15. Преобразование логических выражений: все задания

Импликация ложна только тогда, когда её условие истинно, а следствие ложно.

Внутренняя импликация $\text{ДЕЛ}(x,12)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,14)$ ложна, если $x$ делится и на $12$, и на $14$. Значит, $x$ должен делиться на $\operatorname{НОК}(12,14)=84$.

Чтобы исходное выражение оставалось истинным, при каждом таком $x$ условие $\neg\text{ДЕЛ}(x,A)$ должно быть ложным. Следовательно, каждый кратный $84$ должен делиться на $A$.

Это выполняется, когда $A$ является делителем числа $84$. Наибольший возможный делитель: $A=84$.

Внутренняя импликация $\text{ДЕЛ}(x,14)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,4)$ ложна, когда $x$ делится одновременно на $14$ и на $4$.

Такие числа делятся на $\operatorname{НОК}(14,4)=28$.

Чтобы всё выражение оставалось истинным, каждый такой $x$ должен делиться на $A$. Следовательно, $A$ должно быть делителем числа $28$.

Наибольшее подходящее значение: $A=28$.

Импликация $\text{ДЕЛ}(x,3)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,5)$ ложна, когда $x$ делится одновременно на $3$ и на $5$.

Такие числа делятся на $\operatorname{НОК}(3,5)=15$.

Чтобы всё выражение оставалось истинным, для каждого такого значения $x$ должно выполняться неравенство $x+A\geqslant90$.

Самое строгое ограничение получаем при наименьшем натуральном числе, кратном $15$, то есть при $x=15$.

Тогда $15+A\geqslant90.$

Следовательно, $A\geqslant75.$

Импликация $\text{ДЕЛ}(x,2)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,3)$ ложна, когда $x$ делится одновременно на $2$ и на $3$.

Такие числа делятся на $\operatorname{НОК}(2,3)=6$.

Чтобы всё выражение оставалось истинным, для каждого такого значения $x$ должно выполняться неравенство $x+A\geqslant70$.

Самое строгое ограничение получаем при наименьшем натуральном числе, кратном $6$, то есть при $x=6$.

Тогда $$6+A\geqslant70.$$

Следовательно, $A\geqslant64.$ Наименьшее подходящее значение: $A=64$.

Импликация $(x\in B)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,15)$ ложна, когда $x$ принадлежит отрезку $B$ и одновременно делится на $15$.

На отрезке $B=[50;70]$ находится только одно число, кратное $15$: $x=60.$

При $x=60$ импликация ложна, поэтому для истинности всего выражения должно выполняться условие $$\text{ДЕЛ}(60,A).$$

Следовательно, число $A$ должно быть делителем числа $60$.

Наибольший делитель числа $60$ равен $60$. Наибольшее подходящее значение: $A=60$.

Импликация $(x\in B)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,21)$ ложна, когда $x$ принадлежит отрезку $B$ и одновременно делится на $21$.

На отрезке $B=[50;70]$ находится только одно число, кратное $21$: $x=63.$

При $x=63$ импликация ложна, поэтому для истинности всего выражения должно выполняться условие $$\text{ДЕЛ}(63,A).$$

Следовательно, число $A$ должно быть делителем числа $63$.

Наибольший делитель числа $63$ равен $63$. Наибольшее подходящее значение: $A=63$.

Импликация $(x\in B)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,11)$ ложна, когда $x$ принадлежит отрезку $B$ и одновременно делится на $11$.

На отрезке $B=[40;50]$ находится только одно число, кратное $11$: $$x=44.$$

При $x=44$ импликация ложна, поэтому для истинности всего выражения должно выполняться условие $$\text{ДЕЛ}(44,A).$$

Следовательно, число $A$ должно быть делителем числа $44$.

Наибольший делитель числа $44$ равен $44$. Наибольшее подходящее значение: $A=44$.

Импликация $(x\in B)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,13)$ ложна, когда $x$ принадлежит отрезку $B$ и одновременно делится на $13$.

На отрезке $B=[50;60]$ находится только одно число, кратное $13$: $x=52.$

При $x=52$ импликация ложна, поэтому для истинности всей формулы должно выполняться условие $$\text{ДЕЛ}(52,A).$$

Следовательно, число $A$ должно быть делителем числа $52$.

Наибольший делитель числа $52$ равен $52$. Наибольшее подходящее значение: $A=52$.

Импликация $(x\in B)\to\neg\text{ДЕЛ}(x,16)$ ложна, когда $x$ принадлежит отрезку $B$ и одновременно делится на $16$.

На отрезке $B=[50;70]$ находится только одно число, кратное $16$: $x=64.$

При $x=64$ импликация ложна, поэтому для истинности всей формулы должно выполняться условие $\text{ДЕЛ}(64,A).$

Следовательно, число $A$ должно быть делителем числа $64$.

Наибольший делитель числа $64$ равен $64$. Наибольшее подходящее значение: $A=64$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $x\leqslant A,$
• $y\leqslant A,$$
• $y\geqslant x-2,$
• $y\leqslant2x-10.$

Последние два неравенства могут выполняться одновременно, если $$x-2\leqslant2x-10.$$

Получаем: $x\geqslant8.$

При наименьшем подходящем значении $x=8$ получаем: $$y\geqslant8-2,$$ $$y\leqslant2\cdot8-10,$$ $$y=6.$$

Таким образом, при $A=8$ существуют положительные целые числа $x=8$ и $y=6$, для которых все части дизъюнкции ложны: $$(8>8)\lor(6>8)\lor(6<8-2)\lor(6>2\cdot8-10)=0.$$

Следовательно, значение $A=8$ уже не подходит.

При $A=7$ ложность выражения потребовала бы одновременно выполнения условий $x\leqslant7$ и $x\geqslant8$, что невозможно.

Наибольшее подходящее значение: $A=7$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $99=y+2x,$
• $A\geqslant x,$
• $A\geqslant y.$

Найдём такие неотрицательные целые значения $x$ и $y$, при которых выполняется равенство $y+2x=99$ и наибольшее из чисел $x$ и $y$ минимально.

Выразим $y$: $y=99-2x.$

Минимальное значение $\max(x,y)$ достигается, когда значения $x$ и $y$ максимально близки:

• $x=99-2x,$
• $3x=99,$
• $x=33.$

Тогда $y=99-2\cdot33=33.$

При $A=33$ выражение ложно для $x=33$ и $y=33$: $$(99\ne33+2\cdot33)\lor(33<33)\lor(33<33)=0.$$

Следовательно, значение $A=33$ не подходит.

При $A=32$ из условий $x\leqslant32$ и $y\leqslant32$ следует: $y+2x\leqslant32+2\cdot32=96,$ поэтому равенство $y+2x=99$ невозможно.

Наибольшее подходящее значение: $A=32$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $2x+y=80,$
• $x\geqslant y,$
• $A\geqslant x.$

Из первого равенства выразим $y$: $y=80-2x.$

Так как $y$ — целое неотрицательное число, должно выполняться: $$80-2x\geqslant0,$$ $$x\leqslant40.$$

Используем условие $x\geqslant y$: $$x\geqslant80-2x,$$ $$3x\geqslant80,$$ $$x\geqslant\frac{80}{3}.$$

Так как $x$ — целое число, получаем: $x\geqslant27.$

Следовательно, первые два условия могут одновременно выполняться при целых значениях $27\leqslant x\leqslant40.$

Наименьшее из таких значений: $x=27.$

Чтобы выражение было истинно при любых $x$ и $y$, условие $A\geqslant x$ не должно выполняться даже для наименьшего возможного значения $x=27$.

Следовательно, $A<27.$ Наибольшее целое неотрицательное значение: $A=26$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $y+3x\leqslant A,$
• $x\geqslant20,$
• $y\geqslant20.$

Наименьшее возможное значение выражения $y+3x$ при выполнении условий $x\geqslant20$ и $y\geqslant20$ достигается при $x=20$ и $y=20$: $$y+3x=20+3\cdot20=80.$$

При $A=80$ выражение ложно для $x=20$ и $y=20$: $$(20+3\cdot20>80)\lor(20<20)\lor(20<20)=0.$$

Следовательно, значение $A=80$ не подходит.

При $A=79$ для любых $x\geqslant20$ и $y\geqslant20$ выполняется: $y+3x\geqslant80>79,$ поэтому первая часть дизъюнкции истинна.

Наибольшее подходящее значение: $A=79$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $x\cdot y\leqslant A,$
• $x\leqslant y,$
• $x>8.$

Так как $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, из условия $x>8$ следует: $$x\geqslant9.$$

Из условия $x\leqslant y$ получаем: $$y\geqslant x\geqslant9.$$

Наименьшее возможное произведение $x\cdot y$ достигается при $x=9$ и $y=9$: $x\cdot y=9\cdot9=81.$

При $A=81$ выражение ложно для $x=9$ и $y=9$: $$(9\cdot9>81)\lor(9>9)\lor(8\geqslant9)=0.$$

Следовательно, значение $A=81$ не подходит.

При $A=80$ для любых $x>8$ и $x\leqslant y$ выполняется: $x\cdot y\geqslant81>80,$ поэтому первая часть дизъюнкции истинна.

Наибольшее подходящее значение: $A=80$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $69=y+2x,$
• $A\leqslant x,$
• $A\leqslant y.$

При выполнении условий $x\geqslant A$ и $y\geqslant A$ наименьшее возможное значение выражения $y+2x$ равно $A+2A=3A.$

Чтобы равенство $y+2x=69$ было невозможно, должно выполняться условие $3A>69.$ Следовательно, $A>23.$

Проверим значение $A=23$. При $x=23$ и $y=23$ получаем: $$y+2x=23+2\cdot23=69.$$

Тогда все части дизъюнкции ложны: $$(69\ne23+2\cdot23)\lor(23>23)\lor(23>23)=0.$$

Поэтому значение $A=23$ не подходит.

При $A=24$ для любых $x\geqslant24$ и $y\geqslant24$ выполняется: $y+2x\geqslant24+2\cdot24=72>69,$ поэтому равенство $y+2x=69$ невозможно. Наименьшее подходящее значение: $A=24$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $x\geqslant A,$
• $y\geqslant A,$
• $x+2y\leqslant40.$

При выполнении условий $x\geqslant A$ и $y\geqslant A$ наименьшее возможное значение выражения $x+2y$ достигается при $x=A$ и $y=A$: $$x+2y\geqslant A+2A=3A.$$

Чтобы неравенство $x+2y\leqslant40$ было невозможно, должно выполняться: $3A>40.$ Следовательно, $A>\frac{40}{3}.$

Проверим значение $A=13$. При $x=13$ и $y=13$ получаем: $$x+2y=13+2\cdot13=39\leqslant40.$$

Тогда все части дизъюнкции ложны: $$(13<13)\lor(13<13)\lor(13+2\cdot13>40)=0.$$

Поэтому значение $A=13$ не подходит.

При $A=14$ для любых $x\geqslant14$ и $y\geqslant14$ выполняется: $x+2y\geqslant14+2\cdot14=42>40,$ поэтому третья часть дизъюнкции истинна.

Наименьшее подходящее значение: $A=14$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $x\cdot y\geqslant A,$
• $x\geqslant y,$
• $x<7.$

Так как $x$ — целое неотрицательное число и $x<7$, получаем: $$0\leqslant x\leqslant6.$$

Из условия $x\geqslant y$ следует: $0\leqslant y\leqslant x.$

Наибольшее возможное значение произведения $x\cdot y$ достигается при $x=6$ и $y=6$: $x\cdot y=6\cdot6=36.$

При $A=36$ выражение ложно для $x=6$ и $y=6$: $$(6\cdot6<36)\lor(6<6)\lor(7\leqslant6)=0.$$

Следовательно, значение $A=36$ не подходит.

При $A=37$ для любых $x<7$ и $x\geqslant y$ выполняется: $x\cdot y\leqslant36<37,$ поэтому первая часть дизъюнкции истинна.

Наименьшее подходящее значение: $A=37$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $x\leqslant A,$
• $y\leqslant A,$
• $x+2y\geqslant80.$

При выполнении условий $x\leqslant A$ и $y\leqslant A$ наибольшее возможное значение выражения $x+2y$ достигается при $x=A$ и $y=A$: $$x+2y\leqslant A+2A=3A.$$

Чтобы неравенство $x+2y\geqslant80$ было невозможно, должно выполняться: $3A<80.$

Следовательно, $A<\frac{80}{3}.$

Проверим значение $A=27$. При $x=27$ и $y=27$ получаем: $$x+2y=27+2\cdot27=81\geqslant80.$$

Тогда все части дизъюнкции ложны: $$(27>27)\lor(27>27)\lor(27+2\cdot27<80)=0.$$

Поэтому значение $A=27$ не подходит.

При $A=26$ для любых $x\leqslant26$ и $y\leqslant26$ выполняется: $x+2y\leqslant26+2\cdot26=78<80,$ поэтому третья часть дизъюнкции истинна.

Наибольшее подходящее значение: $A=26$.

Дизъюнкция ложна, когда все входящие в неё условия ложны:

• $x\leqslant A,$
• $y\leqslant A,$
• $x+2y\geqslant110.$

При выполнении условий $x\leqslant A$ и $y\leqslant A$ наибольшее возможное значение выражения $x+2y$ достигается при $x=A$ и $y=A$: $$x+2y\leqslant A+2A=3A.$$

Чтобы неравенство $x+2y\geqslant110$ было невозможно, должно выполняться: $3A<110.$

Следовательно, $A<\frac{110}{3}.$

Проверим значение $A=37$. При $x=37$ и $y=37$ получаем: $$x+2y=37+2\cdot37=111\geqslant110.$$

Тогда все части дизъюнкции ложны: $$(37>37)\lor(37>37)\lor(37+2\cdot37<110)=0.$$

Поэтому значение $A=37$ не подходит.

При $A=36$ для любых $x\leqslant36$ и $y\leqslant36$ выполняется: $x+2y\leqslant36+2\cdot36=108<110,$ поэтому третья часть дизъюнкции истинна.

Наибольшее подходящее значение: $A=36$.