12. Планиметрия: #192570
В треугольнике $ABC,$ $AB = BC,$ $ AC = 8,$ $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$ Найдите $AB.$
Формула связи тригонометрических функций:$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 \alpha}}$$Высота $BH$ делит основание $AC$ пополам:$$AH = \frac{AC}{2} = 4$$Вычислим $\cos \angle BAC{:}$ $$\cos \angle BAC = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2}} = \frac{2}{3}$$Найдём длину $AB{:}$ $$AB = \frac{AH}{\cos \angle BAC} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 6$$Длина стороны $AB$ равна $6$.
20