\cos A = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{33}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}$$В прямоугольном треугольнике $AHC{:}$ $$AC = \frac{AH}{\cos A} = \frac{4}{\frac{4}{7}} = 7$$Длина стороны $AC$ равна $7$.

Дано:$$AC = BC = 25,\quad AB = 40$$Найдём высоту $CH{:}$ $$AH = \frac{AB}{2} = 20$$ $$CH = \sqrt{AC^2-AH^2} = \sqrt{25^2-20^2} = 15$$Формула синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$Вычислим $\sin A{:}$ $$\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{15}{25} = 0.6$$Значение $\sin A$ равно $0.6.$

Формулы, используемые в решении:$$\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A}$$ $$\cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 A}}$$Вычисляем $\cos{:}$ $$\cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{4\sqrt{33}}{33}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{49}{33}}} = \frac{\sqrt{33}}{7}$$Находим $\sin A{:}$ $$\sin A = \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{33}{49}} = \frac{4}{7}$$Вычисляем $AC{:}$ $$AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{4}{\frac{4}{7}} = 7$$Длина стороны $AC$ равна $7$.

Формула косинуса в прямоугольном треугольнике:
$$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$Найдём катет $AH$ по теореме Пифагора:$$AH = \sqrt{AC^2-CH^2} = \sqrt{25^2-20^2} = \sqrt{225} = 15$$Вычислим $\cos A{:}$ $$\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{15}{25} = 0.6$$Значение $\cos A$ равно $0.6$.

Формула площади треугольника:$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$Найдём высоту $h$ по теореме Пифагора:$$h = \sqrt{5^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{25-9} = 4$$Вычислим площадь:$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$Площадь треугольника равна $12$.

Свойство равнобедренного треугольника:$$\angle A = \angle B$$Свойство внешнего угла:$$\angle CBD = 180^\circ-\angle B$$Найдём угол $B{:}$ $$\angle B = 180^\circ-\angle CBD = 180^\circ-122^\circ = 58^\circ$$ Вычислим угол $C{:}$ $$\angle C = 180^\circ-2 \cdot \angle B = 180^\circ-2 \cdot 58^\circ = 64^\circ$$Угол $C$ равен $64^\circ$.

Формула высоты через сторону и синус угла:$$h = a \cdot \sin \alpha$$Вычислим высоту $AH{:}$ $$AH = AC \cdot \sin C = 4 \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$Высота $AH$ равна $2$.

Свойства прямоугольного треугольника:
$$\angle C = 90^\circ,\quad \angle A = 5^\circ,\quad \angle B = 85^\circ.$$Угол между биссектрисой $CD$ и высотой $CH{:}$ $$\angle DCH = \angle C-\angle ACD-\angle BCH$$Вычислим составляющие:$$\angle ACD = \frac{\angle C}{2} = 45^\circ$$ $$\angle BCH = 90^\circ-\angle B =5^\circ$$Искомый угол:$$\angle DCH = 90^\circ-45^\circ-5^\circ =40^\circ$$Угол между высотой и биссектрисой равен $40^\circ$.

Формула косинуса в прямоугольном треугольнике:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$Найдём гипотенузу $AB{:}$ $$AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{8}{0.8} = 10$$По теореме Пифагора найдём $BC{:}$ $$BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{100-64} = 6$$Катет $BC$ равен $6$.

Формула синуса в прямоугольном треугольнике:$$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$Вычислим $\sin A{:}$ $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{4} = 0.5$$Значение $\sin A$ равно $0.5$.

Найдём углы в равнобедренном треугольнике $ACF{:}$ $$\angle ACF = \angle A = 28^\circ$$Вычислим угол между высотой $CH$ и катетом $CB{:}$ $$\angle BCH = 90^\circ-\angle B = 62^\circ$$Определим искомый угол между медианой и высотой:$$\angle HCF = 90^\circ-\angle ACF-\angle BCH = 34^\circ$$Угол между высотой и медианой равен $34^\circ$.

Формула косинуса в прямоугольном треугольнике:
$$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$Вычислим длину отрезка $AH{:}$
$$AH = AC \cdot \cos A = 4 \cdot 0.8 = 3.2$$Длина отрезка $AH$ равна $3.2$.

Формула площади треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$Найдём основание $AC{:}$ $$AC = \frac{2S}{BM} = \frac{2 \cdot 12\sqrt{7}}{6} = 4\sqrt{7}$$Вычислим катет $AM{:}$ $$AM = \frac{AC}{2} = 2\sqrt{7}$$Найдём $AB$ по теореме Пифагора:$$AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + 6^2} = \sqrt{28 + 36} = 8$$Длина стороны $AB$ равна $8$.

Свойство средней линии треугольника:$$ \text{Средняя линия} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} $$Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $$Наибольшая средняя линия (параллельна гипотенузе):$$ m = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$Наибольшая средняя линия треугольника равна $5$.

Формула связи тригонометрических функций:$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 \alpha}}$$Высота $BH$ делит основание $AC$ пополам:$$AH = \frac{AC}{2} = 4$$Вычислим $\cos \angle BAC{:}$ $$\cos \angle BAC = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2}} = \frac{2}{3}$$Найдём длину $AB{:}$ $$AB = \frac{AH}{\cos \angle BAC} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 6$$Длина стороны $AB$ равна $6$.

Свойства медианы треугольника:$$ S_{ABM} = S_{MBC} = \frac{1}{2}S_{ABC} $$Отношение площадей треугольников с общей высотой:$$ \frac{S_{ABM}}{S_{AMK}} = \frac{AB}{AK} = 3 $$$$ S_{ABM} = 3 \cdot 5 = 15 $$Находим площадь всего треугольника:$$ S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABM} = 30 $$Площадь треугольника $ABC$ равна $30$.

В получившемся треугольнике угол необозначенный угол равен $32^\circ$  — он соответственный углу $1.$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ.$

Найдём $\angle 3{:}$ $$ \angle 3 = 180^\circ-\angle 1-\angle 2$$ $$\angle 3=180^\circ-32^\circ-77^\circ = 71^\circ $$Угол $\angle 3$ равен $71^\circ$.

Найдём внутренний угол $BCM$:
$$ \angle BCM = 180^\circ-150^\circ = 30^\circ $$В прямоугольном треугольнике $BMC{:}$ $$ BM = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 $$Длина медианы $BM$ равна $12$.

Найдём половину основания:$$ MC = \frac{AC}{2} = 7 $$Вычислим длину медианы по теореме Пифагора:
$$ BM = \sqrt{BC^2-MC^2} $$ $$BM = \sqrt{25^2-7^2} = \sqrt{576} = 24 $$Длина медианы $BM$ равна $24$.

Найдём половину основания:$$ AM = \frac{AC}{2} = 5 $$Вычислим длину медианы по теореме Пифагора:$$ BM = \sqrt{AB^2-AM^2} $$ $$BM = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{144} = 12 $$Длина медианы $BM$ равна $12$.