9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Уравнения с одной переменной

Биквадратные уравнения: замена t = x² и число корней

Содержание

В уроке «Квадратные уравнения: повторение и замена переменной» вы решали уравнения заменой: нашли повторяющееся выражение, обозначили его буквой $t$, решили квадратное уравнение по $t$ и вернулись к $x$. Теперь применим этот прием к уравнениям вида $ax^4+bx^2+c=0$. Вы научитесь решать их, отбрасывать лишние значения $t$ и заранее определять, сколько у уравнения корней. Вопрос, на который ответим в конце урока: у квадратного уравнения не больше двух корней, а сколько корней может быть у уравнения $x^4-2x^2+c=0$ при разных значениях $c$?

Четвертая степень — это квадрат квадрата

Рассмотрим уравнение $x^4-20x^2+64=0$. В нем есть $x^4$ и $x^2$, а $x^3$ и $x$ в первой степени нет. Заметим, что $x^4=x^2\cdot x^2=(x^2)^2$. Значит, в уравнении дважды встречается одно и то же выражение — $x^2$: один раз в квадрате, другой раз в первой степени.

Обозначим это выражение буквой: пусть $t=x^2$. Тогда $x^4=t^2$, и уравнение превращается в квадратное: $t^2-20t+64=0$. Мы спустились со ступени «степень 4» на ступень «степень 2», которую уже умеем проходить по формуле корней.

Лестница степеней: уравнение x в четвертой минус 20 x в квадрате плюс 64 равно нулю спуском t равно x в квадрате, t не меньше нуля, сводится к t в квадрате минус 20t плюс 64 равно нулю. Таможня: t не меньше нуля. Значения t равны 4 и 16, подъем x в квадрате равно t дает x равно плюс-минус 2 и плюс-минус 4 — Замена t = x² спускает уравнение четвертой степени на ступень квадратного; после решения поднимаемся обратно к x

Определение

Биквадратное уравнение — уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0,$$ где $x$ — переменная, $a$, $b$, $c$ — числа и $a\ne0$. Приставка «би» означает «дважды»: $x^4$ — квадрат квадрата.

Главный признак — в уравнении только четные степени $x^4$ и $x^2$ и число. Коэффициенты $b$ и $c$ могут равняться нулю: $x^4-9x^2=0$ и $x^4-16=0$ тоже биквадратные. А уравнения $x^4-3x^3+2=0$ и $x^4-5x+4=0$ — нет: $x^3$ и $x$ через $x^2$ не выражаются, и замена $t=x^2$ их не упростит.

{"questions":[{"content":"Какое из уравнений биквадратное?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^4-3x+2=0$","$x^4-5x^2+4=0$","$x^3-5x^2+4=0$","$x^4+x^3-2=0$"],"explanations":["Есть член $3x$ в первой степени, заменой $t=x^2$ он не выражается","","Старшая степень — третья, а в биквадратном уравнении она четвертая","Есть $x^3$: нечетная степень не сводится к замене $t=x^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Биквадратное уравнение имеет вид $ax^4+bx^2+c=0$: только четвертая и вторая степени и свободный член.","Подходит $x^4-5x^2+4=0$."],"step":1},{"content":"В уравнении $3x^4-7x^2+2=0$ сделали замену $t=x^2$. Получилось уравнение [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$3t^2-7\\sqrt t+2=0$","$3t^4-7t^2+2=0$","$3t-7t+2=0$","$3t^2-7t+2=0$"],"answer":3}},"hints":["$x^4=(x^2)^2$, поэтому при $t=x^2$ слагаемое $3x^4$ становится $3t^2$.","Слагаемое $-7x^2$ становится $-7t$, число $2$ не меняется.","Ответ: $3t^2-7t+2=0$."],"step":1}],"mix":1}

Новая переменная не бывает отрицательной

Буква $t$ здесь не любое число: $t$ — это квадрат. Возведем в квадрат несколько чисел: $3^2=9$, $(-3)^2=9$, $0^2=0$, $(-0{,}5)^2=0{,}25$. Ни разу не получилось отрицательное число и не получится никогда: произведение двух чисел одного знака положительно, а $0\cdot0=0$.

Поэтому на числовой оси для $t$ разрешена только правая половина вместе с нулем. Левая половина закрыта: там $t$ не может оказаться, какое бы $x$ мы ни взяли. Это «таможня» на спуске по лестнице: каждое найденное значение $t$ проверяем, прежде чем подниматься к $x$.

Числовая ось значений t от минус 6 до 10. Левая половина, где t меньше нуля, закрашена красной штриховкой: здесь t не бывает. Правая половина со значением t равным x в квадрате, не меньше нуля. Числа x равные 3 и минус 3 попадают в одну точку t равную 9, число 0 в точку 0, число минус 0,5 в точку 0,25. На нуле таможня — t = x² ≥ 0: значения t слева от нуля не дают ни одного x

Правило

Чтобы решить биквадратное уравнение $ax^4+bx^2+c=0$:

Введите замену: пусть $t=x^2$, $t\ge0$.
Решите квадратное уравнение $at^2+bt+c=0$.
Отберите значения $t\ge0$, отрицательные отбросьте.
Для каждого отобранного $t$ решите уравнение $x^2=t$ и запишите ответ — значения $x$, а не $t$.

Пример

Решите уравнение $x^4-20x^2+64=0$.

Решение. Пусть $t=x^2$, $t\ge0$. Получаем $t^2-20t+64=0$.

$D=(-20)^2-4\cdot64=400-256=144$, $t_{1,2}=\frac{20\pm12}{2}$, $t_1=4$, $t_2=16$.

Оба значения неотрицательны — проходят. Возвращаемся к $x$: $x^2=4$, $x=\pm2$; $x^2=16$, $x=\pm4$.

Проверка для $x=2$: $16-80+64=0$. Для $x=-2$ получится то же самое, ведь в уравнении только четные степени.

Ответ: $-4;\ -2;\ 2;\ 4$.

{"questions":[{"content":"При решении биквадратного уравнения получили $t=-9$, где $t=x^2$. Что это значит для $x$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=\\pm3$","$x=-9$","Из $t=-9$ корней $x$ нет: $x^2$ не бывает отрицательным","Один корень $x=9$"],"explanations":["Из $9$ корень извлекают, а у $-9$ в действительных числах корня нет: $\\sqrt{-9}$ не существует","Это перепутанные $x$ и $t$: $t$ — значение $x^2$, а не $x$","","Корень из $-9$ не получается, и $t=-9$ при возврате дает уравнение $x^2=-9$ без решений"],"answer":[2]}},"hints":["$t=x^2$, а квадрат числа не бывает отрицательным.","Уравнение $x^2=-9$ решений не имеет: значение $t=-9$ отбрасываем."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $x^4-5x^2+4=0$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: $t^2-5t+4=0$, $t_1=1$, $t_2=4$.","Оба значения неотрицательны: $x^2=1$, $x=\\pm1$; $x^2=4$, $x=\\pm2$.","Наибольший корень: $2$."],"step":1}],"mix":1}

От значения t обратно к x

Посмотрим, что дает подъем к $x$ при разных $t$. Если $t=7$, то $x^2=7$ и $x=\pm\sqrt7$ — два корня. Если $t=0$, то $x^2=0$ и корень один: $x=0$, ведь $+0$ и $-0$ — одно и то же число. Если $t=-3$, то уравнение $x^2=-3$ корней не имеет: квадрат не бывает отрицательным.

Значение t	Уравнение для x	Корни x	Сколько
$t>0$, например $7$	$x^2=7$	$-\sqrt7$ и $\sqrt7$	два
$t=0$	$x^2=0$	$0$	один
$t<0$, например $-3$	$x^2=-3$	нет	ни одного

Правило

Уравнение $x^2=t$:

при $t>0$ имеет два корня $$x=\sqrt t\ \text{и}\ x=-\sqrt t;$$
при $t=0$ — один корень $x=0$;
при $t<0$ — ни одного корня.

Важно

Положительное $t$ всегда дает пару корней с разными знаками. Если записать только $x=\sqrt t$, половина корней потеряется: из $x^2=7$ получается и $\sqrt7$, и $-\sqrt7$.

Пример

Решите уравнение $x^4+6x^2-27=0$.

Решение. Пусть $t=x^2$, $t\ge0$: $t^2+6t-27=0$. $D=36+108=144$, $t_{1,2}=\frac{-6\pm12}{2}$, $t_1=-9$, $t_2=3$.

Значение $t_1=-9$ не проходит таможню: $x^2=-9$ корней не имеет. Значение $t_2=3$ дает $x=\pm\sqrt3$.

Ответ: $-\sqrt3;\ \sqrt3$.

Ошибка

Вообразавр решает уравнение $x^4-x^2-20=0$. Пусть $t=x^2$: $t^2-t-20=0$, $t_1=-4$, $t_2=5$. Дальше он пишет: «$x^2=-4$, значит, $x=\pm2$; $x^2=5$, значит, $x=\pm\sqrt5$. Четыре корня».

Проверим на числах. Подставим $x=2$: $2^4-2^2-20=16-4-20=-8\ne0$. Число $2$ — не корень.

Где сломалось рассуждение. Квадрат числа $2$ равен $4$, а не $-4$. Значение $t=-4$ лежит в закрытой половине оси, его надо было отбросить на третьем шаге правила. Верный ответ: $-\sqrt5;\ \sqrt5$.

Слева график y равно t в квадрате минус t минус 20 с корнями t равно минус 4 в красном поле t меньше нуля и t равно 5. Справа подъем x в квадрате равно t: из t равного 5 получаем x равно плюс-минус корень из 5, это ответ; из t равного минус 4 нельзя получить x равно плюс-минус 2, проверка: 2 в четвертой минус 2 в квадрате минус 20 равно минус 8, не нуль — t = −4 лежит в запретной половине оси: из него нельзя получить x = ±2, остается только пара ±√5

{"questions":[{"content":"Сопоставьте уравнение и его корни. Один ответ лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2=16$","$x^2=0$","$x^2=-16$","$x^2=6$"],"items":["$-4$ и $4$","$0$","корней нет","$-\\sqrt6$ и $\\sqrt6$","только $4$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и корни","hints":["Уравнение $x^2=t$ при $t>0$ имеет два корня $\\pm\\sqrt t$, при $t=0$ — один корень $0$, при $t<0$ — ни одного.","$x^2=16$: $x=\\pm4$. $x^2=0$: $x=0$. $x^2=-16$: корней нет. $x^2=6$: $x=\\pm\\sqrt6$.","Ответ «только $4$» лишний: в нем потерян корень $-4$."],"step":1},{"content":"В решении уравнения $x^4-3x^2-4=0$ записано: «Пусть $t=x^2$. Тогда $t^2-3t-4=0$, $t_1=4$, $t_2=-1$. Отсюда $x=\\pm2$ и $x=\\pm1$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Неверно найдены $t_1=4$ и $t_2=-1$","Из $t=-1$ корней $x$ нет: значения $\\pm1$ в ответ входить не должны","Из $t=4$ нужно взять только $x=2$","Нужно было заменить $t=x^4$"],"explanations":["Подстановка: $4^2-3\\cdot4-4=0$ и $(-1)^2+3-4=0$, значения $t$ найдены верно","","Из $x^2=4$ получаются оба корня: $x=2$ и $x=-2$","Тогда $x^2=\\sqrt t$ и квадратного уравнения не получается: замена $t=x^2$ выбрана верно"],"answer":[1]}},"hints":["Уравнение по $t$ решено верно.","Но $t_2=-1$ нельзя подставить в $x^2=t$: квадрат не бывает отрицательным.","Остаются только $x=\\pm2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $x^4+x^2-6=0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: $t^2+t-6=0$, $t_1=-3$, $t_2=2$.","$t=-3$ не подходит. $t=2$ дает $x=\\pm\\sqrt2$.","Всего два корня."],"step":1}],"mix":1}

Сколько корней может быть: от нуля до четырех

У квадратного уравнения по $t$ не больше двух корней, и каждое значение $t$ дает не больше двух корней $x$. Поэтому у биквадратного уравнения не больше четырех корней. Сколько их на самом деле, решает таможня: важно, где на оси $t$ лежат корни уравнения $at^2+bt+c=0$.

Нарисуем параболу $y=t^2+bt+c$ в осях $t$ и $y$. Ее точки пересечения с осью $t$ — это значения $t$. На рисунке три случая: оба корня справа от нуля, один слева и один справа, оба слева.

Три расположения корней по t. Корни t равные 2 и 9 справа от нуля дают четыре корня плюс-минус корень из 2 и плюс-минус 3. Корни минус 6 и 5: левый в запретной зоне, правый дает два корня плюс-минус корень из 5. Корни минус 5 и минус 2 оба слева от нуля: корней нет — Каждый корень t справа от нуля дает два x, слева — ни одного: 4, 2 или 0 корней

Корни уравнения по t	Корни уравнения по x	Сколько
два разных положительных	две пары $\pm\sqrt{t_1}$, $\pm\sqrt{t_2}$	четыре
$t=0$ и положительное	$0$ и пара $\pm\sqrt t$	три
одно положительное и одно отрицательное	одна пара $\pm\sqrt t$	два
одно положительное ($D=0$)	одна пара $\pm\sqrt t$	два
$t=0$ и отрицательное (или $t=0$ при $D=0$)	$0$	один
оба отрицательные или $D<0$	нет	ни одного

Знаки корней по $t$ часто видны без вычислений — по теореме Виета (урок «Теорема Виета»). Для уравнения $t^2+bt+c=0$ произведение корней $t_1t_2=c$, сумма $t_1+t_2=-b$. Если $c<0$, корни разных знаков: один проходит таможню, другой нет, и у биквадратного уравнения ровно два корня. Если $c>0$ и $b<0$, а $D>0$, оба корня положительны — корней четыре.

Задача

Не решая уравнений до конца, определите, сколько корней у каждого: а) $x^4-11x^2+18=0$; б) $x^4+x^2-30=0$.

Решение. а) $t^2-11t+18=0$: $D=121-72=49>0$; $t_1t_2=18>0$ и $t_1+t_2=11>0$, значит, оба корня положительны. Корней четыре (это $\pm\sqrt2$ и $\pm3$).

б) $t^2+t-30=0$: $t_1t_2=-30<0$, корни разных знаков. Проходит только положительный, корней два (это $\pm\sqrt5$).

Ответ: а) четыре; б) два.

{"questions":[{"content":"Распределите уравнения по числу корней. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Нет корней","Два корня","Четыре корня"],"items":[["$x^4+5x^2+4=0$","$x^4+2x^2+5=0$"],["$x^4-3x^2-4=0$","$x^4-x^2-6=0$"],["$x^4-10x^2+9=0$","$x^4-13x^2+36=0$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Оценивайте знаки найденных значений $t$."]},{"content":"Найдите произведение всех корней уравнения $x^4-7x^2+10=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$t=x^2$: $t^2-7t+10=0$, $t_1=2$, $t_2=5$; оба положительны.","Корни: $\\pm\\sqrt2$ и $\\pm\\sqrt5$.","Произведение: $\\sqrt2\\cdot(-\\sqrt2)\\cdot\\sqrt5\\cdot(-\\sqrt5)=(-2)\\cdot(-5)=10$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Когда корней нет и когда корень равен нулю

Уравнение $x^4+7x^2+10=0$ корней не имеет. По замене: $t^2+7t+10=0$, $t_1=-5$, $t_2=-2$ — оба значения в закрытой половине оси. Это видно и сразу: $x^4\ge0$ и $x^2\ge0$, поэтому левая часть не меньше $10$ и нулю не равна. Когда все коэффициенты положительны, корней нет.

Если $c=0$, удобнее не вводить замену, а вынести $x^2$ за скобки. Значение $t=0$ лежит на самой границе таможни и дает один корень $x=0$.

Уравнение	Решение	Ответ
$x^4+7x^2+10=0$	$t_1=-5$, $t_2=-2$ — оба отрицательные	корней нет
$x^4-9x^2=0$	$x^2(x^2-9)=0$: $x^2=0$ или $x^2=9$	$-3;\ 0;\ 3$
$x^4+5x^2=0$	$x^2(x^2+5)=0$: $x^2=0$, а $x^2=-5$ корней не дает	$0$

Обратите внимание

Не делите обе части уравнения $x^4-9x^2=0$ на $x^2$. Получится $x^2-9=0$, и корень $x=0$ пропадет: делить на выражение, которое может равняться нулю, нельзя. Подробнее об этой ловушке — в уроке «Уравнения 3-й и 4-й степени».

{"questions":[{"content":"В биквадратном уравнении получили $t=0$ и $t=9$, где $t=x^2$. Сколько корней у уравнения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Пять корней","Четыре корня","Два корня","Три корня"],"explanations":["Каждое значение $t$ дает не более двух корней, поэтому всего не больше четырех","Нуль не раздваивается: из $x^2=0$ получается один корень, а не $\\pm0$","Значение $t=0$ тоже дает корень $x=0$, его нельзя отбрасывать",""],"answer":[3]}},"hints":["$t=0$ дает один корень $x=0$.","$t=9$ дает два корня $x=\\pm3$.","Всего три корня."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $x^4-4x^2=0$. В ответе запишите наименьший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Выносим $x^2$: $x^2(x^2-4)=0$.","$x^2=0$ дает $x=0$; $x^2=4$ дает $x=\\pm2$.","Наименьший корень: $-2$."],"step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $x^4+3x^2+2=0$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Пусть $t=x^2$: $t^2+3t+2=0$, $t_1=-1$, $t_2=-2$.","Оба значения отрицательны, а $x^2\\ge0$.","Корней нет: ответ $0$."],"step":1}],"mix":1}

Корни видны на графике

Вернемся к вопросу из начала урока: сколько корней у уравнения $x^4-2x^2+c=0$? Корни — это точки, где график функции $y=x^4-2x^2+c$ пересекает ось $Ox$. Перенесем $c$ вправо: $x^4-2x^2=-c$. Теперь нужно понять, сколько раз график $y=x^4-2x^2$ пересекает горизонтальную прямую $y=-c$.

Построим график по точкам: $x=0$ дает $y=0$; $x=\pm1$ дает $y=1-2=-1$; $x=\pm\sqrt2$ дает $y=4-4=0$; $x=\pm2$ дает $y=16-8=8$. График похож на букву W: две ямки глубиной $-1$ при $x=\pm1$ и горка высотой $0$ при $x=0$. Он симметричен относительно оси $Oy$ — вот почему корни идут парами $\pm x$.

График y равно x в четвертой минус 2 x в квадрате и пять горизонтальных пунктирных прямых. Прямая y равно 3 пересекает график дважды, y равно 0 трижды, y равно минус 0,5 четырежды, y равно минус 1 касается в двух точках, y равно минус 1,5 не пересекает. Число пересечений равно числу корней уравнения x в четвертой минус 2 x в квадрате плюс c равно нулю — Прямая y = −c пересекает W-образный график 0, 2, 3 или 4 раза — столько корней у уравнения x⁴ − 2x² + c = 0

Пример

Сколько корней у уравнения $x^4-2x^2+c=0$ при разных $c$?

Решение. Ведем прямую $y=-c$ снизу вверх.

$c>1$: прямая ниже ямок, корней нет. Например, $c=2$: $t^2-2t+2=0$, $D=-4<0$.
$c=1$: прямая касается дна ямок, корни $\pm1$ — два. По $t$: $t^2-2t+1=0$, $t=1$.
$0<c<1$: прямая пересекает обе ямки, корней четыре.
$c=0$: прямая проходит через вершину горки, корни $-\sqrt2$, $0$, $\sqrt2$ — три. По $t$: $t=0$ и $t=2$.
$c<0$: прямая выше горки, корней два. Например, $c=-3$: $t_1=-1$ не проходит, $t_2=3$ дает $\pm\sqrt3$.

Ответ: при $c>1$ корней нет; при $c=1$ и при $c<0$ — два; при $0<c<1$ — четыре; при $c=0$ — три.

Каждый случай на графике совпадает с таможней на оси $t$: ямки пересекаются, когда оба значения $t$ положительны; прямая через горку — это $t=0$; прямая выше горки — одно из значений $t$ отрицательно. В интерактиве меняйте $b$ и $c$ и следите, как парабола по $t$ и график по $x$ меняются вместе.

bikvadrat-korni

Повышенная сложность: уравнение $x^4=(x+6)^2$

Скрыть

Запишем $x^4=(x^2)^2$. Равенство $(x^2)^2=(x+6)^2$ означает, что числа $x^2$ и $x+6$ равны или противоположны: $A^2=B^2$ верно, когда $A=B$ или $A=-B$.

Первый случай: $x^2=x+6$, $x^2-x-6=0$, $x=-2$ или $x=3$. Второй случай: $x^2=-(x+6)$, $x^2+x+6=0$, $D=1-24<0$, корней нет.

Ответ: $-2;\ 3$. Если взять только знак «плюс», половина случаев будет потеряна.

{"questions":[{"content":"При каких значениях $c$ уравнение $x^4-8x^2+c=0$ имеет ровно четыре корня?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0<c<16$","$c>0$","$0\\le c<16$","$c<16$"],"explanations":["","При $c>16$ дискриминант отрицателен и корней нет, а при $c=16$ получается одно значение $t=4$ и два корня $\\pm2$","При $c=0$ одно из значений $t$ равно нулю и дает один корень $x=0$: всего корней три, а не четыре","При $c<0$ одно значение $t$ отрицательно и корней по $x$ только два: например, $c=-9$ дает $t=9$ и $t=-1$"],"answer":[0]}},"hints":["Пусть $t=x^2$: $t^2-8t+c=0$. Четыре корня по $x$ получаются, только если у этого уравнения два разных положительных корня $t$.","Два разных корня по $t$: $D=64-4c>0$, то есть $c<16$. Оба положительны: по теореме Виета $t_1t_2=c>0$ и $t_1+t_2=8>0$.","Ответ: $0<c<16$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Биквадратные уравнения встречаются в ОГЭ (задания 9 и 20), а прием «спуститься на ступень ниже и вернуться» понадобится в уравнениях третьей и четвертой степени и в дробных уравнениях. Главное в уроке — лестница с таможней:

Часто задаваемые вопросы

Почему замена именно t = x², а не t = x⁴?

Потому что $x^4=(x^2)^2$: при $t=x^2$ оба слагаемых с $x$ выражаются через $t$, и получается квадратное уравнение $at^2+bt+c=0$. При $t=x^4$ слагаемое $x^2$ пришлось бы записать как $\sqrt t$, и уравнение не стало бы проще.

Можно ли решить биквадратное уравнение без замены?

Можно разложить левую часть на множители: $x^4-20x^2+64=(x^2-4)(x^2-16)$. Но чтобы найти такое разложение, нужны корни $t=4$ и $t=16$, то есть та же замена. Замена — самый короткий путь, а разложение пригодится для проверки.

Как быстро проверить ответ?

Корни биквадратного уравнения идут парами: если $x$ — корень, то и $-x$ — корень, ведь $x^4$ и $x^2$ не меняются при смене знака. Поэтому достаточно подставить одно число из каждой пары. Если в ответе нечетное число корней, среди них обязательно есть $0$.

Что делать, если коэффициент a не равен 1?

Ничего нового: замена та же, а квадратное уравнение решается по общей формуле (урок «Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант»). Например, $4x^4-5x^2+1=0$ дает $4t^2-5t+1=0$, $t=\frac14$ и $t=1$, корни $\pm\frac12$ и $\pm1$.

Чем этот урок отличается от урока про уравнения, приводимые к квадратным?

В уроке «Уравнения, приводимые к квадратным» биквадратные уравнения — один из нескольких видов. Здесь разобрано, почему отрицательное $t$ не дает корней и как узнать число корней заранее, по знакам $t$ и по графику.

Награды за урок