Уравнения с одной переменной

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите уравнение $(x^2+6x)^2+2(x^2+6x)-63=0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-7;\\ 1$","$-7;\\ -3;\\ 1$","$-7;\\ -3;\\ 1;\\ 3$","$-9;\\ 7$"],"explanations":["$t=x^2+6x$ может быть отрицательным: из $x^2+6x=-9$ получается $(x+3)^2=0$, $x=-3$","","$t$ — это не $x^2$: из $x^2+6x=-9$ получается один корень $-3$, а не $\\pm3$","Это значения $t$, а не $x$: после замены нужно вернуться к $x^2+6x=t$"],"answer":[1]}},"hints":["Спуск на ступень ниже: пусть $t=x^2+6x$. Решите квадратное уравнение $t^2+2t-63=0$, затем вернитесь к $x$ — для каждого $t$, даже отрицательного.","$t_1=-9$, $t_2=7$. Возвращаемся к $x$: $x^2+6x=-9$ дает $-3$; $x^2+6x=7$ дает $-7;\\ 1$.","Ответ: $-7;\\ -3;\\ 1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"1","content":"Решите уравнение $(x^2-6x)^2+14(x^2-6x)+45=0$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Корней нет","$1;\\ 5$","$-9;\\ -5$","$1;\\ 3;\\ 5$"],"explanations":["$t=x^2-6x$ может быть отрицательным: из $x^2-6x=-5$ получается $x=1$ и $x=5$","Потерян корень: из $x^2-6x=-9$ получается $(x-3)^2=0$, то есть $x=3$","Это значения $t$, а не $x$: после замены нужно вернуться к $x^2-6x=t$",""],"answer":[3]}},"hints":["Спуск на ступень ниже: пусть $t=x^2-6x$. Решите квадратное уравнение $t^2+14t+45=0$, затем вернитесь к $x$ — для каждого $t$, даже отрицательного.","$t_1=-9$, $t_2=-5$. Возвращаемся к $x$: $x^2-6x=-9$ дает $3$; $x^2-6x=-5$ дает $1;\\ 5$.","Ответ: $1;\\ 3;\\ 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^4-37x^2+36=0$. В ответе запишите наименьший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$. Решите уравнение $t^2-37t+36=0$ и вернитесь к $x$: каждое положительное $t$ дает два корня.","$t_1=1$, $t_2=36$. $x^2=1$ дает $x=\\pm1$, $x^2=36$ дает $x=\\pm6$.","Наименьший корень $-6$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^4-41x^2+400=0$. В ответе запишите наименьший корень. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-5"}},"hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$. Решите уравнение $t^2-41t+400=0$ и вернитесь к $x$: каждое положительное $t$ дает два корня.","$t_1=16$, $t_2=25$. $x^2=16$ дает $x=\\pm4$, $x^2=25$ дает $x=\\pm5$.","Наименьший корень $-5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите уравнения по числу корней. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Корней нет","Два корня","Четыре корня"],"items":[["$x^4+6x^2+8=0$"],["$x^4-2x^2-8=0$","$x^4+4x^2-12=0$"],["$x^4-50x^2+49=0$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по числу корней","hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$. Таможня: положительное $t$ дает два корня $x$, отрицательное — ни одного.","Значения $t$: $x^4+6x^2+8=0:\\ t=-4$ и $t=-2$; $x^4-2x^2-8=0:\\ t=-2$ и $t=4$; $x^4-50x^2+49=0:\\ t=1$ и $t=49$; $x^4+4x^2-12=0:\\ t=-6$ и $t=2$.","Считаем корни $x$ только для положительных $t$."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите уравнения по числу корней. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Корней нет","Два корня","Четыре корня"],"items":[["$x^4+5x^2+6=0$"],["$x^4-x^2-12=0$","$x^4+2x^2-3=0$"],["$x^4-53x^2+196=0$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по числу корней","hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$. Таможня: положительное $t$ дает два корня $x$, отрицательное — ни одного.","Значения $t$: $x^4+5x^2+6=0:\\ t=-3$ и $t=-2$; $x^4-x^2-12=0:\\ t=-3$ и $t=4$; $x^4-53x^2+196=0:\\ t=4$ и $t=49$; $x^4+2x^2-3=0:\\ t=-3$ и $t=1$.","Считаем корни $x$ только для положительных $t$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр решал уравнение $(x^2-4)(x+1)=(x^2-4)(2x-3)$: «Разделим обе части на $x^2-4$: $x+1=2x-3$, $x=4$. Ответ: $4$». Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Потерян корень $2$","Ошибки нет: ответ $4$","Потеряны корни $-2$ и $2$","Потерян корень $0$"],"explanations":["$x^2-4=0$ при двух значениях: $x=2$ и $x=-2$ — потеряны оба","При $x=2$ обе части равны нулю: корни $x^2-4=0$ потеряны при делении","","При $x=0$ левая часть равна $-4$, правая $12$ — не равны, $0$ не корень"],"answer":[2]}},"hints":["Таможня спуска: делить на $x^2-4$ можно только там, где $x^2-4\\ne0$. Проверьте, при каких $x$ это выражение равно нулю.","Верно: переносим все в одну часть и выносим общий множитель: $(x^2-4)\\bigl((x+1)-(2x-3)\\bigr)=0$. $x^2-4=0$ при $x=\\pm2$.","Ответ: $-2;\\ 2;\\ 4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр решал уравнение $(x^2-9)(2x+1)=(x^2-9)(x+5)$: «Разделим обе части на $x^2-9$: $2x+1=x+5$, $x=4$. Ответ: $4$». Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Потерян корень $0$","Потеряны корни $-3$ и $3$","Ошибки нет: ответ $4$","Потерян корень $3$"],"explanations":["При $x=0$ левая часть равна $-9$, правая $-45$ — не равны, $0$ не корень","","При $x=3$ обе части равны нулю: корни $x^2-9=0$ потеряны при делении","$x^2-9=0$ при двух значениях: $x=3$ и $x=-3$ — потеряны оба"],"answer":[1]}},"hints":["Таможня спуска: делить на $x^2-9$ можно только там, где $x^2-9\\ne0$. Проверьте, при каких $x$ это выражение равно нулю.","Верно: переносим все в одну часть и выносим общий множитель: $(x^2-9)\\bigl((2x+1)-(x+5)\\bigr)=0$. $x^2-9=0$ при $x=\\pm3$.","Ответ: $-3;\\ 3;\\ 4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x^2-5x+4}{x-4}=0$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Корней нет","$4$","$1$","$1;\\ 4$"],"explanations":["При $x=1$ числитель равен нулю, а знаменатель — нет: $1$ корень","При $x=4$ знаменатель равен нулю, а $1$ подходит","","При $x=4$ знаменатель равен нулю: это посторонний корень"],"answer":[2]}},"hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.","$x^2-5x+4=0$: $x_1=1$, $x_2=4$. ОДЗ: $x\\ne4$.","$x=4$ — посторонний корень. Ответ: $1$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x^2+2x-15}{x+5}=0$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$-5$","$3$","$-5;\\ 3$","Корней нет"],"explanations":["При $x=-5$ знаменатель равен нулю, а $3$ подходит","","При $x=-5$ знаменатель равен нулю: это посторонний корень","При $x=3$ числитель равен нулю, а знаменатель — нет: $3$ корень"],"answer":[1]}},"hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.","$x^2+2x-15=0$: $x_1=-5$, $x_2=3$. ОДЗ: $x\\ne-5$.","$x=-5$ — посторонний корень. Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x}{x-5}-\\dfrac{2}{x+5}=\\dfrac{50}{x^2-25}$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-8"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne5$, $x\\ne-5$. Общий знаменатель $x^2-25=(x-5)(x+5)$.","Умножаем на него: $x(x+5)-2(x-5)=50$, $x^2+3x-40=0$, $x_1=-8$, $x_2=5$.","$x=5$ не входит в ОДЗ. Ответ: $-8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x}{x-4}-\\dfrac{5}{x+4}=\\dfrac{32}{x^2-16}$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne4$, $x\\ne-4$. Общий знаменатель $x^2-16=(x-4)(x+4)$.","Умножаем на него: $x(x+4)-5(x-4)=32$, $x^2-x-12=0$, $x_1=-3$, $x_2=4$.","$x=4$ не входит в ОДЗ. Ответ: $-3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Собственная скорость катера $18$ км/ч, скорость течения реки $2$ км/ч. Соотнесите величину и ее значение. Одно значение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Скорость катера по течению, км/ч","Скорость катера против течения, км/ч","Путь катера против течения за $2$ ч, км"],"items":["$20$","$16$","$32$","$18$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и значение","hints":["Заполните строку таблицы «скорость — время — путь»: по течению река помогает, против — мешает.","По течению: $18+2=20$ км/ч. Против течения: $18-2=16$ км/ч.","Путь против течения за $2$ ч: $16\\cdot2=32$ км. $18$ км/ч — собственная скорость, она лишняя."],"step":1},{"id":"7","content":"Собственная скорость катера $16$ км/ч, скорость течения реки $3$ км/ч. Соотнесите величину и ее значение. Одно значение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Скорость катера по течению, км/ч","Скорость катера против течения, км/ч","Путь катера против течения за $2$ ч, км"],"items":["$19$","$13$","$26$","$16$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и значение","hints":["Заполните строку таблицы «скорость — время — путь»: по течению река помогает, против — мешает.","По течению: $16+3=19$ км/ч. Против течения: $16-3=13$ км/ч.","Путь против течения за $2$ ч: $13\\cdot2=26$ км. $16$ км/ч — собственная скорость, она лишняя."],"step":1},{"id":"8","content":"Два велосипедиста одновременно выехали из поселка на станцию, до которой $36$ км. Скорость первого на $3$ км/ч больше скорости второго, и первый прибыл на $1$ ч раньше второго. Найдите скорость первого в км/ч. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Пусть $v$ км/ч — скорость второго, $v>0$. Тогда скорость первого $v+3$ км/ч. Составьте уравнение по времени: второй был в пути дольше на $1$ ч.","$\\dfrac{36}{v}-\\dfrac{36}{v+3}=1$, отсюда $v^2+3v-108=0$, $v_1=9$, $v_2=-12$ — скорость не бывает отрицательной.","Таможня: $v=9$ — скорость второго, а спрашивают про первого: $9+3=12$. Ответ: $12$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Два автомобиля одновременно выехали из города $A$ в город $B$, до которого $300$ км. Скорость первого на $10$ км/ч больше скорости второго, и первый прибыл на $1$ ч раньше второго. Найдите скорость первого в км/ч. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Пусть $v$ км/ч — скорость второго, $v>0$. Тогда скорость первого $v+10$ км/ч. Составьте уравнение по времени: второй был в пути дольше на $1$ ч.","$\\dfrac{300}{v}-\\dfrac{300}{v+10}=1$, отсюда $v^2+10v-3000=0$, $v_1=50$, $v_2=-60$ — скорость не бывает отрицательной.","Таможня: $v=50$ — скорость второго, а спрашивают про первого: $50+10=60$. Ответ: $60$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"К $100$ г раствора соли с концентрацией $30\\%$ добавили $50$ г воды. Какова концентрация соли в новом растворе?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$25\\%$","$60\\%$","$30\\%$","$20\\%$"],"explanations":["$30:120$ — это соль к воде; концентрацию считают от всего раствора $150$ г","$30:50$ — соль к добавленной воде; делить нужно на массу всего нового раствора $150$ г","Соли столько же — $30$ г, но раствора стало больше: $100+50=150$ г, значит, концентрация меньше",""],"answer":[3]}},"hints":["Таможня смысла: при добавлении воды соли не прибавляется — меняется только масса раствора. Найдите массу соли.","Соли $30\\%$ от $100$ г: $30$ г. Новый раствор: $100+50=150$ г.","Концентрация: $30:150=0{,}2$. Ответ: $20\\%$."],"step":1},{"id":"9","content":"К $60$ г раствора соли с концентрацией $70\\%$ добавили $150$ г воды. Какова концентрация соли в новом растворе?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$28\\%$","$25\\%$","$20\\%$","$70\\%$"],"explanations":["$42:150$ — соль к добавленной воде; делить нужно на массу всего нового раствора $210$ г","$42:168$ — это соль к воде; концентрацию считают от всего раствора $210$ г","","Соли столько же — $42$ г, но раствора стало больше: $60+150=210$ г, значит, концентрация меньше"],"answer":[2]}},"hints":["Таможня смысла: при добавлении воды соли не прибавляется — меняется только масса раствора. Найдите массу соли.","Соли $70\\%$ от $60$ г: $42$ г. Новый раствор: $60+150=210$ г.","Концентрация: $42:210=0{,}2$. Ответ: $20\\%$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решите уравнение $x^3+6x^2-x-6=0$. В ответе запишите наименьший корень. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["Спуск: сгруппируйте первые два и последние два слагаемых и вынесите общий множитель из каждой группы.","$x^2(x+6)-(x+6)=0$, $\\ (x+6)(x-1)(x+1)=0$.","Корни: $-6;\\ -1;\\ 1$. Наименьший $-6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решите уравнение $x^3-4x^2-9x+36=0$. В ответе запишите наименьший корень. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Спуск: сгруппируйте первые два и последние два слагаемых и вынесите общий множитель из каждой группы.","$x^2(x-4)-9(x-4)=0$, $\\ (x-4)(x-3)(x+3)=0$.","Корни: $-3;\\ 3;\\ 4$. Наименьший $-3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>