9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Уравнения с одной переменной

Квадратные уравнения: повторение и замена переменной

Содержание

В 8 классе вы научились решать квадратные уравнения: неполные, по формуле корней, а проверять корни помогала теорема Виета. В этом уроке коротко повторим эти способы и освоим новый прием — замену переменной. Вопрос урока: как решить уравнение четвертой степени $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0$, если формулу корней мы знаем только для квадратных уравнений?

Неполное уравнение решается в один шаг, полное — через дискриминант

Представим лестницу степеней. Наверху — уравнения высоких степеней, ниже — квадратные (степень $2$), еще ниже — линейные (степень $1$), внизу — ответ: числа. Решить уравнение — значит спуститься по этой лестнице до чисел. На каждом спуске работает «таможня»: проверяем, что корни не потеряны и лишние не появились.

Неполные квадратные уравнения спускаются вниз за один шаг. Посмотрите на три примера.

Уравнение	Чего нет	Первый шаг	Ответ
$5x^2=0$	$b$ и $c$	Делим на $5$: $x^2=0$	$0$
$3x^2-48=0$	$bx$	Переносим $48$: $x^2=16$, то есть $x=4$ или $x=-4$	$-4;\ 4$
$2x^2+6x=0$	$c$	Выносим $2x$: $2x(x+3)=0$	$-3;\ 0$

Лестница степеней: уравнение 2x в квадрате плюс 6x равно нулю выносом множителя 2x распадается на два уравнения первой степени 2x равно 0 и x плюс 3 равно 0, корни 0 и минус 3; делить на x нельзя, корень 0 потеряется. Сверху бледная ступень четвертой степени с вопросом — Уравнение $2x^2+6x=0$ распадается на два уравнения первой степени: $2x=0$ или $x+3=0$

В третьем примере произведение $2x(x+3)$ равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Одно квадратное уравнение превратилось в два линейных: $2x=0$ или $x+3=0$. Это и есть спуск на ступень $1$.

Важно

Обе части уравнения $2x^2+6x=0$ хочется разделить на $x$: получится $2x+6=0$ и $x=-3$. Но при $x=0$ исходное уравнение верно: $0=0$. После деления этот корень пропал. Делить на выражение с переменной нельзя — таможня не пропустит потерю корня.

Правило

Для полного уравнения $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$, сначала находят дискриминант:

$$D=b^2-4ac$$

При $D>0$ уравнение имеет два корня, при $D=0$ — один корень, при $D<0$ корней нет.

Например, у $x^2-6x+9=0$ дискриминант $D=36-36=0$ — один корень. У $2x^2-3x-5=0$ дискриминант $D=9+40=49>0$ — два корня. У $x^2+2x+5=0$ дискриминант $D=4-20=-16<0$ — корней нет. Число корней известно еще до того, как их нашли.

{"questions":[{"content":"Соотнесите неполное квадратное уравнение и удобный первый шаг решения. Один шаг лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$2x^2-50=0$","$4x^2+20x=0$","$9x^2=0$"],"items":["Перенести $50$ вправо: $2x^2=50$","Вынести $4x$ за скобки: $4x(x+5)=0$","Разделить на $9$: $x^2=0$","Разделить обе части на $x$: $4x+20=0$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и первый шаг","hints":["Если нет члена с $x$, число переносят вправо и делят на $a$: получается $x^2=k$.","Если нет свободного члена, выносят общий множитель с $x$: произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.","Ответ: $2x^2-50=0$ — перенести $50$ вправо; $4x^2+20x=0$ — вынести $4x$; $9x^2=0$ — разделить на $9$. Деление на $x$ — лишний шаг: он теряет корень $x=0$."],"step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $2x^2-4x+5=0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Два корня","Корней нет","Нельзя сказать, пока корни не найдены","Один корень"],"explanations":["В $D=b^2-4ac$ произведение $4ac=40$ вычитают: получилось $16-40$, а не $16+40$","","Знак дискриминанта показывает число корней до их вычисления","Один корень бывает при $D=0$, а здесь $D=-24$"],"answer":[1]}},"hints":["Считаем $D=b^2-4ac=(-4)^2-4\\cdot2\\cdot5$.","$D=16-40=-24<0$, корней нет."],"step":1}],"mix":1}

Формула дает корни, а теорема Виета их проверяет

Формула корней

Если $D\ge0$, корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ находят по формуле

$$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$$

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, то

$$x_1+x_2=-\dfrac ba,\qquad x_1x_2=\dfrac ca$$

Для приведенного уравнения $x^2+px+q=0$ (в нем $a=1$): $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.

Пример

Решите уравнение $3x^2-5x-2=0$.

Здесь $a=3$, $b=-5$, $c=-2$. Дискриминант: $D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49$.

Корни: $x=\dfrac{5\pm7}{6}$, то есть $x_1=\dfrac{5-7}{6}=-\dfrac13$ и $x_2=\dfrac{5+7}{6}=2$.

Проверка по теореме Виета: $-\dfrac13+2=\dfrac53$ и $-\dfrac ba=\dfrac53$; $-\dfrac13\cdot2=-\dfrac23$ и $\dfrac ca=-\dfrac23$. Совпало.

Ответ: $-\dfrac13;\ 2$.

Зачем проверять? Самая частая ошибка в формуле — потерянный знак у $-b$. Если вместо $5$ взять $-5$, получится $x=\dfrac{-5\pm7}{6}$, то есть $\dfrac13$ и $-2$. Произведение снова $-\dfrac23$, а сумма $-\dfrac53$ не совпадает с $\dfrac53$. Таможня по Виета сразу видит ошибку.

Проверка	По найденным корням	По коэффициентам	Итог
Сумма, корни $-\frac13$ и $2$	$\frac53$	$-\frac ba=\frac53$	Совпало
Произведение, корни $-\frac13$ и $2$	$-\frac23$	$\frac ca=-\frac23$	Совпало
Сумма, корни $\frac13$ и $-2$ (знак $b$ потерян)	$-\frac53$	$-\frac ba=\frac53$	Ошибка

Теорема Виета работает и в обратную сторону: по корням можно составить приведенное уравнение. Если корни равны $-3$ и $4$, то $p=-(-3+4)=-1$ и $q=-3\cdot4=-12$, то есть $x^2-x-12=0$.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $x^2-7x+10=0$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Находим дискриминант: $D=(-7)^2-4\\cdot1\\cdot10=9$.","$x=\\dfrac{7\\pm3}{2}$: $x_1=2$, $x_2=5$.","Наибольший корень: $5$."],"step":1},{"content":"Не решая уравнение $x^2-5x-14=0$, найдите произведение его корней. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-14"}},"hints":["По теореме Виета $x_1x_2=\\dfrac ca$.","$c=-14$, $a=1$, значит $x_1x_2=-14$."],"step":1}],"mix":1}

В уравнении четвертой степени одно выражение повторяется

Вернемся к уравнению из начала урока: $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0$. Если раскрыть скобки, получится $x^4+2x^3-7x^2-8x+12=0$. Это верхняя ступень лестницы — степень $4$, и формулы корней для нее в школьном курсе нет.

Посмотрите на запись до раскрытия скобок. Выражение $x^2+x$ встречается в ней дважды: один раз в квадрате, другой раз умноженным на $-8$. Других слагаемых с $x$ нет.

Уравнение (x в квадрате плюс x) в квадрате минус 8 раз (x в квадрате плюс x) плюс 12 равно нулю: выражение x в квадрате плюс x входит дважды, оба раза на одинаковой подсветке. Ниже после раскрытия скобок уравнение четвертой степени, где повтор не виден — Выражение $x^2+x$ входит в уравнение дважды; после раскрытия скобок повтор уже не виден

Иксератопс спрашивает: «Что подставить?» Подставим $x=1$. Тогда $x^2+x=2$, и левая часть равна $2^2-8\cdot2+12=0$, значит, $x=1$ — корень. При $x=3$ выражение $x^2+x=12$, и левая часть равна $12^2-8\cdot12+12=60$. Каждый раз нам нужно только значение выражения $x^2+x$, а не само $x$. Значит, это выражение можно обозначить одной буквой $t$ — это и есть замена переменной; как ее вводят, расскажем в следующем разделе.

Обратите внимание

Выражение должно повторяться целиком, вместе со знаками. В уравнении $(x^2+x)^2-8(x^2-x)+12=0$ в скобках стоят разные выражения: $x^2+x$ и $x^2-x$. Одной буквой их не заменить.

{"questions":[{"content":"В каких уравнениях одно и то же выражение встречается дважды, так что его можно обозначить буквой $t$?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Выражение повторяется","Повтора нет"],"items":[["$(x^2-5x)^2+2(x^2-5x)-24=0$","$(3x+2)^2-4(3x+2)+3=0$","$(x^2+1)^2-7(x^2+1)+10=0$"],["$(x^2-5x)^2+2x-24=0$","$(3x+2)^2-4(3x-2)+3=0$","$(x^2+2x)^2-8(x^2-2x)+12=0$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Сравните выражение в квадрате и выражение, которое умножено на число: они должны совпадать полностью, вместе со знаками.","В $(3x+2)^2-4(3x-2)+3=0$ в скобках $3x+2$ и $3x-2$ — разные выражения; в $(x^2-5x)^2+2x-24=0$ второй раз стоит только $2x$; в $(x^2+2x)^2-8(x^2-2x)+12=0$ — $x^2+2x$ и $x^2-2x$.","Ответ: повтор есть в $(x^2-5x)^2+2(x^2-5x)-24=0$, $(3x+2)^2-4(3x+2)+3=0$, $(x^2+1)^2-7(x^2+1)+10=0$; в остальных трех его нет."],"step":1},{"content":"Какую замену удобно ввести в уравнении $(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$t=(x^2-3x)^2$","$t=x$","$t=x^2$","$t=x^2-3x$"],"explanations":["Тогда в уравнении останется еще и сама скобка $x^2-3x$, которая выражается через $\\sqrt t$ неудобно","Такая замена ничего не упрощает: уравнение осталось бы четвертой степени","Член $-3x$ остался бы вне замены, а в уравнении повторяется вся скобка $x^2-3x$",""],"answer":[3]}},"hints":["Ищем выражение, которое повторяется целиком.","Это скобка $x^2-3x$: она есть и в квадрате, и отдельно.","Вводим $t=x^2-3x$."],"step":1}],"mix":1}

Новая буква спускает уравнение на ступень квадратных

Определение

Замена переменной — прием, при котором повторяющееся выражение обозначают новой буквой и решают уравнение относительно этой буквы.

Пусть $t=x^2+x$. Тогда $(x^2+x)^2=t^2$ и $-8(x^2+x)=-8t$. Уравнение принимает вид

$$t^2-8t+12=0$$

Это обычное квадратное уравнение: со ступени $4$ мы спустились на ступень $2$.

Пример

Решите уравнение $t^2-8t+12=0$.

$D=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16$, $t=\dfrac{8\pm4}{2}$: $t_1=2$, $t_2=6$.

Проверка по теореме Виета: $2+6=8$ и $2\cdot6=12$. Совпало.

График y равно t в квадрате минус 8t плюс 12: парабола пересекает ось t в точках t1 равно 2 и t2 равно 6. Это значения выражения x в квадрате плюс x, а не корни x: t еще не ответ — Парабола $y=t^2-8t+12$ пересекает ось $t$ в точках $t=2$ и $t=6$. Это значения $t$, а не корни исходного уравнения

На графике видно: парабола пересекает ось $t$ в двух точках, $t=2$ и $t=6$. Но в уравнении из начала урока неизвестное — $x$. Значения $t$ говорят только, чему равно выражение $x^2+x$. До ответа остается еще один спуск.

{"questions":[{"content":"После замены $t=x^2-3x$ уравнение $(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0$ принимает вид [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$t^2-2x^2+6x-8=0$","$t-2t-8=0$","$t^2-2t-8=0$","$t^2-2(x^2-3x)-8=0$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите уравнение","hints":["Выражение $x^2-3x$ заменяют буквой $t$ везде, где оно встречается: и в квадрате, и в слагаемом $-2(x^2-3x)$.","$(x^2-3x)^2=t^2$, $-2(x^2-3x)=-2t$.","Ответ: $t^2-2t-8=0$."],"step":1},{"content":"После замены $t=x^2-3x$ получилось уравнение $t^2-2t-8=0$. Найдите наибольшее значение $t$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$D=(-2)^2-4\\cdot1\\cdot(-8)=36$.","$t=\\dfrac{2\\pm6}{2}$: $t_1=-2$, $t_2=4$.","Наибольшее значение: $4$."],"step":1}],"mix":1}

Каждое значение t дает свое уравнение для x

Значение $t=2$ означает, что $x^2+x=2$. Значение $t=6$ означает, что $x^2+x=6$. Получились два квадратных уравнения — две ветки решения.

Пример

Закончим решение уравнения $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0$.

Ветка $t=2$: $x^2+x=2$, то есть $x^2+x-2=0$; $D=1+8=9$, $x=\dfrac{-1\pm3}{2}$: $x_1=-2$, $x_2=1$.

Ветка $t=6$: $x^2+x=6$, то есть $x^2+x-6=0$; $D=1+24=25$, $x=\dfrac{-1\pm5}{2}$: $x_3=-3$, $x_4=2$.

Проверка подстановкой $x=-3$: $x^2+x=9-3=6$, и $6^2-8\cdot6+12=0$. Верно.

Ответ: $-3;\ -2;\ 1;\ 2$.

Дерево возврата к x. Замена t равно x в квадрате плюс x дает t в квадрате минус 8t плюс 12 равно нулю, t равно 2 или 6. Ветка t равно 2: x в квадрате плюс x равно 2, корни минус 2 и 1. Ветка t равно 6: x в квадрате плюс x равно 6, корни минус 3 и 2. Ответ: минус 3; минус 2; 1; 2 — Два значения $t$ — две ветки, в каждой свое квадратное уравнение для $x$: всего четыре корня

Алгоритм

Метод замены переменной

Находим в уравнении повторяющееся выражение и обозначаем его буквой $t$.
Решаем полученное квадратное уравнение относительно $t$.
Для каждого найденного $t$ записываем уравнение «выражение $=t$».
Решаем эти уравнения и находим $x$.
В ответ записываем значения $x$, а не значения $t$.

Ошибка

Вообразавр решил уравнение $t^2-8t+12=0$ и записал: «Ответ: $2;\ 6$». Он считает, что $t$ — это и есть $x$.

Проверим на числах. При $x=6$ выражение $x^2+x=42$, и левая часть равна $42^2-8\cdot42+12=1440\ne0$. Значит, $6$ — не корень. Число $2$ оказалось корнем случайно: при $x=2$ как раз $x^2+x=6$. А корни $-3$, $-2$ и $1$ потеряны.

Рассуждение сломалось после шага 2 алгоритма: шаги 3 и 4 пропущены, а $t$ — это значение выражения $x^2+x$, а не $x$. Таможня не выпускает $t$ в ответ.

Ошибка: решили уравнение по t и записали значения t как ответ 2 и 6. Спуск к x не сделан, три корня минус 3, минус 2 и 1 потеряны. Проверка: при x равном 6 выражение x в квадрате плюс x равно 42 и левая часть равна 1440, не нуль. Корень 2 совпал случайно — Ответ «$2;\ 6$» — значения $t$: спуск к $x$ не сделан, $6$ не корень, три корня потеряны

Важно

Ветка может дать два корня, один или ни одного — это решает дискриминант уравнения для $x$. Если бы получилось $t=-1$, то уравнение $x^2+x=-1$, то есть $x^2+x+1=0$, имело бы $D=1-4=-3<0$: ветка пустая. Поэтому корни уравнения после замены считают по веткам, а не по числу значений $t$.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $x^2-3x=4$ и найдите сумму его корней. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Переносим $4$ влево: $x^2-3x-4=0$.","$D=9+16=25$, $x_1=-1$, $x_2=4$.","Сумма корней $-1+4=3$."],"step":1},{"content":"Вообразавр решал уравнение $(x^2+x)^2-(x^2+x)-6=0$. Он положил $t=x^2+x$, получил $t^2-t-6=0$, нашел $t_1=3$, $t_2=-2$ и записал ответ: «$3;\\ -2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отрицательное $t$ надо было отбросить","Замена $t=x^2+x$ выбрана неверно","Ошибка в решении уравнения по $t$","В ответ записаны значения $t$, а не $x$"],"explanations":["Ограничение $t\\ge0$ бывает при $t=x^2$, а $x^2+x$ может быть и отрицательным","Выражение $x^2+x$ повторяется целиком, замена подобрана верно","Проверка: $3^2-3-6=0$ и $(-2)^2+2-6=0$, значения $t$ найдены верно",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверяем решение по $t$: $t^2-t-6=0$ дает $t=3$ и $t=-2$ — верно.","Но $t$ — это значение выражения $x^2+x$, а не $x$.","Нужно решить $x^2+x=3$ и $x^2+x=-2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Повторяться может и выражение первой степени

Тот же прием работает, когда повторяется линейное выражение. В уравнении $(2x+1)^2-2(2x+1)-15=0$ дважды встречается $2x+1$.

Пример

Решите уравнение $(2x+1)^2-2(2x+1)-15=0$.

Пусть $t=2x+1$. Тогда $t^2-2t-15=0$; $D=4+60=64$, $t=\dfrac{2\pm8}{2}$: $t_1=-3$, $t_2=5$.

Возвращаемся к $x$: $2x+1=-3$, $x=-2$; $2x+1=5$, $x=2$.

Проверка другим способом: раскроем скобки, $4x^2+4x+1-4x-2-15=0$, то есть $4x^2-16=0$. Это неполное уравнение: $x^2=4$, $x=\pm2$. Совпало.

Ответ: $-2;\ 2$.

Здесь можно было обойтись без замены: уравнение и так квадратное, замена лишь избавила от раскрытия скобок. А в уравнении из начала урока раскрытие скобок дает четвертую степень, и без замены спуститься не получается. Сколько корней дает одна ветка, зависит от того, что заменили.

Что заменили	Уравнение для $x$	Сколько $x$ дает одно $t$
$t=2x+1$	$2x+1=t$ — первой степени	Ровно один
$t=x^2+x$	$x^2+x=t$ — квадратное	Два, один или ни одного — по $D$

Теперь ответ на вопрос из начала урока полный. Уравнение четвертой степени $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0$ решилось двумя спусками на ступень квадратных: сначала по $t$, потом по $x$ в каждой ветке. Его корни: $-3;\ -2;\ 1;\ 2$.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $(2x-1)^2-3(2x-1)-10=0$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Пусть $t=2x-1$: $t^2-3t-10=0$, откуда $t_1=-2$, $t_2=5$.","Возвращаемся: $2x-1=-2$, $x=-0{,}5$; $2x-1=5$, $x=3$.","Наибольший корень: $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги решения уравнения методом замены переменной в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Обозначить повторяющееся выражение буквой $t$","Затем решить полученное квадратное уравнение относительно $t$","Теперь для каждого найденного $t$ составить уравнение для $x$","После этого решить эти уравнения и найти $x$","Наконец записать в ответ найденные значения $x$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Сначала в уравнении находят повторяющееся выражение.","Затем решают квадратное уравнение относительно $t$.","Для каждого $t$ записывают уравнение «выражение $=t$».","Решают их, затем записывают значения $x$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Квадратное уравнение — ступень, на которую сводятся многие уравнения 9 класса. Метод замены переменной встречается в заданиях второй части ОГЭ: уравнение высокой степени сводят к квадратному и затем возвращаются к $x$. Чтобы быстро вспомнить главное, держите в голове лестницу степеней.

В следующем уроке повторяться будет само $x^2$: так устроены биквадратные уравнения, например $x^4-5x^2+4=0$.

Часто задаваемые вопросы

Как понять, что в уравнении нужна замена?

Ищите выражение с $x$, которое встречается в уравнении дважды целиком: например, в квадрате и еще раз умноженным на число. Если раскрытие скобок дает уравнение третьей или четвертой степени, повтор особенно полезно поискать до раскрытия.

Почему нельзя записать в ответ найденные значения t?

Буквой $t$ обозначено значение выражения, например $x^2+x$, а спрашивают про $x$. В примере урока $t=6$, но $x=6$ не корень: левая часть равна $1440$. Нужно решить уравнение «выражение $=t$» для каждого $t$.

Можно ли отбросить отрицательное значение t?

При замене $t=x^2+x$ — нет: это выражение бывает отрицательным, например при $x=-\frac12$ оно равно $-\frac14$. Отрицательное $t$ нужно проверить своей веткой: она может дать корни или оказаться пустой. Ограничение $t\ge0$ появляется, когда $t=x^2$, — об этом следующий урок.

Сколько корней может получиться, если заменили квадратное выражение?

Если заменили выражение вроде $x^2+x$, корней не больше четырех: каждая из двух веток дает два, один или ни одного корня. Поэтому корни считают по веткам: например, у уравнения $(x^2+4x)^2-(x^2+4x)-20=0$ значения $t=-4$ и $t=5$ дают один и два корня, всего три.

Нужно ли проверять корни подстановкой?

Замена переменной не добавляет лишних корней, поэтому проверка нужна, чтобы поймать ошибку в вычислениях. Удобно проверять каждую ветку по теореме Виета или подставить один корень в исходное уравнение.

Награды за урок