Уравнения с одной переменной: повторение и обобщение

{"questions":[{"content":"Решите уравнение: $3x-7=8$.<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5$","$-5$","$\\frac{5}{3}$","$\\frac{1}{5}$"],"explanations":["","Если подставить $x=-5$, получится $3\\cdot(-5)-7=-22\\ne 8$.","Если подставить $x=\\frac{5}{3}$, получится $3\\cdot\\frac{5}{3}-7=5-7=-2\\ne 8$.","Если подставить $x=\\frac{1}{5}$, получится $\\frac{3}{5}-7\\ne 8$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Прибавим $7$ к обеим частям: $3x-7+7=8+7$.","Получаем $3x=15$.","Делим обе части на $3$: $x=\\frac{15}{3}=5$."]},{"content":"Решите уравнение: $5x-9=26$.<br />[[choice-67]]","widgets":{"choice-67":{"type":"choice","options":["$6$","$5$","$7$","$8$"],"explanations":["Если $x=6$, то $5\\cdot 6-9=30-9=21$.","Если $x=5$, то $5\\cdot 5-9=25-9=16$.","","Если $x=8$, то $5\\cdot 8-9=40-9=31$."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Прибавим $9$ к обеим частям: $5x-9+9=26+9$.","Получаем $5x=35$.","Делим обе части на $5$: $x=\\frac{35}{5}=7$."]},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $x^2-4=0$?<br />[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ни одного","Один","Два","Бесконечно много"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Перенесем $-4$ вправо: $x^2-4=0\\Rightarrow x^2=4$.","Решим $x^2=4$: $x=\\pm\\sqrt{4}$.","Так как $\\sqrt{4}=2$, получаем $x=2$ и $x=-2$."]},{"content":"Какое из чисел является корнем уравнения $2x^2-5x+2=0$? Выберите все подходящие варианты.<br />[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2$","$1$","$\\frac{1}{2}$","$-1$"],"explanations":["","Подстановка $x=1$: $2\\cdot 1^2-5\\cdot 1+2=2-5+2=-1\\ne 0$.","","Подстановка $x=-1$: $2\\cdot 1-5\\cdot(-1)+2=2+5+2\\ne 0$."],"answer":[0,2]}},"step":1,"explanation":"Рассмотрим $2x^2-5x+2=0$. Разложим на множители: $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$. Тогда $(2x-1)(x-2)=0$, значит $2x-1=0$ или $x-2=0$. Получаем $x=\\frac{1}{2}$ и $x=2$. Среди вариантов это $\\frac{1}{2}$ и $2$.","hints":["Подставим $x=2$: $2\\cdot 2^2-5\\cdot 2+2=2\\cdot 4-10+2=8-10+2=0$, значит $2$ подходит.","Подставим $x=1$: $2\\cdot 1^2-5\\cdot 1+2=2-5+2=-1\\ne 0$, значит $1$ не подходит.","Подставим $x=\\frac{1}{2}$: $2\\cdot\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2-5\\cdot\\frac{1}{2}+2=2\\cdot\\frac{1}{4}-\\frac{5}{2}+2=\\frac{1}{2}-\\frac{5}{2}+2=0$, значит $\\frac{1}{2}$ подходит.","Подставим $x=-1$: $2\\cdot(-1)^2-5\\cdot(-1)+2=2\\cdot 1+5+2=9\\ne 0$, значит $-1$ не подходит. Корни: $x=2$ и $x=\\frac{1}{2}$."]},{"content":"Какое из чисел является корнем уравнения $2x^2-5x-3=0$?<br />[[choice-227]]","widgets":{"choice-227":{"type":"choice","options":["$-\\frac{3}{2}$","$-1$","$\\frac{3}{2}$","$3$"],"explanations":["Подставим $x=-\\frac{3}{2}$: $2\\left(\\frac{9}{4}\\right)-5\\left(-\\frac{3}{2}\\right)-3=\\frac{9}{2}+\\frac{15}{2}-3=12-3=9\\ne 0$.","Подставим $x=-1$: $2\\cdot 1-5\\cdot(-1)-3=2+5-3=4\\ne 0$.","Подставим $x=\\frac{3}{2}$: $2\\left(\\frac{9}{4}\\right)-5\\left(\\frac{3}{2}\\right)-3=\\frac{9}{2}-\\frac{15}{2}-3=-3-3=-6\\ne 0$.",""],"answer":[3]}},"step":1,"explanation":"Проверим подстановкой варианты ответа.<br /><br />1) $x=-\\frac{3}{2}$: $2x^2-5x-3=2\\cdot\\frac{9}{4}-5\\cdot\\left(-\\frac{3}{2}\\right)-3=\\frac{9}{2}+\\frac{15}{2}-3=9\\ne 0$.<br /><br />2) $x=-1$: получаем $4\\ne 0$.<br /><br />3) $x=\\frac{3}{2}$: получаем $-6\\ne 0$.<br /><br />4) $x=3$: получаем $0$.<br /><br />Значит, среди вариантов корнем является $x=3$.","hints":["Подставим $x=-\\frac{3}{2}$: $2\\left(\\frac{9}{4}\\right)-5\\left(-\\frac{3}{2}\\right)-3=\\frac{9}{2}+\\frac{15}{2}-3=\\frac{24}{2}-3=12-3=9\\ne 0$.","Подставим $x=-1$: $2\\cdot 1-5\\cdot(-1)-3=2+5-3=4\\ne 0$.","Подставим $x=\\frac{3}{2}$: $2\\left(\\frac{9}{4}\\right)-5\\left(\\frac{3}{2}\\right)-3=\\frac{9}{2}-\\frac{15}{2}-3=-\\frac{6}{2}-3=-3-3=-6\\ne 0$.","Подставим $x=3$: $2\\cdot 3^2-5\\cdot 3-3=2\\cdot 9-15-3=18-18=0$. Корень: $x=3$."]},{"content":"Решите уравнение, приводимое к квадратному: $(x-1)(x-5)=-3$. Выберите все корни.<br />[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$0$","$2$","$4$","$6$"],"explanations":["Подстановка $x=0$: $(-1)(-5)=5\\ne -3$.","","","Подстановка $x=6$: $(6-1)(6-5)=5\\cdot 1=5\\ne -3$."],"answer":[1,2]}},"step":1,"explanation":"Приведем уравнение к квадратному: $(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$. Тогда $x^2-6x+5=-3\\Rightarrow x^2-6x+8=0$. Разложим: $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0$. Отсюда $x=2$ или $x=4$.","hints":["Раскроем скобки: $(x-1)(x-5)=x^2-5x-x+5=x^2-6x+5$.","Приравняем к $-3$: $x^2-6x+5=-3$.","Перенесем $-3$ влево: $x^2-6x+5+3=0\\Rightarrow x^2-6x+8=0$.","Разложим на множители: $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0$. Корни: $x=2$ и $x=4$."]},{"content":"Решите уравнение, приводимое к квадратному: $(x-2)(x-6)=8$. Выберите все корни.<br />[[choice-363]]","widgets":{"choice-363":{"type":"choice","options":["$4-2\\sqrt{3}$","$4+2\\sqrt{3}$","$4$","$2\\sqrt{3}$"],"explanations":["","","$4$ не является корнем: $4\\pm 2\\sqrt{3}\\ne 4$.","$2\\sqrt{3}$ не является корнем: корни имеют вид $4\\pm 2\\sqrt{3}$."],"answer":[0,1]}},"step":1,"explanation":"Решим уравнение $(x-2)(x-6)=8$.<br /><br />1) Раскроем скобки: $(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.<br /><br />2) Приравняем к $8$ и перенесем все в одну сторону: $x^2-8x+12=8\\Rightarrow x^2-8x+4=0$.<br /><br />3) Дискриминант: $D=b^2-4ac=(-8)^2-4\\cdot 1\\cdot 4=64-16=48$.<br /><br />4) Корни: $x=\\frac{8\\pm\\sqrt{48}}{2}=\\frac{8\\pm 4\\sqrt{3}}{2}=4\\pm 2\\sqrt{3}$.<br /><br />Значит, решения: $x_1=4-2\\sqrt{3}$ и $x_2=4+2\\sqrt{3}$.","hints":["Раскроем скобки: $(x-2)(x-6)=x^2-6x-2x+12=x^2-8x+12$.","Пишем уравнение: $x^2-8x+12=8\\Rightarrow x^2-8x+4=0$.","Считаем дискриминант: $D=(-8)^2-4\\cdot 1\\cdot 4=64-16=48=16\\cdot 3$.","Находим корни: $x=\\frac{8\\pm\\sqrt{48}}{2}=\\frac{8\\pm 4\\sqrt{3}}{2}=4\\pm 2\\sqrt{3}$."]},{"content":"Решите уравнение, приводимое к квадратному: $x+\\frac{1}{x}=\\frac{5}{2}$, где $x\\ne 0$. <br />[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$x=2$ или $x=\\frac{1}{2}$","$x=\\frac{5}{2}$","$x=0$ или $x=\\frac{5}{2}$","Корней нет"],"explanations":["","Подстановка $x=\\frac{5}{2}$: $\\frac{5}{2}+\\frac{2}{5}\\ne\\frac{5}{2}$.","По условию $x\\ne 0$, а $x=\\frac{5}{2}$ не удовлетворяет уравнению.","Корни есть, так как квадратное уравнение имеет два рациональных решения."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Умножим обе части на $2x$ (это можно, так как $x\\ne 0$): $2x\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)=2x\\cdot\\frac{5}{2}$.","Раскроем скобки: $2x^2+2=5x$.","Перенесем все влево: $2x^2-5x+2=0$.","Разложим на множители: $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0$. Корни: $x=\\frac{1}{2}$ или $x=2$."]},{"content":"Решите уравнение, приводимое к квадратному: $x+\\frac{1}{x}=3$, где $x\\ne 0$.<br />[[choice-540]]","widgets":{"choice-540":{"type":"choice","options":["$-\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}$","$\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}$"],"explanations":["Если подставить $x=-\\frac{1}{2}$, то $x+\\frac{1}{x}=-\\frac{1}{2}-2=-\\frac{5}{2}\\ne 3$.","Если подставить $x=\\frac{1}{2}$, то $x+\\frac{1}{x}=\\frac{1}{2}+2=\\frac{5}{2}\\ne 3$.","",""],"answer":[2,3]}},"step":1,"explanation":"Решим уравнение $x+\\frac{1}{x}=3$, где $x\\ne 0$.<br /><br />1) Умножим обе части на $x$ (это можно, так как $x\\ne 0$): $x^2+1=3x$.<br /><br />2) Перенесем все в одну сторону: $x^2-3x+1=0$.<br /><br />3) Дискриминант: $D=b^2-4ac=(-3)^2-4\\cdot 1\\cdot 1=9-4=5$.<br /><br />4) Корни: $x=\\frac{3\\pm\\sqrt{5}}{2}$.<br /><br />Оба корня не равны нулю, значит оба подходят.","hints":["Умножим обе части на $x$: $x\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)=3x\\Rightarrow x^2+1=3x$.","Перенесем все влево: $x^2-3x+1=0$.","Считаем дискриминант: $D=(-3)^2-4\\cdot 1\\cdot 1=9-4=5$.","Находим корни: $x=\\frac{3\\pm\\sqrt{5}}{2}$."]},{"content":"Найдите количество решений уравнения $(x^2-5x+6)(x^2-5x+4)=0$.<br />[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$1$","$2$","$3$","$4$"],"explanations":["Одно решение было бы, если бы оба множителя давали один и тот же единственный корень (кратности).","Два решения было бы, если бы суммарно получилось ровно два различных корня.","Проверим множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ дает $x=2$ и $x=3$. Второй: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ дает $x=1$ и $x=4$. Итого $4$ различных корня, значит $3$ не подходит.",""],"answer":[3]}},"step":1,"explanation":"Решаем по нулевому произведению: либо $x^2-5x+6=0$, либо $x^2-5x+4=0$.<br /><br />1) $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$, значит $x=2$ или $x=3$.<br /><br />2) $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0$, значит $x=1$ или $x=4$.<br /><br />Все корни различны, поэтому количество решений равно $4$.","hints":["По нулевому произведению: $(x^2-5x+6)(x^2-5x+4)=0\\Rightarrow x^2-5x+6=0$ или $x^2-5x+4=0$.","Решим первое: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\\Rightarrow x=2$ или $x=3$.","Решим второе: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0\\Rightarrow x=1$ или $x=4$."]}],"mix":1}