11. Прикладная стереометрия: Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $2,3,1$ из которого вырезаны два прямоугольника со сторонами $2$ и $1.$

Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=2, b=3, c=1.$

Подставляем значения:$$S = 2\cdot(2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1) = 22$$Площадь вырезанных прямоугольников:$$S=2\cdot1\cdot2=4$$Вычитаем площадь вырезанных частей из площади поверхности параллелепипеда:$$S=22-4=18$$ Площадь поверхности многогранника равна $18.$

Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $3,3,5$ из которого вырезаны два квадрата со стороной $1.$

Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=3, b=3, c=5.$

Подставляем значения:$$S=2\cdot(3\cdot3+3\cdot5+3\cdot5)=78$$Площадь вырезанных квадратов:$$S=1\cdot1\cdot2=2$$Вычитаем площадь вырезанных частей из площади поверхности параллелепипеда:$$S=78-2=76$$Площадь поверхности многогранника равна $76.$

Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $3,4,5$ из которого вырезаны два квадрата со стороной $1.$

Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=3, b=4, c=5.$

Подставляем значения:$$S=2\cdot(3\cdot4+3\cdot5+4\cdot5)=94$$Площадь вырезанных квадратов:$$S=1\cdot1\cdot2=2$$Вычитаем площадь вырезанных частей из площади поверхности параллелепипеда:$$S=94-2=92$$Площадь поверхности многогранника равна $92.$

Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами $3,5,5.$

Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=3, b=5, c=5.$

Подставляем значения:$$S=2\cdot(3\cdot5+3\cdot5+5\cdot5)=110$$ Площадь поверхности многогранника равна $110.$

Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $3,5\spaceи\space4.$ Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S=2(ab+bc+ac)$$Подставляем значения:$$S = 2\cdot(3 \cdot 5 + 5 \cdot 4 + 3 \cdot 4)= 94$$Площадь поверхности многогранника равна $94.$

Площадь поверхности заданного многогранника можно найти, сложив площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами $6, 4,4$ и площади двух дополнительных прямоугольников со сторонами $1\space и\space 4,$ а затем вычтя площади двух «вырезанных» прямоугольников со сторонами $1\spaceи\space2.$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S=2(ab+bc+ac)$$Подставляем значения:$$S=2\cdot(6\cdot4+4\cdot4+6\cdot4)=128$$Добавляем два прямоугольника:$$S=(1\cdot4\cdot2)+128=136$$Вычитаем два «вырезанных» прямоугольника:$$S=136-(1\cdot2\cdot2)=132$$Площадь поверхности многогранника равна $132.$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда}с ребрами $4, 4, 5$ вычисляется по формуле:
$$S = 2(ab + bc + ac)$$Подставляем значения:
$$S = 2\cdot(4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 112$$Добавляем два прямоугольника со сторонами $1 \spaceи \space4{:}$
$$S = 112 + (1 \cdot 4 \cdot 2) = 120$$Вычитаем два «вырезанных» прямоугольника со сторонами $1\spaceи \space3{:}$
$$S = 120-(1 \cdot 3 \cdot 2) = 114$$Площадь поверхности многогранника равна $114.$

Сумма площадей поверхности двух прямоугольных параллелепипедов со сторонами $1, 3, 4\space и\space1, 2, 3.$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами вычисляется по формуле:
$$S = 2(ab + bc + ac)$$Для первого параллелепипеда $(1, 3, 4){:}$ $$S=2\cdot(4\cdot1+3\cdot1+4\cdot3)=38$$Для второго параллелепипеда $(1, 2, 3){:}$ $$S=2\cdot(2\cdot1+1\cdot3+2\cdot3)=22$$Общая сумма:$$S=38+22=60$$Вычитается удвоенная площадь прямоугольника со сторонами $2\space и\space3,$ который является общей гранью для двух параллелепипедов:$$S=60-(2\cdot2\cdot3)=48$$Площадь поверхности многогранника равна $48.$

Формула площади поверхности:$$S=2(ab+bc+ac)$$Вычислим площадь поверхности первого параллелепипеда с ребрами $1, 6, 4{:}$ $$S=2\cdot(4\cdot1+6\cdot1+4\cdot6)=68$$Вычислим площадь поверхности второго параллелепипеда с ребрами $1, 4, 4{:}$ $$S=2\cdot(4\cdot1+4\cdot1+4\cdot4)=48$$Суммируем площади поверхностей обоих параллелепипедов:$$S=68+48=116$$Удвоенная площадь квадрата со стороной $4$ (так как это общая грань для обоих параллелепипедов):$$S=4\cdot4\cdot2=32$$Вычтем удвоенную площадь квадрата:$$S=116-32=84$$Площадь поверхности многогранника равна $84.$

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь большого параллелепипеда с ребрами $1, 5, 7$: $$S = 2 \cdot (5 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + 7 \cdot 5) =94$$ Площадь маленького параллелепипеда с ребрами $1, 1, 2$:$$S = 2 \cdot (1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1) =10$$Сумма площадей:$$S = 94 + 10 = 104$$Вычитаем излишне учтенную площадь передней грани маленького параллелепипеда $($ $4$ площади прямоугольника $1 \times 2$ $){:}$ $$S = 104-4 \cdot (2 \cdot 1) = 96$$Площадь поверхности многогранника равна $96.$

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь первого параллелепипеда со сторонами $2, 3, 3$:$$S = 2 \cdot (3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3) = 42$$Площадь второго параллелепипеда со сторонами $5, 4, 3$:
$$S = 2 \cdot (4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 94$$Сумма площадей:$$S = 42 + 94 = 136$$Вычитаем удвоенную площадь общего прямоугольника $3 \times 2$:$$S = 136-2 \cdot (2 \cdot 3) = 124$$Площадь поверхности многогранника равна $124$.

Квадраты со стороной $1$: $$S=4\cdot1=4$$Прямоугольники со сторонами $1\spaceи\space2{:}$ $$S=2\cdot2=4$$Передняя и задняя грани (составные):$$S=2\cdot3=6$$Итоговая площадь поверхности: $$S=4+4+6=14$$Площадь поверхности многогранника равна $14.$

Поверхность креста составлена из шести поверхностей кубов, у каждого из которых отсутствует одна грань.
Площадь одного куба без одной грани:
$$S=6 \cdot (1 \cdot 1)-(1 \cdot 1) = 5$$Всего $6$ кубов в кресте.
Общая площадь поверхности:
$$S=6\cdot 5 = 30$$Площадь поверхности пространственного креста равна $30$.

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$$S = 2(ab + bc + ac)$$Первый параллелепипед $($ребра $6, 6, 2){:}$
$$S = 2 \cdot (6 \cdot 6 + 6 \cdot 2 + 6 \cdot 2) = 120$$ Второй параллелепипед $($ребра $3, 3, 4){:}$
$$S = 2 \cdot (3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 66$$Сумма площадей:$$S = 120 + 66 = 186$$Вычитаем площадь двух общих граней $(3 \times 4){:}$
$$S = 186-(2 \cdot 3 \cdot 4) = 162$$Площадь поверхности многогранника равна $162.$

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь первого параллелепипеда $($ребра $2, 4, 6){:}$
$$S = 2 \cdot (2 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 6) = 88$$Площадь второго параллелепипеда $($ребра $1, 6, 2){:}$
$$S = 2 \cdot (1 \cdot 6 + 6 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = 40$$Площадь третьего параллелепипеда $($ребра $2, 2, 2){:}$
$$S = 2 \cdot (2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 24$$Сумма площадей:$$S = 88 + 40 + 24 = 152$$Площадь поверхности многогранника равна $152$.

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь основного параллелепипеда $($ребра $6, 5, 5){:}$ $$S = 2 \cdot (6 \cdot 5 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 5) = 170\space см^ 2$$ Площади двух боковых прямоугольников:$$S = 2 \cdot (3 \cdot 2) = 12\space см^ 2$$Площади верхнего и нижнего прямоугольников:$$S = 2 \cdot (2 \cdot 5) = 20\space см^ 2$$Вычитаем площади двух боковых прямоугольников и прибавляем площади верхнего и нижнего прямоугольников:$$S = 170-12 + 20 = 178\space см^ 2$$Площадь поверхности детали равна $178\space см^ 2.$

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь основного параллелепипеда $($ребра $7, 5, 3){:}$ $$S = 2 \cdot (7 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 3) = 142\space см^2$$Вычитаем площади двух боковых прямоугольников:$$S = 2 \cdot (3 \cdot 1) = 6\space см^2$$Прибавляем площади верхнего и нижнего прямоугольников:$$S = 2 \cdot (1 \cdot 5) = 10\space см^2$$Итоговая площадь поверхности:$$S = 142-6 + 10 = 146\space см^2$$Площадь поверхности детали равна $146\space см^2.$